O vídeo aborda funções de segundo grau (quadráticas), explicando sua estrutura, condições para serem do segundo grau, concavidade, raízes, vértice, construção do gráfico, discriminante e aplicação prática em problemas de física (trajetória de projéteis).
O discriminante e o vértice são cruciais: eles determinam a forma do gráfico, a existência de raízes e os valores extremos da função.
Compreender funções quadráticas permite analisar e desenhar gráficos, resolver equações, determinar máximos e mínimos e aplicar esses conceitos em situações reais, como a física de projéteis.
O vídeo explica que uma função de segundo grau tem a forma f(x)=ax²+bx+c, sendo a diferente de zero. A concavidade depende do sinal de a: se a for positivo a parábola abre para cima (parece sorrir), se for negativo abre para baixo (parece triste). Para desenhar o gráfico, primeiro verifica a concavidade, depois calcula as raízes (pontos onde a curva cruza o eixo x), o intercepto no eixo y (valor de c) e o vértice (ponto de máximo ou mínimo). O discriminante Δ=b²-4ac indica quantas raízes reais existem: Δ>0 → duas, Δ=0 → uma, Δ<0 → nenhuma. O valor máximo ou mínimo da função é o y do vértice; se a<0 é máximo, se a>0 é mínimo. O vídeo também mostra um exemplo de aplicação em física, onde a altura de um projétil é descrita por uma função quadrática e o ponto máximo corresponde à altura máxima.
Funções de primeiro grau (lineares) têm a forma f(x)=mx+b e produzem retas no plano cartesiano. O coeficiente angular m determina a inclinação e o intercepto b indica onde a reta cruza o eixo y. Já as funções de segundo grau, ou quadráticas, têm a forma f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0. Elas geram parábolas, cuja direção (para cima ou para baixo) depende do sinal de a. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola, chamado vértice, tem coordenadas x_v=-b/(2a) e y_v=-Δ/(4a), sendo Δ=b²-4ac o discriminante. O discriminante indica a quantidade de raízes reais: Δ>0 → duas raízes, Δ=0 → raiz dupla, Δ<0 → nenhuma raiz real. As raízes são os valores de x que fazem f(x)=0 e correspondem aos pontos onde a parábola cruza o eixo x. O intercepto no eixo y é simplesmente o termo constante c. Para construir o gráfico de uma função quadrática, segue-se: 1) determinar a concavidade (a>0 ou a<0); 2) calcular as raízes; 3) marcar o intercepto y; 4) encontrar o vértice; 5) traçar a curva simetricamente em torno do eixo de simetria x=x_v. O valor máximo ou mínimo da função é o y do vértice; se a<0, a função tem um máximo, se a>0, tem um mínimo. Esses conceitos são fundamentais em matemática e em aplicações práticas, como a análise de trajetórias de projéteis, onde a altura máxima é obtida pelo y do vértice da função quadrática que descreve a trajetória.
1. (1,50 pontos) Qual é o vértice da função f(x)=2x²-8x+6?
2. (2,50 pontos) Qual é o valor máximo da função f(x)= -x²+4x-3?
3. (2,50 pontos) Qual é o discriminante da função f(x)=x²-6x+5?
4. (3,50 pontos) Um projétil é lançado com velocidade inicial de 20 m/s a 30° acima da horizontal. A altura é dada por h(t)= -5t² + 20t. Qual é a altura máxima?
Fala, freio, se deu o play no vídeo, vem até o final aprender a função do segundo grau.
Esse vídeo vai ser diferente.
Eu vou explicar direto, eu vou apagar e continuar explicando e não tem corte.
Acabou o vídeo, você aprendeu.
Lembrando, que é estudar comigo no curso completo de uma matemática do zero ao topo, clicar na descrição e vem.
Vamos nessa.
Função do segundo grau.
A estrutura, eu tenho a encôminita elevada ao segundo grau.
É o maior grau que eu tenho da função.
Curio, e qual é a condição para uma função certo segundo grau? O termo, isso mesmo, coeficiente que acompanha o x², ser diferente de zero.
Ele tem que existir sendo diferente de zero.
Curio, já dá um exemplo que, atual, é assim, sempre com exemplos.
Claro, a schm para que seja do segundo grau, ou seja, acho o valor de m aqui para que essa função seja do segundo grau.
Aqui, eu tenho o termo de segundo grau, tendo coeficiente com a encôminita m.
O que eu vou fazer? O que está acompanhando x², eu vou falar que ele tem que ser diferente de zero, que essa é a condição.
Se você assistiu o vídeo de equação do segundo grau, você sabe resolver aqui o m² diferente de 4, que eu passei para cá, m diferente de mais ou menos raiz quadrada de 4, não esquece do mais ou menos.
Logo, m diferente de mais ou menos 2, para todos os outros valores reais de m, você tem essa função sendo do segundo grau, não podendo ser o 2 e o menos 2.
Curio, essa parte eu peguei.
Agora, eu quero aprender com cavidade, eu quero achar a issa de uma função do segundo grau e eu quero saber construir o gráfico.
Inclusive, valor de função máxima, eu fico perdido, vai ver nesse vídeo.
Vamos nessa.
A concavidade, quem vai aditar com a cavidade da parábola, que é o gráfico da função do segundo grau, é o valor do coeficiente A, é o coeficiente do termo de segundo grau.
Curio, como assim? Você vai guardar o seguinte, se o afor positivo, a parábola vai estar sorrindo, a positivo parábola sorrindo.
Curio, ficou igual a carinha aqui.
Vou botar até o topetinho dele.
Perfeito? A maior que zero parábola sorrindo.
E se tiver negativo, aí é triste, frete.
A negativo, a menor que zero, a parábola está com a concavidade voltada para baixo.
Ela está triste, aqui eu vou fazer uma franginha nesse daqui, pegou.
Então não esquece mais.
A maior que zero, positivo, com cavidade da parábola voltada para cima, sorrindo.
A menor que zero negativo, o valor de A, com cavidade da parábola voltada para baixo, triste, negativa, perfeito? Como achar a raiz da função? Frente, é super importante saber achar a raiz da função.
Até porque você precisa construir o gráfico, saber os valores que a mula a função, logo eu preciso achar a raiz.
E para achar a raiz você aprendeu lá, né? O A é igual a 1, o B é menos 6, e o C é 5.
Você aprendeu a fazer báscara, a equação do segundo grau.
Você primeiro, igual a zero, que a intenção é achar a raiz, e se achar a raiz você quer os valores de x, que a mula a função.
Logo eu vou pegar o y, que é o valor da função, e vou chamar de zero.
Igualando, eu tenho o quê? Aqui você está diante de uma equação do segundo grau, que se você não lembra, eu vou resolver por báscara para você.
E na sequência aqui, eu vou construir o gráfico dessa função, perfeito? Então vamos nessa, achando as raízes.
Primeiro, eu vou achar o valor de delta, que é b²-4C.
Subestituindo b, o A, o C, eu tenho aqui, menos 6², menos 4 vezes 1, vezes o C que é 5.
Ficou o valor agradável, porque? menos 6² é 36, e esse produto dá 20, dando delta um número quadrado perfeito, 16.
Achando 16, eu venho aqui para achar as raízes.
X igual a menos b, mais ou menos raiz de delta, sobre 2 vezes a.
E aí eu vou achar as raízes aqui, sendo 1 e 5.
Fazendo essa conta, as raízes vão dar 1 e 5.
Curiu? Achei a solução, achei as raízes, deu 1, deu 5, perfeito, mas eu quero saber como construi o gráfico de uma função do segundo grau.
Vou dar o delete aqui, nessa parte, que nós já vimos, e vou construir para você o gráfico da função do segundo grau.
Curiu, como você vai construar o gráfico? Primeiro, eu vou te dar umas dicas aqui.
O gráfico, o foco é construiográfico, como eu disse, esse vídeo é direto.
Dessa função aqui, x² menos 6x, mais 5.
Para construir o gráfico da função, você vai fazer o seguinte.
O primeiro passo, você vai verificar se a parábola está sorrindo ou triste, há com cavidade, acela a sorrir, que nós já vimos com topetinho, ou se ela fica triste, que nós já vimos com a franjinha.
O segundo passo, olha o bisur, não esquece, você vai fazer o seguinte, você vai achar as raízes.
Isso mesmo vai achar as raízes da função.
Curiu, olha, por que achar as raízes? Porque as raízes cortam o eixo x.
Então, quando você achar as raízes, seja ela sorrindo ou triste, você passa até essa informação aqui.
Se ela estiver sorrindo, você tem os pontos onde elas cortam as raízes, onde a parábola corta as raízes, o mesmo está do triste, vai cortar aqui e aqui, pegou.
Então, essa é a importância de achar as raízes da parábola.
Curiu, mais um bisú para eu não esquecer, o terceiro passo, freense, não esqueça, quando você for construir o gráfico de uma função do segundo grau, sempre a parábola vai cortar o eixo y no valor de c.
Curiu, mentira, te digo verdade.
Sempre a parábola vai cortar o eixo y no valor de c.
Curiu, olha, dá um exemplo.
Você tem uma parábola aqui.
Eu posso afirmar que ela corta no valor de c, do termo independente, exatamente.
Então, curiu, aqui não tem esses x.
Então, eu posso afirmar que aqui, o c igual a 5, logo a parábola vai cortar o eixo y no 5.
Sim, esse vai ser o gráfico que nós vamos construir.
Por último, eu vou explicar para você as o valor de másso e mínimo da função.
Então, já expliquei isso daqui de sorrenda e triste.
Vou encaixar aqui o quarto passo, primeiro, segundo, terceiro, e quarto passo para construirmos o gráfico.
O quarto passo é você achar o verde da parábola.
Curiu, o verde da parábola é onde ocorre o quê? Onde ela muda de sentido? E o verde é um ponto, né, dela, onde tem duas coordenadas, o x do verde e o y do verde.
Eu vou botar aqui para você nos esquecer, x do verde, menos b sobre 2a, e y do verde, menos delta sobre 4a.
É importante você guardar essa estrutura, mas vamos lá.
Vamos construir os gráficos, lembrando que eu já tinha as raízes, vou botar aqui para você.
As raízes foram 1 e 5.
Perfeito? Agora vamos nessa.
Seguindo passo a passo, como achar o gráfico dessa função que aqui está? Primeiro, é o que você vai fazer.
Você tem aqui o eixo y e o eixo x.
Perfeito? A biscisa, a biscisa, o x e y é ordenada.
Vamos seguir os passos.
Primeira parábola sorrir, ou está triste.
X²-6x-5, valor de a é 1.
C é 1.
Eu já vou fazer essa notação aqui no canto.
Seu a igual, ele é positivo, a parábola está sorrindo.
Segundo passo, vamos achar as raízes dessa função.
Como achar as raízes, igual a 0, nós fizemos ela aqui e tivemos como resposta 1 e 5.
Você vai na sua prova e vai marcar 1, 2, 3, 4, 5.
Segundo um monstro de entitância.
Terceiro, nós vamos ver onde é que o gráfico corta o eixo y.
Ele vai cortar o eixo y, no valor de c.
O c, não é 5.
Você pode afirmar que ele vai cortar o eixo y no 5.
Quando eu já posso mostrar o gráfico, claro, está aqui, os boas aqui.
Já está aqui o seu gráfico que é esboçado.
Só que ele desce até onde.
Aí vem a pergunta crucial.
Ele desce até o vértice da parábola e, como eu acho o vértice, calculando o x do vértice y do vértice.
Mas eu vou te dar um bisu.
Mas vamos lá.
Se fosse calcular o x do vértice, é menos b.
Olha quem é o b, nós já vimos, é menos 6.
É menos b sobre 2 vezes a.
O a está aqui, o a é 1.
Então, 2 vezes 1.
X do vértice menos com menos dá mais 6 sobre 2 é a resposta 3.
Está aqui, ó.
10, 10, 10.
Achei aqui, ó, x do vértice.
Porque o vértice tem duas coordenadas, lembra? O x do vértice e o y do vértice.
Axamos o x do vértice.
Agora, basta achar o y do vértice.
Que eu vou jogar aqui, ó, y do vértice, igual a menos delta.
O delta tinha andado em 16.
Então, é menos 16 sobre 4 vezes 1.
E menos dividendo por mais dá menos.
Resposta, menos 4 é o meu ípsilão do vértice.
Pegou, e assim, nós construímos o gráfico da parábola em 4 passos.
Curiu, a, entendi, perfeitamente.
Só que tira uma dúvida.
Eu posso afirmar que o x do vértice é sempre equidistante das duas raízes.
Sim, você pode afirmar que o x do vértice é estará sempre no meio.
Ele tem a mesma distância entre as duas raízes.
Pegou, dá o print 4xC e vamos para a próxima.
Curiu, fala a próxima parte que você vai falar.
O pessoal tem muita dificuldade em ver o valor máximo e o valor mínimo da função.
É algo que cai muito em prova do ensino médio com cursos vestibulares.
E a galera tem dificuldade.
Então, vamos nessa.
Presta atenção no bisu que eu vou te dar.
Só que antes, eu vou falar o seguinte para você.
Lembra daquilo? Delta maior que zero tem duas raízes reais e distintas.
Delta igual a zero, duas raízes reais e guais.
Delta menor que zero não admit raíze real.
Não tem raíze real.
Isso é algo muito importante também.
Curiu, então criou a tabela para mim? Agora, vou botar aqui para você.
Para você não esquecer as duas situações.
É, quando o A é positivo e quando o A for negativo.
Então, antes de falar de mais ou menos, a nota é subisuaí que eu vou dar para você aqui.
Então, está aqui.
A positivo e a negativo.
Curiu, ficou top-esquado.
Bem agado.
Vamos nessa.
Está aqui.
Delta maior que zero.
Você tem a paráblola cortando o eixo x em dois pontos.
Porque tem duas raízes reais e distintas.
X₁ e x₂.
Curiu, a eixo, foi negativo.
Lembra que é triste.
Então, a mesma situação vai ter o eixo x, só que estará triste, cortando também em x₁ e x₂.
Curiu, a estudo de cenagem.
Como eu faria gráficos acima de x₁, função positiva abaixo aqui negativa.
Aqui, contrário, negativo na extremidade positivo no meio.
Curiu, mas se o delta foi igual a zero, se foi igual a zero, as raízes são reais e iguais.
Ela toca o eixo x, no caso a paráblola, em apenas um ponto ela sorrir na colona do apostivo, tocando o eixo x onde são as raízes.
Na verdade, elas são iguais, em apenas um ponto.
Curiu, a eixo estiver triste.
É o mesmo procedimento.
Ela está triste tocando em apenas um ponto, porque estou na situação do delta igual a zero, raízes e reais e iguais.
Curiu, o delta também é no arque zero.
Não tem raiz real, exatamente.
No eixo reais, delta menor que zero, não tem raiz real.
Se não tem raiz real, o que a paráblola faz? Ela fica voando, sorrindo.
E no triste também, ela fica voando.
Como assim, voando? Ela não toca o eixo x, até porque ela toca onde nas raízes.
E se não tem raiz real, ela não toca sendo aqui, os sinais sempre positivos, e aqui sempre negativo.
Aqui, mais e mais, aqui menos e menos.
Pegou esse é o Neck da Suprema.
Dá o print aqui.
E eu já vou falar para você de valores máximos e mínimos da função valor máximo, da função, muito importante esse em caidiretor e valor mínimo da função.
O que é da função? Curio é o máximo de ípson e o valor mínimo de ípson.
Presta atenção, que é muito importante isso.
Sempre que a prova pedia você, qual valor máximo da função? Ou qual valor mínimo da função? Você vai achar o y do verte.
Você falta, curio, mentira.
Te digo verdade.
Então, pediu valor máximo da função ou mínimo a y do verte.
Por que, Curio? Quem vai dizer se ela tem valor máximo ou mínimo é o ar? Como assim? Valor máximo da função.
Qual valor máximo? Uma parábola com certeza que ela estaria triste.
E aí se ela está triste, ela tem um pico.
Guarda isso.
Eu sou arrecurião.
Nunca vou esquecer.
Se ela está triste, ela é um morrinho.
E se ela é um morrinho, ela tem um pico.
E nesse pico, é onde você acha o valor máximo da função que por sinal é o y do verte.
Quando me refera a função, é sempre y.
Pegou? Função é sempre y.
Ah, Curio, aí quando eu acharia o x do verte? Se te pedi isso, o seguinte, qual valor de x torna a função máxima? Aí sim, é diferente de eu te pedir qual valor máximo da função? Valor máximo da função pode anotar isso.
É só achar o y do verte.
Curio, mas se pedir qual valor mínimo da função? Com certeza, para ele te pedir o valor mínimo, ela está sorrindo.
E se ela está sorrindo, ela não tem mais um pico.
Ela tem um vale.
Se ela tem um vale, com certeza, essa função terá um valor mínimo que também vai ser calculado através do y do verte.
Então, o que eu quero com esse guarde nesse momento? Pediu o valor máximo da função? Ou pediu o valor mínimo da função? Você vai calcular o y do verte, que é menos delta sobre 4a.
Pode anotar.
Curio, me dá um exemplo aí.
Vou te dar um exemplo agora que cai muito em prova.
Dá o print 4 acelho e olha o exemplo que eu vou te dar.
Esse exemplo aqui, cai demais em prova essa questão que eu vou anotar para você de máximo e mínimo.
É o seguinte, fala que tem um cainhão aqui.
E esse cainhão dispara um projeto, o projeto faz aqui assim.
Ele fala que tem altura, e aqui é o tempo.
Tempo em segundos, altura e metros.
Você já deve ter visto essa questão.
O cainhão osentar aqui, apontando para cima, eles param o projeto.
Beleza.
Ele fala para mim que a função desse projeto é descrita, a trajetória através dessa função aqui.
Perfeito? E ele prédio para você.
Lere qual a altura máxima do projeto? Qual a altura máxima do projeto? No caso disparado pelo cainhão? E alerebe qual o instante, a tensão, qual o instante? Em que o projeto atinge sua altura máxima? Qual a instante em que o projeto atinge? Sua altura máxima.
Friends, essa questão cai demais em provas.
Fiz agora para você como eu disse, a audiência é direto, sem terrupções.
Então vamos nessa.
Curiam como é a mesma questão? Sabendo que a altura em metros, o tempo em segundos e o projeto é disparado pelo cainhão descrevendo a trajetória dessa função, determine para mim qual a altura máxima do projeto.
Primeira observação que você ia ter é que é uma função de segundo grau, onde eu tenho o a menos 1, o b 8 e o cê nulo.
E é importante você saber também o seguinte, o a é negativo, o seu a é menor que zero, a parabletrist, se ela é triste, ela tem um pico.
Lembra que eu vale para você? Está aqui, ó, o pico.
E nesse pico eu consigo achar o valor máximo da função, que por senal o valor máximo dela é quem? É a altura máxima, friends.
Se a altura máxima que você vai achar, você vai achar com certeza o ípsilom do vértice, tendo em vista que o pico é o vértice, como eu te prometi.
Então qual é a altura máxima? A altura não funciona como ípsilom, por senal é quem está isolado aqui, a altura.
Logo, eu quero valor máximo da função.
E o curioso é que sempre que eu quiser o valor máximo, eu vou achar o ípsilom do vértice, que é menos delta sobre 4a.
Perfeito? Você tem que achar o delta, ó.
É b ao quadrado menos 4 vezes a vezes c, o c seno do zero, você já amula toda essa parte aqui, e o delta fica b ao quadrado, ou seja, 8 ao quadrado, d ao ta é 64.
Eu venho aqui sobre xtú, menos 64 sobre 4 vezes a, e o a é menos 1, menos dividido por menos da mais 64, dividido por 4, 16 metros é a altura máxima do projeto, cura mentira que eu já calculei, e de verdade é isso.
Isso pide para mim, qual instante que o projeto atinge sua altura máxima? Então, o projeto atinge sua altura máxima, em que instante reparem, você deve observar o gráfico, o eixo y, que é o da função, é altura, e o eixo x, ele corresponde essas incógnitas, é o tempo em segundos.
Logo, estou te perguntando em que instante, ou seja, qual o tempo que o projeto atinge a altura máxima? Logo, eu quero o x no vértice, o valor de x que torna a altura máxima.
Essa foi a pergunta, e você calcule aqui, x do vértice menos b sobre 2a, menos 8 sobre 2 vezes menos 1, menos por menos da mais 8 sobre 2, instante de 4 segundos, após o disparo, o projeto atinge sua altura máxima.
Frente, esse foi o vídeo de função de segundo grau, o neta supremo para você aprender com o método coreó.
Lembrando, quer estudar comigo no curso de Matemática? Começa na base, Matemática do zero, ao topo, é só clicar na descrição e ver com aulas ao vivo simulado, monitoria diariamente muito mais para a sua aprovação.
Dá o print, o quadraceu.
Valeu, Frente!