Resumêra de Análise Combinatória e Probabilidade

1. Análise Combinatória

A análise combinatória estuda a contagem de maneiras de organizar ou selecionar objetos, levando em conta diferentes condições de ordem e repetição.

1.1 Fórmulas Utilizadas

• Fatorial: n! = n × (n‑1) × … × 2 × 1
• Permutação simples (sem repetição): P(n, r) = n! / (n‑r)!
• Permutação com repetição: P = n! / (n₁! × n₂! × … × n_k!)
• Arranjo simples (sem repetição): A(n, r) = n! / (n‑r)!
• Arranjo com repetição: A = n^r
• Combinação simples (sem repetição): C(n, r) = n! / [r! × (n‑r)!]
• Combinação com repetição: C(n + r – 1, r) = (n + r – 1)! / [r! × (n – 1)!]

1.2 Permutação Simples e com Elementos Repetidos

Permutação simples: Ordem importa e cada objeto é único.

Exemplo: Quantas maneiras de organizar as letras A, B, C?

Resultado: 3! = 6 maneiras: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Permutação com elementos repetidos: Alguns objetos são iguais, então não se diferenciam.

Exemplo: Quantas maneiras de organizar as letras A, A, B, C?

Resultado: 4! / 2! = 12 maneiras.

1.3 Arranjos Simples e com Elementos Repetidos

Arranjo simples: Ordem importa, mas nem todos os objetos precisam ser usados.

Exemplo: Quantos arranjos de 2 letras podem ser formados com A, B, C?

Resultado: A(3, 2) = 3! / (3‑2)! = 6 arranjos: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Arranjo com elementos repetidos: Objetos podem se repetir.

Exemplo: Quantos arranjos de 3 letras podem ser formados com A, B, C se cada letra pode aparecer mais de uma vez?

Resultado: 3³ = 27 arranjos.

1.4 Combinações

Na combinação a ordem não importa; apenas a seleção dos objetos.

Exemplo: Quantas combinações de 2 cartas podem ser escolhidas de um baralho de 52 cartas?

Resultado: C(52, 2) = 52! / [2! × (52‑2)!] = 1 326 combinações.

2. Relação com Probabilidade

2.1 Probabilidade

A probabilidade mede a chance de ocorrência de um evento. Se um experimento tem N resultados igualmente prováveis e n desses resultados satisfazem o evento, então:

P(Evento) = n / N

2.3 Probabilidade em Eventos Dependentes e Independentes

Eventos independentes: O resultado de um evento não afeta o outro.

Exemplo: Lançar uma moeda e um dado. A probabilidade de sair cara e 4 é P(cara) × P(4) = (1/2) × (1/6) = 1/12.

Eventos dependentes: O resultado de um evento influencia o outro.

Exemplo: Tirar 2 cartas de um baralho sem reposição. A probabilidade de tirar duas ases consecutivamente:

P(1º ás) = 4/52. Depois de retirar um ás, P(2º ás) = 3/51. Portanto, P = (4/52) × (3/51) = 12/2652 = 1/221.

2.4 Média, Mediana e Moda

Esses são conceitos de estatística que resumem dados.

• Média (aritmética): Soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
• Mediana: Valor que divide a lista ordenada em duas partes iguais.
• Moda: Valor que aparece com maior frequência.

Exemplo: Conjunto de resultados de 5 lançamentos de dado: 2, 4, 4, 5, 6.

• Média = (2 + 4 + 4 + 5 + 6) / 5 = 21/5 = 4,2.
• Mediana = 4 (o terceiro valor na lista ordenada 2, 4, 4, 5, 6).
• Moda = 4 (aparece duas vezes).