O conteúdo aborda os conceitos de arranjos (com e sem repetição) e combinações, bem como a aplicação desses conceitos em situações práticas, como extrações com reposição, placas de veículos, baralhos e torneios esportivos.
Entender a diferença entre arranjos (ordem importa) e combinações (ordem não importa), e saber quando os elementos podem ou não se repetir.
O conteúdo fornece as ferramentas básicas de contagem necessárias para resolver problemas combinatórios em diversas áreas, desde estatística até logística e planejamento de eventos.
O material explica como contar sequências de elementos retirados de um conjunto, considerando se a ordem importa e se os elementos podem se repetir. Ele mostra que, quando a ordem importa e os elementos podem se repetir, o número de sequências de tamanho r é nⁿ. Quando a ordem importa e os elementos não se repetem, o número é n·(n‑1)·…·(n‑r+1), que pode ser escrito como n!/(n‑r)!. Exemplos práticos incluem a contagem de combinações de cores de bolas, placas de veículos, cartas de baralho e jogos em torneios esportivos.
O conteúdo introduz a teoria combinatória, que permite analisar problemas de contagem em conjuntos grandes. Ele cobre permutações simples (arranjos sem repetição), permutações com repetição (arranjos com repetição), arranjos simples e arranjos com repetição, além de combinações (seleções sem ordem). A teoria é aplicada para calcular probabilidades em eventos dependentes e independentes, e para determinar medidas de tendência central como média, moda e mediana. Exemplos práticos incluem a contagem de sequências de cores de bolas, placas de veículos, cartas de baralho e jogos em torneios esportivos.
1. (1,50 pontos) Quantos arranjos simples existem de 5 elementos tomados 3 a 3?
2. (2,50 pontos) Qual é o número de combinações de 10 elementos tomados 4 a 4 sem repetições numéricas?
3. (2,50 pontos) Quantos arranjos com repetição existem de 7 elementos tomados 4 a 4?
4. (3,50 pontos) Em um torneio de 12 times, com turno e retorno, quantos jogos são disputados?
O Lá pessoal tudo bem? Muito bem, vamos dar início a segunda aula aqui da nossa semana, onde a gente vai estudar o conceito de arranjos, simples e arranjos com elementos repetidos.
Está certo? Ainda ainda dentro desse assunto da área de combinaitória, né? Primeiramente, a gente vai estudar o conceito de arranjos com elementos repetidos.
Como é que funciona assim? Imagina que você tenha um conjunto com n elementos e você tenha r e um número natural menor ao igual do que n.
Então, o que a gente define como sendo um arranjo com repetição dos n elementos tomados r, r, é nada mais do que qualquer r e upla de elementos de a, uma de os elementos não necessariamente são distintos.
Pelo princípio fundamental da contagem, a gente já disse que a gente tem n elementos dentro desse conjunto a, né? E a gente vai tomar um arranjo, né? Formado por.
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Na verdade, a gente vai tomar uma r e upla de elementos de a, não necessariamente distintos.
Então, a quantidade de tais arranjos vai ser justamente igual a n vezes n vezes n, tantas às vezes quanto r, no caso o r, ou seja, você vai tomar o produto de n por n mesmo, r vezes o que, por sua vez, é igual a n elevado a n.
Tá certo? Muito bem.
Então, vamos aqui dar um exemplo.
Olha só.
Imagina que você tem uma urna que contém três bolas, né? De cores diferentes.
Imagina que você tem uma bola preta que a gente vai denotar por p, uma vermelha que é denotada por v, uma branca denotada por b.
Então, a gente vai fazer o seguinte procedimento.
A gente vai extrair uma bola, observar sua cor e vai repor esta bola na caixa.
Tá certo? Então, a gente está fazendo uma extração com reposição.
Depois, novamente, uma bola extraída, sua cor é observada, né? E aí, a gente repõe.
Então, a pergunta aqui fica é, quantas são as possíveis sequências de cores observadas? Ok? Então, o que que acontece? Observe que cada possibilidade, né? Ela está associado a um par ordenado, porque você retira uma bola, observa a repõe.
Retira uma bola, observa e repõe.
Então, você fez duas observações, portanto, você tem um par ordenado, né? Aonde esses elementos, como você repõe a bola, esses elementos, eles podem ser repetidos, porque imagina que você pegou uma bola preta.
Você depositou a bola de novo, depois você pegou uma outra bola.
Eventualmente, pode ser a mesma bola, né? Você pode ter pegou a mesma bola, porque você repôs, né? Ela na caixa.
Então, imagina que, então, perceba que cada possibilidade está associada um par ordenado com elementos que podem ser repetidos, que pertencem ao conjunto A cartezendo A.
Aonde A é o conjunto formado pelas bolas, em questão, no caso, aqui são três, uma preta, uma vermelha, uma branca, ok? Então, dessa forma, a gente percebe que as possibilidades de sequências de cores observadas que nós temos vai ser justamente três vezes três, né? Que vai ser igual a nove possibilidades.
Tudo bem? Um outro exemplo, né? No Brasil, as placas de carro, né? Elas são formadas por uma sequência de três letras seguidas de quatro números.
Na verdade, esse padrão já está em transição, né? Para um padrão novo, mas, enfim.
Vamos imaginar que a gente está em uns três ou quatro anos atrás, né? E, de fato, todos os carros têm placas nesse padrão, certo? Ou seja, o código que tem lá na placa, ele é formado por três letras, seguidos de quatro números.
Então, a pergunta que fica é, quantos carros podem ser implacados com esse sistema, ok? Ora, que a gente precisa saber o que? Quantos arranjos é possível? Quantos arranjos diferentes é possível a gente formar com, da forma com forma a gente falou, né? Então, percebo o seguinte, percebo que nós temos o código que tem duas partes, né? Tem uma parte numérica e uma parte formada por números, uma parte formada por letras, né? Então, percebo o seguinte, a parte formada por letras, vamos ver quantas são as possibilidades de você arranjar.
Todas as 26 letras do alfabeto, nessa sequência de quatro, nessa sequência de três letras que nós temos no começo.
Então, percebo que a ordem na qual essas letras aparecem, ela faz toda a diferença, certo? E percebo também que nada impede de uma mesma letra, ela aparece mais do que uma vez, no código, tá certo? Então, percebo que as três letras de cada placa, elas podem ser dispostas de forma, de quantas formas, né? Veja, já que você tem um conjunto de 26 letras e você tem três posições para elas e elas podem se repetir, então você vai ter 26 vezes 26 vezes 26, que é a mesma coisa que 26 elevada ao cubo formas diferentes, o que totaliza 17.
576 formas diferentes.
Isso para despor apenas as letras, ok? Agora, para despor os quatro algoritmos da placa, ou seja, os quatro números daqui constam na placa.
Bom, nós temos dez dígitos, né? Para a gente escolher, digamos assim, porque a dê de zero até o 9, nada impede de alguns ou mesmo de todos esses dígitos, serem repetidos, então, portanto, o que a gente vai tomar é quando, de quantas formas a gente pode arranjar esses dígitos tomados 4 a 4.
Quer dizer, de quantas formas nós podemos despor esses quatro algoritmos, né, da placa, sendo que a gente tem, sendo que nós temos dez opções para cada posição.
Então, a gente vai ter 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10, o que totaliza 10 elevada a 4 é que é 10 mil formas diferentes, ok? Logo, para cada forma correspondente ao a disposição das letras, e para cada forma correspondente a disposição dos números, nós temos uma placa diferente, está certo? Então, no final das contas, o total de combinação vai ser o que? Vai ser o produto, está certo? Desses dois números aqui, o que vai totalizar 175 milhões, 760 mil carros que a gente consegue implacar nesse sistema, ok? Muito bem.
Agora, vamos estudar um pouco a respeito dos arranjos, né? Então, muito bem.
Imagina que você tem um conjunto com n elementos, e seja r, um número natural menor ou igual do que n.
Está certo? Então, um arranjo dos n elementos aqui que nós temos, tomados rr, é qualquer rúpla de elementos de a, onde todos eles agora são distintos entre si.
Então, a gente chama de um arranjo dos n elementos, tomado os rr, a qualquer rúpla de elementos de a, onde todos eles são distintos entre si e o que, o que de fato, digamos assim, é diferente do conceito de arranjos com elementos repetidos que a gente acabou de ver, está certo? Então, pelo princípio fundamental da contagem, mais especificamente, o teorema 2 da aula anterior, o número de tais arranjos vai ser o que? Ele vai ser igual a n vezes n menos 1 vezes n menos 2, até n menos r mais 1.
Então, você vai fazendo o produto de n, e dos elementos que são, e dos números naturais antecesores a eles, a ele, e você vai fazer isso até completar uma quantidade de r fatores aqui nesse produto, certo? Então, a notação que a gente tem para a quantidade de arranjos dos n elementos tomados rr, é justamente essa notação a sub índice nr, está certo? Então, a sub índice nr vai ser o produto de todos os números antecesores ao n, sendo que você vai ter exatamente r deles, ok? Todos na ordem, né? Muito bem.
Então, usando a notação de fatorial, é muito mais fácil a gente expressar essa expressão aqui anterior, dessa forma aqui, ela perceba que a gente pode escrever a sub índice nr como sendo n factorial, dividido por n menos r factorial, né? Porque quando você vai escrever esse n factorial, você vai fazer o produto até que vai chegar no número anterior ao n menos r, que por sua vez é justamente o n menos r mais 1, e depois o número que viria depois seria n menos r factorial.
Só que o n menos r factorial vai cancelar com o denominador, portanto, esse consciente é exatamente igual a esse produto aqui.
Tudo bem, pessoal? Muito bem, então, vamos dar agora aqui um exemplo onde a gente aplica o conceito de arranjos, né? Para a gente resolver.
Então, imagina que num baralho com 52 cartas, num baralho padrão, você retira 3 cartas sucessivamente sem reposição, ok? Então, a pergunta que fica é quantas sequências de cartas são possíveis de seu obter? Bom, perceba aqui, basta você calcular o número de arranjos dessas 52 cartas tomados 3 a 3, porque você perceba que, como você não repõe a carta que as cartas que você retirou, então, esses arranjos, eles vão ser certamente com elementos não repetidos.
Tá certo? Então, por isso, a gente basta calcular realmente a quantidade de arranjos do 52 cartas tomando as 3 a 3, onde lembrando que a ordem, na qual essas cartas vão sendo tiradas, influi, e é por isso que a gente está usando arranjos e não conceito que a gente verá na aula que vem, tá certo? Que é o conceito de combinações.
Então, dessa forma, a gente vai ter tantas sequências quanto são os arranjos da 52 cartas tomados 3 a 3, isso é igual por definição, a 52 fatorial dividido por 52 menos 3 fatorial, então, primeiramente, a gente resolve que está dentro do parentes, e somente depois a gente calcula o fatorial, certo? Não confunda isso daqui com 52 menos o número real 3 fatorial, porque estaria em correto, ok? Então, no final das contas, vai ficar com, vai ficar 52 fatorial dividido por 49 fatorial, então, isso aqui é 52 vezes 51 vezes 59 vezes 49 fatorial, que vai cancelar com o denominador e o que fica justamente esse produto aqui, tá certo? O que totaliza 132 mil e 600 sequências possíveis.
Muito bem, pessoal, então vamos ver agora que mais um exemplo, tá certo? Bom, imagine que a gente queira saber quantos números pares de 3 algalismos distintos pode se formar com os algalismos? 1, 3, 6, 7, 8 e 9 a disposição, ok? Muito bem, perceba que cada número de 3 algalismos distintos, formados com esses 3, com esses dígitos aqui, a disposição que de fato são 6 deles, 1, 2, 3, 4, 5, 6, cada número par de 3 algalismos distintos, formado com esses 6 dígitos, dispondo-se desses 6 dígitos, ele corresponde ao materno ordenada, aonde a gente vai despor 3 desses caras aqui, sabendo que o último deles só pode ser o 6 ou então 8, para que o número seja par, porque aí o último número tem que ser um múltiplo de 2, e os únicos múltiples de 2 dentro dessa lista é o 6 e o 8, ok? Então vamos olhar, primeiramente, para aqueles números que têm 3 algalismos, todos eles distintos entre si, que vão ser formados, com esses dispondo-se desses 6 números, aqui aonde o último algalismo é necessariamente igual a 6, ok? Então, percebo o seguinte, bom, eu já usei um desses algalismos aqui para colocar na última posição, então quantos outros eu recebo a minha disposição, um, dois, três, quatro, cinco, eu tenho uma menos do que aquilo que eu tinha, né? Então percebo que cada número, ele vai corresponder um arranjo que eu consigo fazer desses 5 algalismos que sobram para colocar em cada uma das duas posições restantes aqui, e percebo que a ordem, na qual os números aparece em porta, porque se você altera a ordem, o número em questão vai ser diferente, tudo bem? Então por isso que eu conceito de arranjo que a gente está usando.
Então, a gente vai fazer isso tanto quando, tanto quando o último algalismo é o 6, bem como quando o último algalismo é o 8, certo? Então, quando a gente, quando o último algalismo for o 8, a gente vai ter tantos números de 3 algalismos distintos, dispondo-se desses 6, aonde o último é o 8, quantos são os arranjos de 5 números restantes tomados 2 a 2, onde nós temos duas posições para se fazer isso, então basicamente o que a gente vai ter vai ser 2 vezes o arranjo de 5 tomado 2 a 2, o que vai corresponder a 2, que multiplica 5 fatorial dividido por 5 menos 2 fatorial, ok? Então 5 menos 2 fatorial vai dar 3 fatorial, então isso aqui vai ficar 2, que multiplica 5 vezes 4, o que vai corresponder a 40 números diferentes, ok? Pessoal, muito bem, agora aqui um outro exemplo, imagina que nós temos um torneio de 2 turnos, onde participam exatamente 20 tímes e a gente quer saber quantos jogos serão disputados, ok? Bom, vamos considerar o conjunto dos 20 tímes, vamos chamar de 1 junto dos 20 tímes, como nós temos turno e returno então cada tíme joga com o outro exatamente 2 vezes, certo? Então em cada um dos turnos cada tíme joga contra todos os demais, exceto contra o segundo mesmo, obviamente, né? Então observe que os pares ordenados AB e estão associados a jogos entre os mesmos tímicos, porém, em turnos distintos.
Então, são jogos diferentes, porque é turno e retorno.
Tá certo? Então, no final das contas, como cada time não joga consigo mesmo? Porque isso não é possível.
Então, perceba que cada jogo corresponde a um par ordenado aonde você tem que os dois elementos são distintos entre si.
Tá certo? Então, no final das contas, o que a gente precisa calcular, quanto são os arrângios dos 20 tímis tomados 2 a 2.
Ou seja, você vai calcular o arrângio de 20 tomado 2 a 2.
O que vai corresponder a 20 fatorial dividido por 20 menos 2 fatorial, que por sua vez vai dar 20 fatorial menos 18 fatorial, que vai corresponder a 20 vezes 19.
E aí, isso daqui totaliza exatamente 380 jogos no total.
Tudo bem, pessoal? Bom, espero que vocês tenham compreendido bem e tenham entendido bem esse conceito de arrângios simples e com elementos repetidos.
A gente deu vários exemplos, que eu tenho certeza que vai ajudar nos no hora de resolução dos exercícios e das avaliações.
Tá certo? Valeu, pessoal.
Muito obrigado.
A gente se vê na próxima.
Até mais.