O material aborda o conceito de combinações, que são subconjuntos de um conjunto de elementos distintos, onde a ordem não importa. Ele apresenta a fórmula de combinações, derivada das fórmulas de arranjos e permutações, e demonstra aplicações em problemas de contagem, como formação de comissões, diagonais de polígonos e retas em pontos no plano.
Entender que combinações ignoram a ordem dos elementos, ao contrário de permutações e arranjos, e que a fórmula de combinações pode ser obtida dividindo o número de arranjos pelo fatorial de r.
Combinações são fundamentais para resolver problemas de contagem em que a ordem não importa. A fórmula derivada de arranjos facilita cálculos em situações práticas, como seleção de grupos ou contagem de segmentos geométricos.
O conteúdo trata de como contar subconjuntos de um conjunto de elementos distintos, sem levar em conta a ordem. Ele mostra que, para cada subconjunto de r elementos, existem r! arranjos diferentes, e que a quantidade total de arranjos é n!/(n‑r)!. Assim, a quantidade de combinações é obtida dividindo esse número por r!. Exemplos práticos incluem a formação de comissões, o cálculo de diagonais em polígonos e a contagem de retas que passam por pontos no plano.
O conteúdo apresenta a teoria combinatória que permite analisar problemas de contagem envolvendo conjuntos e subconjuntos de muitos elementos. Ele revisita permutações simples e com elementos repetidos, arranjos simples e com elementos repetidos, e combinações, mostrando como cada conceito se relaciona e como derivar fórmulas de um ao outro. Além disso, discute cálculos de probabilidades em eventos dependentes e independentes, e aborda medidas de posição, como média, moda e mediana, que são úteis para interpretar resultados de experimentos e amostras.
1. (1,50 pontos) Quantas combinações de 5 elementos tomados 3 a 3 existem em um conjunto de 5 elementos distintos?
2. (2,50 pontos) Em um conjunto de 12 elementos, quantas combinações de 4 elementos existem?
3. (2,50 pontos) Quantas diagonais possui um polígono regular de 10 lados?
4. (3,50 pontos) Em um conjunto de 9 elementos, quantas combinações de 5 elementos existem?
O nosso nosso último aula, basicamente o último aula do curso, também o último aula dessa semana, onde a gente vai tratar agora fechar esse assunto de análise e combinatório estudando o assunto de combinação.
Então, aqui, pessoal, imagina que a gente tem um conjunto ar, certo que é um conjunto formado por n elementos distintos e que a gente considera e r um número natural menor, igual do quenrenho.
Então, a gente chama de combinações dos n elementos tomados r, r ao subconjunto de a que tem um exatamente r elementos.
E, aqui, pessoal, digamos assim que eu ressalto aqui uma palavra que é a palavra subconjunto, perceba que quando a gente trata de combinações, nós estamos falando de subconjunto de um conjunto que tem uma certa quantidade de elementos.
E vamos lembrar que na notação que nós utilizamos para a conjunto, a ordem na qual os elementos são apresentados não importa.
Então, ao passo que nos arranjos e nas permutações a gente trata de n uplas ou de r uplas de elementos de um conjunto, aqui, quando a gente trata de combinações, nós estamos tratando com o conjunto que tem r elementos, ok? Então, perceba que nos dois conceitos anteriores, que foram objetos de estudo das nossas aulas anteriores, importava a ordem na qual aparecia os elementos dentro do n uplas, obviamente.
E, aqui, por se tratar de conjuntos, então não importa a ordem na qual os elementos aparecem.
Tudo bem? Muito bem.
Então, uma vez essa observação sendo feita, vamos ver agora um exemplo.
Então, imagine que você tem um conjunto com quatro elementos, a b c e d, o que é um conjunto amaírusco.
Pois bem, as combinações desses elementos de atomados 2 a 2 são que são todos os subconjunto que você consegue formar com esses elementos, que têm exatamente 2 elementos, onde esses dois elementos são distintos, ok? Então, quais seriam? Seriam os subconjunto seriam, a e b, a e c, a e d, b e c e c e d, certo? Muito bem.
Então, no exemplo, acima, a gente perceba que a combinação a b, o conjunto formado por a b, a mesma coisa que a combinação b a, porque como conjunto esses dois objetos aqui são iguais, certo? Diferente seria que se nós tivéssemos aqui a dupla, o par ordenado a b, e aqui se nós tivéssemos o par ordenado a b, aí esses dois objetos seriam diferentes, mas aqui sendo eles conjuntos, então, de fato, trata-se do mesmo objeto, ok? Logo apenas para ressaltar mais uma vez, as combinações não levam em conta a ordem na qual os elementos aparecem.
Muito bem.
Então, vejamos agora uma fórmula, que nos permita calcular a quantidade de combinações que existe dentro de um conjunto, quando você considera esses elementos tomados, digamos assim, combinados em uma certa quantidade de elementos, né? Muito bem.
Então, vamos supor aqui novamente que nós tenhamos um conjunto ar, formado por n elementos distintos, está certo? E que r novamente seja um número natural menor ou igual do que n, está certo? Muito bem.
Então, a notação que nós temos para a combinação dos cisn elementos tomados r, ou seja, para a quantidade de subconjunto, que pode se formar com esses n elementos, que têm exatamente r, cuja quantidade de elementos desse conjunto, seja exatamente de r, unidade, está certo? A notação que nós temos para isso costuma ser adotar uma dessas luzes aqui, ou é combinação de n tomado r, n, ou então, esse parentes aqui n, n, está certo? Muito bem.
Então, como que a gente constrói, na verdade, como que a gente deduce uma fórmula que nos permita construir essa combinação? Bom, é óbvio que a gente já tem um certo background que a gente pode utilizar, que são as fórmulas de arranjo, de permutações e de fato é isso que a gente vai fazer.
Bom, então, observa uma coisa.
Olha, para cada combinação desses n elementos tomados r, digamos, a e 1, a e 2, a ta e r, está certo? Onde todos esses elementos aqui são distintos entre si.
Perceba que para cada permutação desses r elementos aqui, nós obtemos um arranjo diferente dos n elementos do conjunto tomado os r, r.
Ok? Perceba que nós temos n elementos no conjunto, os arranjos desses n elementos do conjunto tomado os r, r, eles são justamente as r úplas de elementos que se podem formar com esses elementos, com esses n elementos, onde eles serão todos distintos entre si.
Ok? Então, fixado uma combinação, se a gente digamos assim, em baralhar para cada forma de embaralhar esses elementos, a gente vai ter uma com um arranjo diferente desses n elementos tomados r, r.
Ok? Ok? Ok? O corre que a gente sabe quantas são as formas de você permutar esses elementos? E a gente sabe quanta são quantos são os arranjos desses n elementos que nós temos distintos tomados r, r.
Ok? Então, perceba, se para cada combinação fixado uma combinação, se para cada permutação dessa combinação, você tiver um arranjo, então isso significa que a quantidade de arranjos, ele é igual a quantidade de combinações multiplicado por r, fatorial.
Por que r? Porque r, fatorial, ele na verdade expressa para a gente o número de permutações que nós temos desses r elementos distintos.
Então, com isso, com esse raciocínio a gente pode deduzir que a quantidade de arranjos desses n elementos tomados r, r, r, fatorial, vezes a quantidade de combinações desses n elementos tomados r.
Só que a fórmula por arranjo é conhecida, nós reconhecemos a fórmula por arranjo, né? Seria o arranjo dos n elementos tomados r, r é justamente pela aula para pelo conteúdo da aula passada, igual a n fatorial dividido por n menos r fatorial.
Então, se a gente voltar aqui e perceber que a gente na verdade está querendo exibir uma fórmula para a combinação, perceba que a combinação dos n elementos tomados r, r é igual ao número de arranjos dividido por r fatorial, certo? Com isso, em mente, quando a gente substitui aqui o arranjo dos n elementos tomados r pela fórmula dele, que é coisa que a gente viu no aula passada, a gente chega com a conclusão que a combinação dos n elementos tomados r será o que? Será n fatorial dividido pelo produto de r fatorial vezes n menos r fatorial, que é o que está escrito aqui.
Está certo, pessoal? Então, com isso a gente conseguiu, a partir da fórmula das permutações e dos arranjos a gente conseguiu deduzir a fórmula também para as combinações dos n elementos tomados r, está certo? Muito bem, então, vou agora aqui para um exemplo, de utilização disso.
Então, eu ressaldo para vocês uma vez mais, pessoal.
O conceito de combinação se aplica quando nós vamos resolver problemas envolvendo combinaitória, onde não importa a ordem na qual os elementos estarão dispostos ao longo dos conjuntos.
Então, imagina, por exemplo, que você tem um departamento com 15 funcionários e você deseja formar uma comissão com 4 pessoas.
Bem, de quantas formas distintas isso pode ser feito? Beja, quando você tem uma comissão formada por 4 pessoas, não importa a forma como você lista essas 4 pessoas dentro da comissão que a comissão insiga a mesma.
Está certo? Então, percebo que, no adiante de tentar usar o conceito de arranjo para resolver esse problema, porque a gente estaria tratando comissões aonde o elemento, por exemplo, imagina que você tem um elemento ABCD dentro dessa comissão.
Então, essa comissão seria supostamente distinta da comissão DACD, coisa que não ocorre de fato, porque quando você tem dentro de uma comissão, o que importa realmente são os elementos que integram essa comissão e não a ordem na qual eles estão dispostos.
Então, aqui, o conceito adequado de combinaitora para se resolver esse tipo de problema é, de fato, o conceito de combinação.
Muito bem, percebo que cada comissão que a gente pode escolher, da origem uma combinação desses 15 funcionários tomados 4 a 4.
Então, no final das contas, tudo que nós precisamos fazer é calcular as combinações de 15 tomado a 4 a 4.
Quanta ação, hora, segundo a fórmula anterior, a gente vê que isso é 15 factorial dividido pelo produto de 4 factorial por 15 menos 4 factorial.
Ok? Ou seja, vai ser 15 factorial dividido por 4 factorial vezes 11 factorial.
Escrever 15 factorial é uma coisa muito grande, se você for fazendo a calculadora, vai dar um número e menos.
Então, aqui é muito mais fácil, primeiro a gente simplificar o que deve, para simplificar.
Então, percebo que 15 factorial é a mesma coisa que 15 vezes 14 vezes 13 vezes 12 vezes 11 factorial que nós também temos aqui embaixo.
Esse 11 factorial vai cancelar com esse e aí fica o produto desses números dividido por 4 factorial.
Efeito, todos os cálculos da conclusão, a que a gente vai chegar é que nós temos 1365 comissões diferentes que se pode criar comissões de 4 pessoas, dispondo-se desses 15 funcionários.
Tudo bem, pessoal? Muito bem, um outro exemplo agora dentro da geometria, está certo? É bastante diferente do anterior.
Quantas diagonais nós podemos traçar um polígono regular de n e dá-los? O que é um polígono regular de n e dá-los? É um polígono que tem todos os lados iguais e todos os ângulos internos congruentes.
Ok? Então, veja bem, imagina que nós temos aqui um polígono que tem uma certa quantidade de lados.
Nós queremos saber quantas diagonais a gente pode traçar, ou seja, quantos segmentos ligando vertices desse polígono de maneira que esses dois vértices escolhidos não são adiacentes.
Porque, quando você escolhe dois vértices adiacentes do polígono, quando você traçar o segmento de reta entre eles, você na verdade vai ter um lado do polígono, você não vai ter uma diagonal do polígono.
Então, percebo o seguinte que fixado os dois vértices, o segmento de reta traçado entre esses dois, ele dá origem ou a uma diagonal ou então, um lado do polígono.
Bom, a teoria ainda que o segmento traçado entre os vértices A B é o mesmo segmento traçado entre os vértices B A.
Então, aqui perceba que não importa a ordem na qual nós vamos escolher esses dois elementos entre os N vértices que nós temos no polígono.
Tudo bem? Isso é bastante importante.
Então, não importa a ordem na qual você terá feita.
Então, perceba que é o seguinte.
Se você considerar a família dos N vértices que nós temos no nosso polígono, a pergunta que fica é quantos são os segmentos de reta que se pode fazer ligando dois entre esses caras.
É certo? Dois elementos distintos, N vértices.
Bom, eles serão tantos quantos são as combinações desses N vértices tomados dois a dois.
Ou seja, será justamente N vatorial dividido por dois vatorial vezes N menos dois vatorial.
Tudo bem? Só que tem uma coisa.
Quando a gente faz esse computo, dentre essas escolhas que nós fazemos, a gente sabe que também tem uns lados contabilizados, porque quanto a gente escolhe, vértices que são adjacentes, o segmento de reta ligando os dois vai ser na verdade um lado.
Então, desse total que a gente acabou de calcular, a gente vai ter que descontar, ou seja, a gente vai ter que subtrair a quantidade de lados que tem esse polígono.
Então, quando a gente for fazer os cálculos no final das contas será o que? A combinação total que a gente acabou de calcular menos a quantidade de lados que tem no polígono que são N.
E aí, se a gente for simplificar isso aqui, isso aqui ficaria N vezes N menos 1 vezes N menos 2, a fatoria que vai cancelar com esse debaixo, por isso que o numerador fica assim, dividido por 2, a fatoria que é 2.
A gente vai subtrair N, colocando tudo no mesmo denominador, vai ficar N que multiplica N menos 1 menos 2 vezes N, o que, por sua vez, é igual a N ao quadrado menos 3 vezes N dividido por 2.
Então, esse daqui é a quantidade de diagonais distintas que se pode traçar dentro de um polígono regular que tem N lados.
Tudo bem? Muito bem.
Mais um exemplo agora.
Então, vejamos, imagina que no espaço nós temos 7 pontos distintos.
Entre os quais não existem 3 deles que são colineares, ou seja, dentre esses 7 pontos, você jamais vai encontrar 3 deles que esteja um em cima de uma mesma reta.
Então, a pergunta que fica quantas retas pode se traçar passando por 2 desses pontos, novamente um problema de geometria.
Então, perceba, aqui nós temos 7 elementos, uma forma de fazer isso é o que é traçando todas as retas e aqui estão todas as retas.
E depois sair contando.
Tá certo? Percebe, claramente, que essa tarefa é muito árgua.
Se nós tivéssemos mais pontos, a tarefa ficaria ainda mais difícil.
Então, pessoal, isso daqui não é uma maneira viável da gente resolver esse tipo de problema.
Usando análise combinadora fica muito mais simples, por que? Perceba, aqui, para cada 2 pontos que a gente considera dentro de esse total de 7, nós vamos ter uma reta distinta.
E por que, para cada 2, a gente tem uma reta distinta? Porque não existe 3 pontos desses que permitam a mesma reta, que pertençam a mesma reta, ok? Se por uma casa existisse, quando você pegar-se dentro esses 3, qual é a convidação de 2, ele sempre da origem a mesma reta, coisa que não ocorre que nesse problema.
Tá certo? Então, no final das contas, como não existem 3 pontos colineares, para cada convidação de 2,7, teríamos uma reta distinta das outras.
Ou seja, no final das contas, e também, ele lembrando, ainda o seguinte, que perceba que a reta que passa pelo ponto Ab é a mesma reta que passa pelo ponto Bb.
Então, aqui não importa a ordem na qual a escolha é feita.
A certa, não importa a ordem na qual você vai despor os 2 elementos, entre esse universo, desse 7.
Portanto, o que a gente precisa fazer é calcular um número de combinações desses 7 pontos, tomados 2 a 2, e fazendo os calculos à conclusão que a gente chega de 21 retas, 21 retas distintas, que nós conseguimos traçar.
Tá certo, pessoal? Bom, então perceba que esse conceito de combinações, de combinação, ele é muito, digamos, assim, e clético, né? A gente consegue resolver problemas, tanto de contagem, enquanto, de fato, problemas assim ligados à geometria, né? É que, de fato, esses problemas ligados à geometria se reduzem a problemas de contagem no final das contas, né? Mas perceba como é que as combinações foram usadas para diferentes tipos de problema, tudo bem? Então, eu espero que vocês tenham aproveitado bem todas as alas, que vocês tenham bastante sucesso aí na caminhada de vocês, nas avaliações, e também nas outras disciplinas do curso, e, por fim, na vida profissional que vocês terão aí depois do final do curso.
Tá certo, pessoal? Muito obrigado.
Um prazer trabalhar com vocês, e até uma próxima oportunidade.
Até mais obrigado.