Texto original

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Texto extraído do video Probabilidade em eventos dependentes e independentes | Ferretto+

Então vamos lá pessoal, vamos ver agora uma aula muito importante não somente para prova do NN, mas também para vestibular tradicionais.
E essa aula aqui é sobre assunto probabilidade, no caso probabilidade entre eventos que são dependentes e também entre eventos que são independentes.
Tá, uma aula bastante importante, a note tudo, preste bastante atenção e vem comigo aqui.
Então, a primeira coisa que a gente tem que saber aqui é diferenciar o que são eventos dependentes e o que são eventos independentes, tá? Vou começar com uma questão aqui bem simples, falando primeiramente sobre eventos que são dependentes.
Olha só, aqui está a questão e ela diz o seguinte, duas bolas são retiradas, olha só, simultaneamente, de uma urna, no caso da urna abaixo, qual é a probabilidade de que ambas sejam vermelhas, tá? Agora a gente vai ter que pensar o seguinte, a gente vai retirar duas bolas simultaneamente.
Então, o que está acontecendo? Imagina lá a urna, toda a escura, então você vai mexer as duas mãos e tirou as duas bolas de uma vez só.
Pronta, qual a probabilidade dessas duas bolas aqui serem vermelhas? Eu quero que você repare que essa situação de colocar as duas mãos dentro da urna e retirar e olhar as duas bolas, é a mesma situação de, olha só, você colocar apenas uma mão na urna, retirar a bola, olhar, ver se a vermelha, tá? Deixar ela de lado, não colocar novamente, ou seja, não repor a bola na urna, colocar a mão na dentro e retirar uma outra bola, tá? Então, colocar as duas mãos e retirar ou colocar a uma, olhar e não repor e colocar a segunda, é a mesma coisa, tá? Então, as duas retiradas simultâneas, ou duas retiradas sucessivas, mas sem repora a primeira bola, é a mesma coisa.
Então, o que a gente tem aí? São dois eventos, é a retirada da primeira bola e a retirada da segunda bola, que é saber a probabilidade, então, nós temos duas bolas vermelhas.
Se você olhar na urna e, gente, nós temos uma urna composta por dez bolas, das quais seis são vermelhas e quatro são as ús.
Perfeito? Aí, olha só o que acontece.
Essa probabilidade que nós queremos calcular, a probabilidade da ser vermelha e vermelha, que é a gente é fundamental na probabilidade.
Então vamos lá, primeira coisa.
Em relação a primeira bola aqui, qual é a probabilidade de ser vermelha? Lembra que a probabilidade é uma fração, fração no qual número do numerador é a quantidade e caso que são favoráveis e o denominador é o número total de possibilidades.
Então, se você quer retirar uma bola vermelha, repara que tem seis bolas vermelhas.
Então é seis, é o número de bolas que são vermelhas, ou seja, casos favoráveis, dividido pelo total no caso de as bolas, ou seja, seis em dez.
Seis em dez, seis dividido por dez é a mesma coisa que zero, vula seis, que é a mesma coisa que 60%.
Beleza? Então, a primeira bola ser vermelha, agora, olha só a gente.
Lembra que o e gente representa uma multiplicação no cálculo de probabilidades.
E a segunda bola também é vermelha, só que agora, lembra que retirar simultaneamente as duas bolas ou retirar sucessivamente sem reposição é a mesma coisa.
Eu retirei, vi que é uma bola vermelha, deixei de lado e vou agora retirar a segunda.
E a última bola que nessa segunda retirada, olha a urna que acontece ali, a gente acaba sumindo uma bola vermelha, porque você já retirou uma bola vermelha.
Concordo comigo? Agora, nessa situação que está aí, nessa segunda retirada, nós temos um total de cinco bolas vermelhas e um total de nove bolas.
Então, a probabilidade é cinco nonos, cinco dividido por nove.
Então, se a gente multiplicar aí, gente, nós vamos ter o que? 5 vezes 6 é 30, 10 vezes 9 é 90, 30 dividido por 90, a mesma coisa que 1 terço.
Então, a probabilidade é 1 em 3, ou seja, a aproximadamente ali, 33%.
Beleza? E a gente agora, por que o que caracteriza essa ideia de eventos que são dependentes? Reparei o seguinte.
Quando eu retirei a primeira bola vermelha, repare que a retirada dessa bola vermelha, ela interferiu na probabilidade da outra retirada.
Por que interferiu? Porque na primeira retirada era seis décimos, 60%.
Agora, quando eu retirei a bola vermelha, opa, a probabilidade passou para quanto, gente.
Passou para cinco nonos, ou seja, ela alterou essa primeira retirada, ela alterou a probabilidade da segunda retirada.
Por isso que o segundo evento, ou seja, a retirada da segunda bola, ela depende de você ter retirada a primeira bola vermelha ou, nesse caso, azul.
Beleza? Ou no caso azul? Beleza? Então, nós temos aí eventos que são dependentes.
Agora, como seria um evento independentes? Vamos pegar aqui a mesma situação, só muda o pouco anunciado.
Olha o que diz ali.
Duas bolas são retiradas sucessivamente, tá? E, olha só, com reposição, aqui já muda tudo, né? De uma da urna abaixo.
Qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas? É a mesma questão.
Só que agora nós vamos retirar a primeira, vamos olhar, colocar novamente na urna.
Vamos fazer o que? Um trabalho de com reposição, tá? Então, olha só, primeira coisa, né? A probabilidade de ser vermelha e vermelha, né? Então, seria o que? 6 décimos e, olha só, vezes.
Agora, a gente com a probabilidade de retirar uma nova bola vermelha.
A gente olhou a vermelha, colocou novamente, ou seja, a urna ficou exatamente da mesma forma, da primeira retirada.
Ou seja, acaba sendo 6 décimos novamente.
6 bolas vermelhas em um total de 10 bolas.
Fazendo a multiplicação aqui, a 6 vezes 6.
Isso aí dá 36, 10 vezes 10 dá 100.
36 por cento.
Então, um pouquinho maior, né? A probabilidade de retirar nos duas bolas vermelhas, comparada a situação que, no caso, nós tínhamos anteriormente, no caso dos eventos que são dependentes.
Então, olha que você identifica a evento que é dependente.
E independente, nesse caso, aí você.
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Não precisa nem identificar a norma da provar, isso aqui é dependente, eu independente.
Mas saber o que você tem que fazer nessa situação que envolve reposição, que não envolve reposição e outras situações, nós vamos ver ainda nessa aula, como calcular o resultado diferente.
Reparem que esse evento aqui, gente, ele é um evento independente, porque, porque na retirada da segunda bola, nada.
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Na retirada da primeira bola, nada mudou a probabilidade da retirada da segunda bola.
Porque na segunda bola, quando a gente vai retirar, a urna está como ela estava anteriormente, já que a gente fez a reposição.
Então, são duas retiradas, como se fosse a primeira retirada, uma independe da outra.
Beleza? Certinho? Vamos ver uma situação agora, que eu quero que você já, na leitura, já identifique aí se são eventos dependentes ou independentes.
Beleza? Olha só, a probabilidade de um jogadorá acertar um penalt é de 80% e a probabilidade de um jogador de acertar um penalt é de 90%.
Aí vem a pergunta, qual é a probabilidade de que, pelo menos um deles, acerte o penalt.
Gente, são eventos dependentes, ou eventos independentes.
Pensa a seguinte, o primeiro batedor vai lá, bate e acerta o penalt.
Acertou, fez o gol.
E esse evento aí, do primeiro batedor, acertar o penalt.
Ele interfere de alguma forma no segundo, tem alguma interferência? Não tem interferência nenhuma.
A ferretura vai deixar o cara mais nervoso se o primeiro batedor já é rar o penalt e o outro fica na obrigação.
Tem aquela história, mas não, gente.
São dois eventos completamente independentes.
Beleza? Bom, para resolver essa questão aqui, nós vamos trabalhar com a ideia de eventos complementares.
Que são eventos complementares? Olha só, nessa situação aí, vamos supor aqui a que a probabilidade de acertar o penalt e a probabilidade de não acertar o penalt são essas situações que eu estou colocando aqui.
O x com a barinha, como se fosse o não, então só acontece as duas situações.
Ou você acerta o penalt ou você é r o penalt.
Soman as duas probabilidades, vai dar 100%.
Por exemplo, nos jogador A, se ele tem 80% de chance de acertar o penalt encontra a partida, significa que ele tem 20% de chance de errar o penalt e somar essas duas probabilidades, 80% mais 20% e isso é 100%.
Então, isso que nós vamos sempre considerar neventos que são complementares.
Ou você acerta o penalt ou você é r o penalt.
Então, somando essas duas situações aqui, dá 100%.
Um negente é 100%, é 100 dividido por 100, assim como 70%, é 70 sobre 100, que é a mesma coisa que 7 sobre 10, que é a mesma coisa que 0,7.
Então, nós temos aqui 100%.
Beleza? Agora, olha só.
Ele quer saber a probabilidade de pelo menos 1 dos jogadores acertar o penalt, os dois vão cobrar.
Então, o que que pode acontecer? Pode acontecer dos dois acertarem o penalt.
Pode acontecer de somente o jogador A acertar o penalt e pode acontecer também de somente o jogador B acertar o penalt.
Então, calcular essa probabilidade, eu vou fazer de uma maneira agora um pouquinho mais longa.
Deixa eu ver aqui em cima, fazer uma maneira um pouquinho mais longa, mas ela vai ser de extrema importância na sua compreensão em relação ao cálculo de probabilidade.
Olha só que você ter o raciocínio bem correto, objetivo, te levam o equacionamento correto.
Querem ver? Olha só, essa primeira equação aí.
A probabilidade vem então de pelo menos 1 dos jogadores acertarem o penalt.
Aqui está a probabilidade de do jogador A acertar o penalt e o jogador B errar o penalt.
Ou, gente, ou lá em conjunto e também a probabilidade, a gente coloca a disser, ou pode acontecer o quê? O jogador A errar o penalt e o jogador B acertar o penalt, ou pode acontecer o quê? Dos dois jogadores tanto A quanto o jogador B, eles acertarem o penalt.
Essas três situações aqui, ou ocorre a primeira, ou ocorre a segunda, ou ocorre a terceira.
Por isso nós temos utilizando o sinal de adição.
Essas três possibilidades configurem isso aqui.
Pelo menos um deles acertar o penalt.
Agora o cálculo é bem mais tranquilo, quer nem ver? A probabilidade do A acertar o penalt, o A é 80%, 80% é 8 décimos.
Beleza? E olha só, e então é vezes E, o jogador B errar.
Se o jogador B tem 90% de chance de acertar o penalt, significa que tem 10% de chance de errar o penalt.
É a probabilidade complementar.
Então nós temos aqui, e um décimo.
Ou o jogador A errar, ou errar o jogador A seria então de 20% que é a probabilidade complementar.
E novamente aqui, o jogador A, B, no caso, acertar seria 90% de 9 décimos, ou 0,9 poderia calcular tudo em decimal também, sem problema nenhum.
Ou, né, gente? Ou então mais.
O A acertar é 80%, e o B acertar os dois acertarem o penalt.
90%.
Aí, a fazer continha, gente, ó.
8 vezes 1 dá 8, 10 vezes 10 dá 100.
Então fica 8 sobre 100, está aqui, 8%.
Mais 2 vezes 9 dá 18, 10 vezes 10 dá 100, 9 vezes 8 é 72, 10 vezes 10 dá 100.
A adição aqui, gente, ó, de frações que possuem o mesmo denominador, a gente conserva o denominador e vai somar os numeradores.
8 mais 18 mais 72 dá 98 sobre 100, ou seja, 98%.
Então, de 98% de chance, olha só, imagina, 2 jogadores em cobrar 98% de chance dos dois acertarem a cobrança, fazendo o gol.
Agora, feitei a maneira mais rápida de calcular isso daqui, claro que tem, e é isso que eu vou mostrar agora.
Justamente trabalhando com essa ideia de complementar.
Então, se eu quero, preste atenção com mim, agora bem para mim aqui, ó.
Se eu quero calcular a probabilidade pelo menos 1 acertar, o que pode acontecer? Ou pelo menos 1 acerta, ou os dois erros.
Com o quarto comigo, que é a citação também, vamos dizer assim, gera probabilidade de complementar, ou pelo menos 1 acerta dos dois, ou os dois jogadores erros.
É isso que vai acontecer.
Aqui, pelo menos 1, seria o acertar, ou o b acertar, ou os dois acertarem.
E aqui seria os dois errarem, somando 100%.
Então, o que eu posso fazer? É só eu posso enjar isso aqui.
Para o lado direito, ele passa com o sinal negativo.
Então, a probabilidade de, ao menos 1 deles acertar, é igual a 1 menos a probabilidade dos dois errarem.
Então, olha só.
É 1 menos a probabilidade do jogador A errar, que é 20%.
E o jogador B errar no caso que é 10%.
Isso aqui vai dar 2 vezes 1 dividido por 100, dá 2%.
100% menos 2%.
Claro, caímos novamente 98%.
Dessa maneira, é bem mais tranquila.
Beleza? Certo.
Gente, ó, eventos independentes nesse caso aqui, e essa parte de E e O em probabilidade é muito importante.
Falamos aqui de eventos complementares muito importantes também.
E quando examinador colocar a situação de pelo menos 1, faz o seguinte, calcula então a probabilidade de 100%, que é 1 menos de nenhuma coisa acontecer.
E daí, o que vai acontecer? Essa probabilidade vai ser de pelo menos 1 acontecer.
Então vamos lá.
Vamos fazer agora essa questão aqui de 2022, da Faculdade Medicina Albert Einstein que diz o seguinte.
Em uma equipe de 15 em fermeiras, apenas duas têm mais de 20 anos, ó, duas têm mais de 20 anos de experiência.
As outras 13, então não têm.
Então nós temos aqui, ó, 13 e duas.
Essas duas têm experiência, vamos colocar uma estrelinha, são mais, vamos dizer, preparadas do que as outras.
Sortiando-se ao acaso cinco em fermeiras para compor um grupo de trabalho, a probabilidade, olha só, de que, em eles ter já, ao menos uma das duas enfermeiras, é exatamente o que eu acabei de falar.
Então, a gente vai sortir a 5, pegar ele atoramente, ele 5 em fermeiras, qual é a probabilidade de que, pelo menos uma experiente esteja entre essa 5? Essa probabilidade é de quantos por cento? Então, a gente vai fazer justamente o contrário.
A gente vai pensar a probabilidade de não ter nenhuma enfermeira, nenhuma enfermeira, experiente no sorteio da 5.
Se eu sortiremos 5 e nenhuma for experiente, essa situação aí não não serve.
Então, a gente vai pegar o total que é 100%, menos aquilo que não serve.
Então, qual a probabilidade de nós fazermos aqui, a retirada, a escolha, o sorteio de cinco enfermeiras e a cinco serem não experientes, vamos dizer assim? Bom, a gente sabe que tem 15 enfermeiras e tem três, então, como se a 1 tivesse 15 bolinhas, tem duas vermeiras e 13 azuis.
Eu quero pegar 1 azul, são 13 enfermeiras total de 15.
Quero pegar 1 azul, então é 13 em um total de 15.
Então, vai lá, 13 em um total de 15.
Então, eu retirei, fiz um dia retirado a primeira bola, no caso, escolhi aleatoriamente a primeira enfermeira e vou escolher a segunda evento, eventos dependentes ou independentes.
Dependentes, né? A gente, porque eu peguei a primeira enfermeira, colocamos ali para formar o grupo, agora, não terão mais 15 enfermeiras, terão 14 enfermeiras, e não terão mais 13 sem experiência, teríamos 12.
Então, a retirada da primeira, escolhi da primeira enfermeira, aleatória, ela é interferir na probabilidade da segunda, porque na segunda nós vamos ter um total de agora de 14 enfermeiras, mas apenas 12 que são com menos de 20 anos de experiência.
E assim, vai indo, a terceira, a gente, vai cair para 13 enfermeiras e apenas 11.
E para a quarta cair para 12 enfermeiras, e apenas 10 são sem experiência.
E a quinta e última, nós vamos ter 11 enfermeiras, e apenas, no caso, aqui, nove enfermeiras que são sem experiência.
Então, essa probabilidade, aqui, retira a primeira e retira a segunda, e retira a terceira.
Isso tem que acontecer, que a gente, que, nenhuma, isso vai nos dar probabilidade de, nenhuma, dessa 5 ser experiente, porque nós retiramos as experiientes.
Então, a gente pode, aqui, cancelar aqui com aqui, 12 com 12 ou 11 com 11, aqui, a 10 vezes 9, isso aqui, a 90, denominador 15 vezes 14.
Vá lá só, a gente, 15 vezes 14.
90 dividido por 15 dá 6.
Isso aqui dá 6 dividido por 14, que é a mesma coisa que 3 sétimos.
Simplifiquei.
Então, a probabilidade que eu quero nessa situação, é 1 menos a probabilidade que eu não quero.
Qual é a probabilidade que eu não quero? Ou seja, que não tenha nenhuma experiente, é de 3 sétimos, 1 menos 3 sétimos.
Isso aqui dá 4 sétimos, 7 vezes 1 dá 7 menos 3 dá 4.
4 sétimos, a resposta poderia ser assim, a informação de fração, mas está em formato de percentual.
Se nós dividirmos aqui a 4 sétimos, já fiz essa continha aqui, nós vamos ter ali a aproximadamente 0,57.
Isso aqui, gente, aproximadamente, então 57% alternativa, letra A.
Beleza? Caso aí de eventos que são dependentes.
Bom, última pergunta aqui, última questão da UNESP, anos de 2023, que estão aí bem recente, diz assim, a tabela indica, o chaveamento de 8 times que chegaram às 4.
De final de um torneio de futebol.
Nos jogos de 4 de final, as porcentagens ao lado de cada time indicam sua probabilidade de seguir a diante no torneio.
Então, por exemplo, a 4 de final, a gente está aqui, os dois jogos de 4 de final e aqui os dois jogos de 4 de final.
Quem passar vai para a CM? E quem passar da CM vai para final? Beleza? Esse percentual aqui, por exemplo, no grupo A, é o time I e o time II.
Neste jogo aqui, o time I tem 60% de chance de passar.
Desculpa, enquanto que o time II tem 40% de chance de passar para a semi-final.
Beleza? Bom, agora é só.
Nos jogos da semi-final, as probabilidades de cada time dos grupos E e F são igual a 50%.
Aqui, gente, é 50%.
Aqui é 50.
Aqui é 50.
E aqui é 50.
Jogos para eles, vamos dizer assim.
Vamos seguindo.
Coloquei novamente a tabela aqui.
E a pergunta está aqui.
Qual é a probabilidade de o time I disputar a final desse torneio contra os time I, 5 ou 7? Não pode ser.
Ou é, mais, hein? Então assim, não tem como disputar final com os dois time.
Qual a probabilidade de disputar com o time I ou com o time I? Primeira coisa, vamos calcular as probabilidades do time I, do time I, e do time I, chegarem até a final.
Olha só, qual é a probabilidade do time I chegar a final? Bom, time I, para passar desse jogo aqui, é 60%.
Vou colocar em decimal, agora, para você ver que também pode ser feito cá com decimal.
Então, ele ganha esse jogo aqui e ganha esse jogo aqui.
E aí vai estar na final.
Te ganhá os dois, te ganhá esse jogo e esse jogo.
Não é? Esse jogo o S e esse é o jogo da quarta e jogo da semi.
Então, E, qual a probabilidade de ganhar o jogo aqui, gente? 50% que é zero vírgula cinco.
Então, zero vírgula cinco vezes zero vírgula seis, isso aqui é zero vírgula três.
Ou seja, 30% é a probabilidade do time I chegar na final.
Agora, a probabilidade do time I, vamos pegar os time I primeiro, do time I.
Aqui, é 50% nesse jogo, caiu aqui e aqui é 50% também, né? Então, 50% passar das quartas para a semi, ou seja, zero vírgula cinco, E da semi para a final é 50% também.
Então, zero vírgula cinco vezes zero vírgula cinco, isso aqui é zero vírgula vinte e cinco, ou seja, 25%.
Agora, qual a probabilidade do time I, sete chegar até a final? Vamos ver.
Olha só.
O time I sete, então, vencer esse jogo à probabilidade de 45%.
Então, é zero vírgula quarenta e cinco, e tem que vencer esse daqui também, ou seja, vezes zero vírgula cinco.
Isso daqui, gente, zero quarenta e cinco vezes zero vírgula cinco, isso aqui é zero duzentos e vinte e cinco.
Ou seja, vinte e dois vírgula cinco por cento.
Beleza? Então, a probabilidade que a gente quer, gente, pensa o seguinte, olha.
Ele quer saber de o time I fazer a final com o time I, o time I, o time I, sete.
Então, essa probabilidade é do time I fazer a final com o time I, cinco.
Vamos botar assim a probabilidade de um e a probabilidade do time I, ou pode acontecer o time I, sete.
Ou o time I, chegar na final e o time I, sete chegar a final.
Beleza? Vamos botar aqui em cima? Qual que é essa probabilidade? P1 vezes P5, gente, é zero três vezes zero vírgula cinco.
Zero vírgula três vezes zero vírgula cinco.
Ou pode acontecer chegar com o time I, sete.
Tme 7 seria P1 e P7.
Por que P1 e P7? Porque é o time I, um chegar na final e o time I, chegar na final.
Qual a probabilidade de Tme 7 chegar na final? Zero três.
Qual a probabilidade de Tme 7 chegar na final? Zero, duzentos e vinte e cinco.
Então, essa probabilidade aqui, gente, olha.
Isso aqui vai dar zero vírgula zero setenta e cinco na primeira multiplicação.
Nessa outra aqui é zero vírgula zero meia sete, cinco.
Se nós somarmos a probabilidade com essa, com essas somandas duas probabilidades, chegaríamos ali a zero vírgula 14, vinte e cinco, que isso aqui é a mesma coisa que 14 vírgula 25%.
14, vila 25% a alternativa correta é a letra B de Brasil.
Beleza, gente, olha só que a aula importante sobre probabilidade tratando aquela história de E ou probabilidade complementar, e principalmente, eventos dependentes e independentes.
E agora pergunta o que não quer calar.
Esses eventos aqui, o time I chegar na final e o time I chegar nas finais.
Evento, time I chegar na final e time I chegar na final.
Deção eventos dependentes ou independentes.
São independentes.
Não vai jogar com o outro.
Cada um tem que fazer as suas vitórias ali.
São eventos independentes nessa situação.
Beleza, gente, espero ter ajudado vocês.
Está uma abração.
Ah, vale lembrar uma coisa, hein.
Para quem não conhece nosso time, gente, não sou só aí hoje na plataforma, nós temos aí a plataforma do professor Ferreto.
Corre lá, veja o time de matemática, humanas, linguagens, natureza, redação, enfim, preparação completa para o vestibular ou também para a prova de nem.
Vai lá, professorferreto.
com.
br, uma abração, bons estudos e até mais.