Do que se trata o conteúdo?
O material aborda as funções polinomiais de grau 1 (funções lineares) e de grau 2 (funções quadráticas), explicando suas definições, propriedades geométricas, comportamento dos gráficos, e aplicações físicas (movimento uniforme e uniformemente variado). Também discute conceitos auxiliares como coeficiente angular, coeficiente linear, raiz, e a relação entre a inclinação da reta e a tangente do ângulo que ela forma com o eixo das abscissas.
Principais assuntos (com exemplos)
f(x)=ax+b com a≠0. Ex.: f(x)=2x-1, f(x)=-3x+1.f(x)=b quando a=0. Ex.: f(x)=3, f(x)=-2.a=2 → inclinação 2.b=-1 → intercepta em (0,-1).x que zera a função (f(x)=0). Ex.: para f(x)=2x-1, raiz x=1/2.f(x)=ax²+bx+c (não detalhada aqui, mas mencionada como contexto).Ponto de maior atenção
Entender a diferença entre a função linear e a constante, e como o coeficiente angular determina se a reta é crescente, decrescente ou horizontal.
Conclusão
As funções lineares são fundamentais tanto em matemática quanto em física; conhecer seus coeficientes, raízes e comportamento gráfico permite interpretar e resolver problemas de forma rápida e precisa.
A. Parafraseado
O conteúdo trata das funções polinomiais de primeiro grau, que têm a forma f(x)=ax+b com a≠0. Quando a=0, a função se torna constante. O coeficiente angular a indica a inclinação da reta e é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas; o coeficiente linear b é a ordenada na origem. A raiz da função é o valor de x que anula a expressão, ou seja, onde o gráfico cruza o eixo das abscissas. O material também faz conexões com a física, mostrando que a equação horária do movimento uniforme e a equação da velocidade no movimento uniformemente variado são exemplos de funções lineares.
As funções polinomiais de grau 1, também chamadas lineares, são expressas por f(x)=ax+b com a≠0. O domínio é todo o conjunto dos números reais. O coeficiente angular a determina a inclinação da reta: a>0 → crescente, a<0 → decrescente, a=0 → constante. O coeficiente linear b é a ordenada na origem, ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas. A raiz da função, se existir, é x=-b/a e corresponde ao ponto onde o gráfico cruza o eixo das abscissas.
As funções quadráticas têm a forma f(x)=ax²+bx+c (com a≠0) e produzem gráficos em forma de parábola. O coeficiente a determina a concavidade (para cima se a>0, para baixo se a<0), enquanto b e c influenciam a posição e a altura do vértice. A raiz quadrática pode ser encontrada pela fórmula de Bhaskara.
No plano cartesiano, o gráfico de uma função linear é sempre uma reta que pode ser desenhada a partir de dois pontos. Um ponto trivial é (0,b), já que f(0)=b. Um segundo ponto pode ser obtido escolhendo x=1, resultando em (1,a+b). A reta que passa por esses dois pontos representa a função. Para funções quadráticas, o ponto de vértice pode ser calculado por x_v=-b/(2a), e o ponto (x_v, f(x_v)) serve como referência para desenhar a parábola.
Em aplicações físicas, a equação horária do movimento uniforme (s(t)=s₀+vt) e a equação da velocidade no movimento uniformemente variado (v(t)=v₀+αt) são exemplos de funções lineares, onde v ou α são os coeficientes angulares e s₀ ou v₀ são os coeficientes lineares.
1. (1,50 pontos) Qual é a raiz da função f(x)=3x-6?
2. (2,50 pontos) Qual é o coeficiente angular e a ordenada na origem da função f(x)= -4x+8?
3. (2,50 pontos) Determine a raiz da função f(x)=2x-5.
4. (3,50 pontos) Para a função quadrática f(x)= -x²+4x-3, determine:
f(2). A Lunos Universo bem-vindo a mais uma aula do nosso curso de Matemática.
Esta é aquela disciplina em que nós vivemos e aprofundamos os temas que são, digamos assim, os prerrequisitos para as disciplinas propriamente universitárias.
Na aula de hoje nós vamos repassar todo o conhecimento sobre a função polinomial de grau 1.
É um tipo de função bastante simples.
Vocês não devem ter muitas dúvidas desse respeito, mas se essas dúvidas existirem, vamos eliminá-las na aula de hoje.
Função polinomial de grau 1 é uma função de R n R, em função de uma variável, tem um domínio, que é um subconjunto de R.
Cujo a Fómmel é dada por a x mais b com a a diferente de zero.
A exigência do a diferente de zero é para garantir que seja uma função efetivamente de grau 1, observe que se o a a for zero, eu não tenho termo x, eu tenho só uma função constante, falarei dela daqui a pouquinho.
Por que é importante a gente recordar funções polinomiais de grau 1? Lembre-se, a equação horária do movimento uniforme na física.
O movimento uniforme é aquele que tem velocidade constante.
A equação horária do movimento uniforme é uma constante s0 mais vt, uma constante mais velocidade vezes tempo.
Tempo é variável independente, no meu exemplo é o x.
S0 é a posição inicial, no meu exemplo é o b, no meu contexto é o b.
E o coeficiente que no meu contexto é o a é o velocidade.
Então, a equação horária do movimento uniforme na cinemática é vt mais s0.
É uma função polinomial do primeiro grau.
No movimento uniformemente variado, a equação da velocidade é uma função polinomial do primeiro grau.
Uniforme variado é aquele que tem uma aceleração constante, a velocidade varia.
E a velocidade no movimento uniformemente variado é v0 mais alpha t, onde alpha é aceleração, tem tempo e v0 é velocidade inicial.
Então, o movimento uniformemente variado, velocidade é alpha t mais v0.
É uma função polinomial de grau 2.
Só para vocês se lembrarem, no movimento uniformemente variado, a equação horária é uma polinomial de grau 2, que nós vamos rever depois.
A velocidade é que é polinomial de grau 1, que é o que nós estamos revendo hoje.
Então, continuando.
Quando a é 0, não é polinomial de grau 1, a função fica simplesmente, aquela forma fica restrita b.
Nós chamamos isso de função constante, ela não é polinomial de grau 1, mas vocês vão observar ao longo da aula, e principalmente quando eu mostro a última imagem, o fecho da aula, vocês vão ver que essas funções, embora não ser junt de grau 1, elas têm certa semelhança com a função polinomial de grau 1, e muitas vezes elas são tratadas junto com as funções polinomiais de grau 1.
São tratadas juntamente com as de grau 1.
A função constante é uma função muito simples, porque a imagem de qualquer x do domínio é o valor da constante.
O gráfico da função constante é uma reta horizontal que corta o eixo dos y, exatamente no ponto cuja ordenada é o valor dessa constante.
Aqui eu coloquei um gráfico de duas funções constantes, a função que está em vermelho é a função constante igual a 3, e a função que está em azul é a função constante igual a menos 2.
Observe que para qualquer valor do domínio a imagem é o valor daquela constante, porque qualquer valor do domínio a imagem é 3, no caso, e para qualquer valor do domínio a imagem é menos 2 no outro caso.
Então as funções constantes são muito simples, não há grandes complexidades nas suas análises, só como observação a constante igual a 0, o gráfico é exatamente o eixo das abscissas, o eixo, o eixo não é zero, o gráfico da função constante igual a zero, esse é o eixo das abscissas.
O eixo das ordenadas não é gráfico de função, reta vertical não é gráfico de função, porque para cada x eu teria muitos valores de y, reta as verticais não são gráficos de função, então o eixo x é o gráfico da função constante igual a zero, e o eixo y não é gráfico de função.
Voltando para as verdadeiras funções polinomiais de grau 1, então a função x mais b, esses dois números fixos constante y e b, o a chama-se coeficiente angular e o b chama-se coeficiente linear, e eu vou mostrar em seguida o significado geométrico desses coeficientes.
Nas aplicações físicas, em cada situação, eles vão ter significados diferentes, na equação horária do movimento uniforme, o a é velocidade e o b é a posição inicial, na equação velocidade do uniforme variado, o a é a aceleração e o b é a velocidade inicial, cada contexto eles vão ter um significado físico, o significado geométrico está gráfico da função e esse é sempre o mesmo.
O gráfico dessa função x mais b é sempre uma reta, então essa é a primeira informação importante.
Aqui eu coloquei o gráfico da função 2x menos 1, mas toda a função do tipo a x mais b tem como gráfico uma reta, isso é um resultado básico de teoria das funções.
Observe que aqui eu nem preciso o linomial de grau 1, posso falar x mais b, porque se o a for 0 é a constante reta horizontal, se o a não for 0 é uma reta que não será horizontal.
Como o gráfico é uma reta, a trazissar o gráfico é uma tarefa muito simples, há uma propriedade fundamental da geométria que pode ser formalizada assim, dois pontos determinam uma única reta, por dois pontos passas uma única reta, uma reta fica caracterizada por dois quaisquer de seus pontos.
Então quando eu tenho uma função do primeiro grau ou uma função do tipo a x mais b e o que é traçar o gráfico, basta eu achar dois pontos, então se eu achar dois pontos quaisquer, aqui eu indiquei dois pontos, é só traçar a reta que passa por esses dois pontos, isso é uma estratégia muito simples para fazer gráfico de função polinomial do primeiro grau ou de grau.
Então, coeficiente linear é o valor do y da ordenada y, do ar daquele ponto no qual o gráfico corta o eixo das ordenadas, corta o eixo y, uma reta não é vertical porque reta vertical não é gráfico de função, qualquer reta seja horizontal, seja inclinada, ela corta o eixo dos y, olha onde ela corta o eixo dos y, este valor, esse ponto de encontro é o valor do b, então quando você tem uma certa função polinomial de grau, por exemplo, essa daqui 2x menos 1, você olha para esse eixo dos y, com certeza é o valor onde vai cortar o eixo dos y, esse meu exemplo corta exatamente aqui no menos 1 não é coincidência, é que o b média exatamente onde o gráfico corta o eixo dos y, esse é o significado geométrico do coeficiente linear onde corta o eixo y, olha essa função aqui menos 2x menos 3, estão juntando as coisas que eu acabei de falar, para traçar o gráfico basta você obter 2 pontos, então fiz uma tabelinha, coloquei x igual a 0x igual 1, são 2 pontos muito naturais de se colocar, os x igual a 0x igual são valores de x, em que as contas ficam muito fáceis, e se psionamente podem não ser os mais adequados, mas normalmente são valores muito utilizados, quando x é 0, o y deu menos 3, isso é só subir se vejo x por 0, quando x é 1, ficou menos 2 vezes 1, menos 3, ficou menos 5, então 0 menos 3, 1 e menos 5, esses dois pontos que estão aqui, x igual a 0 y é menos 3, x igual a 1 y é menos 5, com esses dois pontos eu traço o gráfico da rate, observe que não é coincidência, aquela cortou eixo y é menos 3, porque o coeficiente b é menos 3, e porque é o ponto de cortou eixo y, porque quando se faz x igual a 0 na fórmula x mais b, cada vez que se fiz x igual a 0, o x dá 0, sobra apenas o b, e quando eu faço x igual a 0, eu estou exatamente no eixo y, então o b é o ponto de cortou eixo y, nesse gráfico eu já destaquei um outro ponto do qual vou falar daqui a pouquinho, o que é esse ponto onde cortou eixo x, eu mostrei que b é o ponto onde cortou eixo y, portanto, fila uma pergunta natural, saber onde cortou eixo x, esse é o conceito de raiz, do qual eu falarei daqui a pouquinho, então isso é o coeficiente b, agora vamos falar do coeficiente angular, o coeficiente angular é o azim, o coeficiente angular desta função x mais b, e note que isso vale também si a for 0, portanto, função constante, é a tangente, coloquei aqui entre parência trigonomética, porque é a tangente no sentido da trigonometria, lembra o que é tangente entre trigonometria? cateto oposto sobre cateto adjacente, então é a tangente neste sentido da trigonometria, cateto oposto sobre a adjacente, do ângulo formado entre o eixo das abscissas e o gráfico da função f, medido no sentido anti-orádio, então o coeficiente angular azim é a tangente trigonomética, então é a tangente trigonometria, de um certo ângulo tetra, ângulo este, que é o ângulo entre o eixo das abscissas, o gráfico da função medido no sentido anti-orádio, vou explicar em detalhes por que que isso ocorre são conceitos, são muito importantes, esse significado do coeficiente angular, está aqui uma reta, 2x menos 1, tem servido para vários dos meus exemplos hoje, observe que essa reta tem um certo coeficiente angular que é 2, e eu vou mostrar por que é a tangente do ângulo, agora é que ângulo, de que ângulo que a gente está falando quando a gente fala tangente deste teta, é o ângulo formado entre o eixo das abscissas, a reta, medido no sentido anti-orádio, do eixo das abscissas até a reta no sentido anti-orádio, deste é este ângulo tetra, no meu desenho é um ângulo menor que 90 graus, observe que se eu me disse no sentido horário seria este ângulo aqui entre o eixo das abscissas e o gráfico nesse sentido, mas não é este horário, no anti-orádio, então eu saio do eixo das abscissas até a reta, é deste ângulo que nós estamos falando, vou mostrar por que nesse caso é 2 e depois fazer uma discussão um pouquinho mais geral, os colher 2 pontos, grafo uma reta fica determinada por 2 pontos, vamos escolher 2 pontos, escolhi o ponto 1, 1, x igual 1 aqui, da 2 menos 1, x igual 3, 6 menos 1, 5, x igual 3, 5, então aqui os 2 pontos destacados, com sua abscissa e sua ordenada, agora eu vou destacar um triângulo no meio dessa figura, olha esse triângulo, saindo lá do ponto de cima, descendo na vertical, saindo do ponto aqui de baixo na horizontal até onde se encontrarem, formei um triângulo aqui, observa o ângulo teta do qual eu acabei de falar, o ângulo entre o eixo das abscissas e o gráfico da função, esse ângulo reaparece nesse triângulo, como esse lado horizontal aqui é paralelo ao eixo das abscissas, esses dois ângulos são iguais, então aqui está o mesmo ângulo teta do qual eu estava falando antes, olha nesse triângulo, quem é a tangente deste teta, bom, catetoposto sobre a de jácente, no meu exemplo numérico, o catetoposto vai do 5 até 1 aqui em baixo, isso aqui é mede 4, no meu exemplo numérico, o catet horizontal vai de 1 até 3, sume é de 2, 4 dividido por 2, 2, não é por coincidência, mas obtive o mesmo valor 2, ou seja, a tangente deste ângulo, efetivamente é o valor deste 2, então, que está ocorrendo aqui, mas isso é uma situação mais geral, vamos pensar para uma função a x mais b qualquer, não a 2x menos 1, eu tenho que pegar 2 pontos e fazer o delta f, variação da imagem, delta f, dividido por o delta x, variação do x, ou seja, a tangente do ângulo, a tangente trigonomética do ângulo, é a variação da imagem delta f, variação de f, dividido pela variação de x que a gente chama de delta x, é uma palavra que a gente usa para indicar variação, então, continhas agora genericas, se a função é x mais b, pega um ponto x zero e psono zero, deixa o x zero, escrito x zero mesmo, o y zero é a imagem do x zero pela função, ou seja, a x zero mais b, que é o primeiro ponto, pega um segundo ponto x₁ e psono 1, o y₁ é a imagem pela função f, portanto, o y₁ é a x₁ mais b, que se são os dois pontos, vamos fazer delta f, delta f é a variação na imagem, aquela variação na vertical f de x₁ menos f de x zero, como f de x₁ é a x₁ mais b, o f de x₁ é a x₁ mais b, quando se faz 1 menos o outro, b cancella o b, fica com x₁ menos a x₁, tá aqui, a x₁ menos a x₁, põe o y em evidência, técnica de fatoração, x₁ menos x₁ aqui, ou o delta x é x₁ menos x₁, então, quando você fizer delta f sobre delta x, que é a tangente trigonométrica do ângulo, lembra da figura anterior, delta f sobre delta x, quando você fizer isso, vai cancella o x₁ menos x₁ menos x₁, sobre a só, quer dizer que a tangente daquele ângulo, delta f sobre delta x é o azim, então, o azim é o coeficiente angular, e o azim é a tangente trigonométrica daquele ângulo.
Isso tem uma consequência lindíssima, que é a seguinte, se o azim é maior do que zero, a função estritamente crescente.
Se o azim é menor que zero, a função estritamente de crescente.
E se o azim é igual a zero, recaram naquele caso da função constante, quando o azim é zero, a função constante igual a b.
Mas a interpretação com tangente está à válida, porque que ela é crescente? Se o azim é zero, porque a tangente do ângulo é positiva, quem são os ângulos de tangente positiva? São os ângulos do primeiro quadrante, então, a reta tem uma inclinação positiva, ela cresce quando vou da esquerda para a direita.
Se o azim é zero, tangente é zero, porque é retorizontal, constante.
E se o azim é menor do que zero, porque a tangente é negativa, então, o ângulo medido entre o reta, entre o eixo das abscissas, e a reta é maior do que 90, e aí a tangente é negativa, um resultado de trigonometria, que a gente vai recordar mais para frente, mas usando essa resultado de trigonometria, a gente tem essa visão sobre crescimento das funções.
Então, olha um exemplo aqui, menos 3x mais 1, o azim é menos 3, a f é decrescente, e o azim é a tangente desse ângulo, que é maior do que 90, vai do eixo das abscissas até o gráfico no sentido anti-horário, ângulos maiores do que 90, ângulos do segundo quadrante tem tangente negativa.
É muito bonito isso, é uma teoria elegante.
Fala rapidamente sobre o conceito de raiz, e o que isso significa para a função polinomial de grau.
Lembre-te isso já apareceu nas nossas aulas, a raiz de uma função é um número real, então, um número real alpha chama-se raiz, se a função se anula nesse número.
Geométricamente é o ponto onde o gráfico da função corta o eixo dos x, porque y igual a zero quer dizer que ele está no eixo dos x, e dizer que é raiz, e dizer que o f de alpha que é o y é zero.
A função polinomial do primeiro grau, a x mais b, quando é aquela tema raiz, quando f de x for zero, quando a x mais b for zero, ou quando x for menos b sobre a, só isolar, passa o b para a cá fica menos b, passa o rádividinho.
E claro que é que o preciso do a diferente de zero.
Se o a é zero, a função é constante, não tem, pode não ter raiz, como a função constante igual a 3, ela nunca corta o eixo x.
E algebraicamente, eu preciso do a diferente de zero para poder passar dividindo.
Então, aqui é fundamental, seja polinomial de grau 1, házinho diferente de zero.
Alguns exemplos que até aparecer na aula de hoje, 2x menos 1 vai cortar o eixo do x no ponto meio, corta o y no menos 1, e corta o x no meio.
A raiz é menos b sobre a, menos menos 1, fica mais 1, sobre a, meio é o ponto onde corta o eixo x.
Minas 3x mais 1, a raiz corta o eixo y no 1, e a raiz menos b, menos 1, sobre a, menos 3.
Minas 1, sobre menos 3, menos com menos cancela, raiz 1, 3, corta o eixo do x, 1, 3.
As funções polinomiais de grau 1 sempre têm uma raiz e a laidada por menos b sobre a.
Isso é uma informação bastante útil.
Quando b é zero, aí fica a função só a x.
A gente dá um nome de função linear, por esse caso.
O que ela tem em especial? Quando b é zero, ela corta o eixo dos y no y igual a zero, que é a origem.
Então, aqui eu coloquei vários exemplos de funções lineares.
Essa vermelha é a função 2x.
Então, quando a é 2 e o b é zero, essa azul é meio x, o a é meio.
Essa amarela o a é um décimo, um décimo de x.
Essa cinza é menos x, a é menos 1.
Então, coloquei vários exemplos de lineares com coeficientes diferentes.
Todas as passas são pela origem.
Observe que é um feche de retas que passa pela origem, porque o bezinho é zero.
E uma coisa interessante é que quando você olha o que ocorre quando os coeficientes angulares vão diminuindo, pensa numa coisa dinâmica, numa coisa que tem uma espécie de movimento.
Coeficientes angular 2, ai vai diminuindo, diminuindo, a reta vai diminuindo em inclinação.
Quanto maior o coeficientes angular, mais inclinada é a reta, mais vertical é a reta.
Porque a tangente é tanto maior quanto mais perto de 90, estiver o ângulo.
Então, número alto aqui significa tangente alta, significa ângulo perto de 90.
Então, olha, tangente 2, fui diminuindo, ela foi ficando horizontal, horizontal, horizontal.
Quando chegar a zero é a função constante, eixo x, e quando passa para a negativa reta decrescente.
Você pode imaginar uma sequência de funções em que se hava diminuindo, diminuindo, diminuindo, bate em zero e vira negativo.
As reta que são as lineares vão fazer isso aqui.
Muito bonitinho esse fato, não é? Ótimo.