Texto original

O texto original pode conter falhas de gramática ou de concordância, isso ocorre porque ele foi obtido por um processo de extração de texto automático.

Texto extraído do video Matemática - Permutações simples e com elementos repetidos

Ainda é a próxima vez.
Ainda é a próxima vez.
Ainda é a próxima vez.
Ainda é a próxima vez.
Ainda é a próxima vez.
Ainda é a próxima vez.
Olá pessoal, tudo bem? Muito bem, então vamos dar início agora.
A séptima semana do nosso curso.
Aonde a gente vai estudar um pouco a respeito de análise e combinaitória.
Bom, dentro desse assunto de análise e combinaitória, o primeiro assunto, né, suba assunto que a gente vai estudar.
São as permutações simples e as permutações com elementos repetidos, ok? Então antes de mais nada, vamos entender um pouco a respeito do que que vinha ser de fato a análise e combinaitória.
Tá certo? Bom, a análise e combinaitória é a visa desenvolver métodos que nos permitam contar números, ou seja, a quantidade de elementos que determinados conjuntos têm.
E, em geral, esses elementos, eles são formados pelos agrupamentos possíveis que se conseguem fazer sobre certas condições, ok? Que, em geral, visam resolver um certo problema.
Tudo bem? Muito bem.
Bom, então vamos pensar aqui como exemplo.
Quantos são os números de três algoritmos que se pode formar dispondo dos dígitos desde 1 a 109? Tudo bem, isso daí é uma questão que se coloca, né? Então, por exemplo, no exemplo anterior, a gente poderia resolver o problema listando todos os números de três algoritmos que se consegue criar dispondo dos dígitos desde 1 a 109.
O ocorre que todas as possibilidades possíveis eram totalizar uns 720 nº, o que, obviamente, fica muito complicado de, de fato, construir uma lista que tenha todos esses 720 nº para que, de fato, a gente possa concluir que existem 720 nº e 29 nº de três dígitos que se pode criar, de três algoritmos que se pode criar com aqueles dígitos, ok? Então, isso daí é possível, embora seja muito trabalhoso e demorado, certo? Agora, com os métodos que a gente vai estudar ao longo dessa semana, que é quando a gente está estudando anadias e combinatória, a gente vai ver que chegar em esse número, né? Por exemplo, chegar à totalidade desses números que tem três algoritmos que se escreve com aqueles dígitos disponíveis e é algo que, de fato, demanda muito pouco tempo esse forço para se calcular, certo? Então, basicamente, anadias e combinatória é uma área da matemática que se dedica a estudar métodos que nos permitam contar quantidades de elementos de conjuntos que, em geral, tem muitos elementos e, por esse motivo, você faz necessário desenvolver o desenvolvimento de certos métodos para isso.
Tá legal? Muito bem.
Antes de mais nada, vamos nos familiarizar aqui com uma notação bastante útil, principalmente quando se trata de anadias e combinatória que é a notação de fatorial, né? Então, a fim de simplificar as fórmulas que a gente vai estudar, a gente desenvolve a notação de fatorial, tá? Então, dado n o número natural, a gente define como sendo n fatorial e assim que a gente vê isso, tá, n fatorial, como sendo o produto dos números, dados começando pelo n e, depois, esses números vão decrescendo de 1 em 1 até chegar no número 1.
Tá certo? Então, no caso, vai ser n vezes o número natural anterior ao n, que é o n menos 1, depois, o anterior ao número n menos 1, que é o n menos 2, e assim por diante, até que a gente chega no número 1.
Tá certo? Então, por convenção, né? Já vista que essa definição não se aplica a quando n é 0, a gente define o zero fatorial como sendo igual a 1.
Tudo bem? Isso por convenção.
Muito bem.
Então, as apenas atítulos de exemplo, né? Por exemplo, quatro fatorial, que número é isso? Vai ser o número dado pelo produto de 4 por 3 por 2 por 1.
Se você o effectuar todas essas multiplicações, a gente vai chegar no número 24.
O número 8, o fatorial, vai ser o número 8, vezes 7, vezes 6, vezes 5, e assim por diante, até 1.
Quando você fizer essa multiplicação, você vai chegar ao resultado de 40,320.
Ok? Que corresponde ao 8 fatorial.
Quando a gente foi escrever certas fórmulas dentro da nade, dentro da nade e combinatória, vai ser muito comum.
A gente ter situações nas quais a gente vai precisar simplificar certos conscientes dados dessa forma.
Imagina que você tem uma expressão do tipo n fatorial, dividido pelo k fatorial, onde n e k são números naturais e o k é menor do que o n.
Então, não é difícil a gente ver que se você for desenvolver o n fatorial, a jabista é que o k é menor do que n.
Você vai ter que escrever isso, você pode escrever isso aqui da seguinte forma, né? n vezes n menos 1, vezes n menos 2, vezes 1 número inteiro, sucessor do k, certo? Que no caso é k mais 1, e aí finalmente a gente chega no k.
E depois continuaria, vezes k menos 1, k menos 2, k menos 3, até 1.
O corre que quando você chega no k, todos os restos da multiplicação, vai compor justamente esse número que é o k fatorial.
Então, você pode escrever n fatorial como sendo n, que multiplica n menos 1, que multiplica n menos 2, n menos 3, até o k mais 1, está certo? E depois k fatorial.
E aí, vamos lembrar que a gente está dividindo por k fatorial, esse k fatorial cancela com esse, e o que sobra no final das contas é o que? É o produto de todos os números naturais, a partir do k mais 1, chegando até no n.
Tudo bem, isso corresponde a n fatorial sobre k fatorial.
Tudo bem, essa expressão vai ser útil, mas para frente.
Muito bem, bom, os conceitos principais de análise combinadora que a gente vai estudar aqui, que são as perguntações, os arranjos e as combinações, elas derivam fundamentalmente do que a gente chama de princípio fundamental da contagem.
Tudo bem, então, esse princípio fundamental da contagem, digamos que é o ponto de partida.
A limite de várias versões, tem, pelo menos, enfim, tem diversas versões, o princípio fundamental da contagem, e a gente vai apresentar duas delas que, em particular, vão nos ser muito úteis.
Então, começando pela primeira, que é o teoremão 1, esse teoremio fala o seguinte, olha, a primeira versão do princípio fundamental da contagem.
Ele fala o seguinte, se você tem k conjuntos, aonde cada um deles tem uma certa quantidade de elementos que a gente está denotando por n1, a quantidade de elementos do 1, n2, a quantidade de elementos do 2, nk, a quantidade de elementos do nk.
Essa notação aqui, vocês podem ler nesse momento, a já vista que esses conjuntos são todos finitos, como sendo a quantidade de elementos que esses conjuntos têm.
Tudo bem? Então, o teoremão fala o seguinte, olha.
Se você olhar para o conjunto dado pelo produto carteseano de todos esses k conjuntos finitos aqui que a gente tem, então esse produto carteseano, que lembrando isso daqui ao conjunto das kaúplas ordenadas de elementos, aonde a primeira coordenada pertence ao alvão uma segunda coordenada pertence ao alvão 2, e assim por diante, ok? Então, esse produto carteseano, ele tem exatamente n1 vezes n2 vezes n3 até o produto, até o nk elementos, ok? Então, perceba que sabendo quantos elementos têm cada um dos conjuntos que formam o produto carteseano, a gente consegue saber quantos elementos têm o produto carteseano.
Essa informação vai ser muito útil para a gente mais para frente.
O teoremão 2, ele é um pouquinho diferente, ele fala o seguinte, imagine que você tenha um conjunto com n elementos, ok? E dado r o número natural menor do kn, então, é possível, o que o teorema firma, é que é possível formar essa quantidade de r uplas ordenadas de elementos 2 a 2 de juntos diá, ok? Então, aqui a gente vai olhar dentro do conjunto a, carteseano a, carteseano a, r vezes, a gente vai olhar apenas para aquelas n uplas de elementos que são todos distintos entre si, tudo bem? Então, o que o teorema fala é que a quantidade de r uplas de elementos distintos que você consegue formar com elementos de a vai ser o kn vezes n menos 1 vezes n menos 2 até o n menos n mais 1.
Tudo bem, essa quantidade aqui.
Isso daqui também vai ser extremamente útil quando a gente for resolver problemas de combinaitória.
Tá certo? Muito bem, então vamos ver em particular agora alguns exemplos, né? De como que esses dois teoremas eles podem ser usados para resolver problemas de anades e combinaitória.
Tá certo? Bom, o primeiro exemplo, né? Um exemplo muito típico, muito comum de se encontrar nos livros aí de anades e combinaitória que fala o seguinte.
Bom, imagina que uma moeda não viciada, né? Ela é lançada cinco vezes, tá certo? Qual é o número de sequências possíveis de cara e coroa que você pode obter? Tá certo? Então, o que que acontece? Bom, vamos pensar, né? Então, a cada sequência de cara ou coroa dada por esses cinco lançamentos, então aqui a gente vai simbolizar com um cem-aí-usculo quando cai cara e por um cá-aí-usculo quando cai-curupa, tá certo? Então perceba que cada sequência de cinco lançamentos ela está associada a uma cincupla desse tipo aqui aonde a letra A minúsculo representa, ela pode assumir os dois valores, c ou k, tal como bet, tal como seta, tal como deit, tal como eit.
Então, cada uma dessas entradas aqui, dessa cinco upla, ela pode assumir qualquer valor dentro desse conjunto de possibilidades, que no caso é o conjunto cara e coroa, que é o conjunto c k, que, pois bem, cara sequência de lançamento está associada a uma cinco upla que você pode construir dispondo-se desses elementos aqui, tá legal? Então, perceba que a quantidade total de sequências possíveis ela vai ser justamente igual a quantidade de elementos que você consegue criar dentro desse conjunto dado pelo A, Cartesianua, Cartesianua, Cartesianua, Cartesianua, Cartesianua, cinco vezes, porque cada um desses conjuntos vai representar uma das vezes que você está lançando, ok? Então, o nosso problema se resume, a gente consegue contar quantos elementos tem esse conjunto, tá certo? Ora, ocorre que pelo teoreman 1, a já vista que o conjunto A é ele tem cinco, a já vista que o conjunto A, ele tem dois elementos, porque o conjunto formado por cara e coroa, então, a gente vai ter esse conjunto aqui, ele vai ter exatamente 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, que no caso vai ser 2 elevado a quinta elementos, que no caso da 32 elementos.
Logo, a gente não precisa ficar montando as combinações, apenas usando o princípio fundamental da contagem e a gente sabendo modelar, ou seja, traduzir esse problema para a linguagem da análise combinadora, a gente conseguiu concluir que existem exatamente 32 sequências possíveis, possíveis, tá certo? Um outro exemplo, imagine que você tenha 5 atletas participando de uma corrida, então pergunta, se quando são os resultados possíveis para o primeiro, segundo e terceiro lugar, tá certo? Bom, o que que acontece? Imagine que você tem aqui o conjunto dos atletas, que é um conjunto formado por cinco elementos, e aí, cada possibilidade, de primeiro e terceiro lugar, ou seja, cada possibilidade propódio, digamos assim, ele corresponde ao materno, ou seja, a matriploma ordenada de elementos onde cada um desses elementos está dentro do conjunto dos atletas.
E você sabe que esses dois elementos, esses elementos têm que, por definição, ser 2 a 2 distintos entre si, porque se um atleta fica em primeiro lugar, ele não pode ficar nem em segundo, nem terceiro, enfim, uma atleta não pode ficar em duas posições ao mesmo tempo, certo? Então é por isso que se exige que essa terna seja formada por elementos do conjunto dos atletas, porém, 2 a 2 distintos, tá? Isso faz com que a gente não possa utilizar o primeiro teorema para resolver esse problema, mas sim o segundo, porque o segundo teorema é uma que trata de quando você está tratando de reúplas de elementos do conjunto em questão, formada por elementos distintos entre si, então aqui o nosso conjunto tem 5 elementos, a gente tem ter internas ordenadas, então a gente vai ter de elementos distintos, então a gente vai ter 5 vezes 4 vezes 3, que por sua vez é igual a 60 possibilidades para os 3 primeiros lugares, então existem 60 possibilidades de pódio para o final aqui dessa corrida, tá certo? Muito bem, então agora vamos estudar um pouco de.
.
.
muito bem, vamos estudar agora um pouco de permutação simples, né? Então o que acontece? Imagina que você tem um conjunto de n elementos, então a gente vai conjunto a que tem exatamente n elementos, o que que vem a ser uma permutação desses n elementos? Uma permutação desses elementos é qualquer n-upla formada com esses n elementos de cintos 2 a 2, então basicamente é qualquer forma que você consegue de imbaralhar esses n elementos, lembrando que eles vão ser.
.
.
como eles conjuntam exatamente n elementos, então subintense que todos esses elementos são distintos entre si, tá certo? E na permutação você cria uma n-upla com esses elementos, porém, aonde todos eles figuem, tá certo? Então como consequência do princípio fundamental da contagem, um conjunto que tem n elementos é possível a gente provar que existe exatamente n fatoriais, n fatorial permutações desses elementos, tá certo? Então exemplo, imagina que você quer resolver o seguinte problema, de quantas formas cinco pessoas podem ficar em fili indiana, fili indiana é aquela onde uma fica atrás da outra, né? Bom, você tem um conjunto com as cinco pessoas, você sabe que cada configuração da fila indiana corresponde a uma determinada permutação desses elementos, ou seja, corresponde a uma determinada 5-upla que você toma dentro desses cinco elementos, onde os elementos são distintos entre si, ou seja, dessa forma, né? A já vista que no conjunto com cinco elementos existem exatamente cinco fatorial permutações, então a gente sabe que existe 120, né? Que é igual a cinco fatorial formas diferentes de você colocar cinco pessoas em uma fila indiana, tudo bem? Uma outro tipo de exemplo muito importante, tá certo? Esse tipo de exemplo ele figura dentro dos exercícios propostos para vocês fazerem, então é extremamente importante que vocês sabem fazer, tá? Mas quantos anagramas existem da palavra enzo, por exemplo? O que é um anagrama? Um anagrama é uma permutação que você tem de todas essas letras aqui, ok? Muitas vezes a gente vai fazer anagramas de palavras com letras repetidas e aí fica um pouco mais complicado, tá? Mas quando se trata aqui, que é como o nosso caso de todas as letras serem distintas, então o conceito de permutação simples já vai conseguir resolver, tá certo? Então o que é um anagrama? Anagrama na cada anagrama corresponde a uma permutação dessas quatro letras.
Ora, então, no final das contas, onde todas as elas são distintas entre si.
Então dessa forma a gente vai ter, como cada anagrama corresponde a uma permutação, sendo que a gente tem um conjunto que tem quatro letras, então a gente vai ter quatro fatorial que é igual a 24 anagramas distintos dessa palavra, lembrando que essa forma de se resolver se aplica, unique exclusivamente pelo fato de que nessa letra não há letras repetidas, ok? Muito bem, agora vamos ver permutações com elementos repetidos que justamente serve, por exemplo, para resolver problemas como anterior, quando você tem letras repetidas dentro de uma palavra, tá? É um exemplo.
Imagina que você tem um conjunto com n elementos aonde agora a gente está representando, aonde agora nessa forma de escrita aqui, cadeles se repetem quantidades.
Por exemplo, um deles se repete uma quantidade n uma vezes, um outro elemento se repete n duas vezes e até o caísmo elemento, um dos elementos se repete n e k vezes.
Então aqui dentro a gente tem dentro dessa lista k elementos que se repetem uma quantidade de vezes a depender do próprio elemento, tá? Então o número das permutações desses elementos vai ser o que? Ele vai ser, lembrando que aqui nós temos n elementos, não vai ser n factorial, só que tem alguns desses elementos que se repete uma certa quantidade de vezes.
Então a gente precisa meio que descontar isso daí.
Isso vai fazer com que existem menos permutações desses elementos do total.
Então a gente precisa dividir por n1 factorial, que é a quantidade de vezes que um dos elementos se repete, vezes n2 factorial, que é a quantidade de vezes que o outro elemento se repete até n k, a quantidade de vezes que o último elemento, que o último elemento que se repete, se repete, tá certo? Nos exemplos tudo isso vai ficar muito mais claro, tem certeza disso.
Então vamos começar.
Imagina que a gente quer saber quantos anagramos existem na palavra Maria? Bom, primeira coisa que a gente tem que ver quantas letras nós temos.
Nós temos 1, 2, 3, 4, 5 letras, ok? Ok? O corre que ela entra a ela se repete duas vezes.
Então não posso tratar esse exemplo como se fosse uma palavra onde todas as letras são diferentes.
Porque quando você escreve uma anagrava, se eu colocar esse a aqui e esse aqui, então se eu trocalo a disposição, simplesmente você vai estar olhando para a mesma palavra.
Então esse é o motivo pelo qual você precisa dividir pelo fatorial da quantidade de vezes que cada uma das letras que se repete, em de fato, se repete.
Ok? Então aqui, nesse caso, nós temos apenas uma letra que se repete exatamente duas vezes.
Então pelo resultado anterior, nós temos quantos anagramos diferentes, ou seja, quantas permutações desse conjunto que a gente vai ter dessas letras.
A gente vai ter 5 fatorial, que é a quantidade total de letras, dividido por 2 fatorial, porque nós temos uma letra que se repete 2, 2 vezes.
Então vai aparecer 2 fatorial.
Então quando a gente for fazer os cálculos, vai ficar 5 vezes 4 vezes 3, esse 2 fatorial vai cancelar com esse, e no total nós temos 60 anagramos diferentes, ok? Ao passo que se todas as letras fossem distintas, nós teríamos exatamente 5 fatorial anagramos que o que totalizaria 120 anagramos.
Está mais aqui como tem uma que se repete 2 vezes, então nós temos menos anagramos possíveis.
Tudo bem? Agora, um exemplo um pouco mais elaborado.
Quantos anagramos existem da palavra? Matemática.
Veja quantas letras nós temos? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 letras.
Ok? O corre que tem algumas letras que se repetem certa quantidade de vez.
Então veja, a letra M se repete 1, 2 vezes.
A letra A se repete 1, 2, 3 vezes.
E a letra T se repete 2 vezes.
Ok? Então nós temos 10 letras, sendo que a letra M se repete 2, a letra A se repete 3, a letra T se repete 2 vezes.
Dessa forma, um número total de anagramos que a gente vai conseguir, essa palavra vai ser o que? 10 fatorial que é a quantidade total de letras dividido pelo produto do fatorial da quantidade de vezes que se repete cada uma das letras que se repete.
Então temos uma que se repete 3, outra 2 e outra 2.
Então vai ficar 10 fatorial dividido por 3 fatorial, vezes 2 fatorial, vezes 2 fatorial.
Tudo bem, pessoal? Muito bem, pessoal.
Então a gente encerra aqui a salvo.
Espero que vocês tenham aproveitado e a gente se vê na próxima.
Então, muito obrigado.