O material apresenta os conceitos fundamentais de funções em matemática, abordando a relação entre duas grandezas, a construção de funções por meio de tabelas, pares ordenados, gráficos e expressões algébricas, além de discutir domínio, contra‑domínio e imagem. Exemplos práticos com pizzas e gasolina ilustram a aplicação desses conceitos.
Entender que cada valor de x está associado a exatamente um valor de y; a regra de uma função não permite múltiplos resultados para o mesmo x.
Ao dominar a definição de função, domínio, imagem e as diversas formas de representação, o estudante ganha ferramentas para analisar e modelar situações do cotidiano, além de preparar o terreno para estudos mais avançados em álgebra e cálculo.
O professor Francisco introduz o conceito de função como uma relação entre duas grandezas, usando exemplos cotidianos como a compra de pizzas e o abastecimento de gasolina. Ele mostra como expressar essa relação por meio de tabelas, pares ordenados, gráficos e fórmulas algébricas, explicando os termos domínio, contra‑domínio e imagem. Também destaca que uma função associa cada valor de entrada a apenas um valor de saída, e apresenta exemplos de funções lineares e quadráticas para ilustrar diferentes tipos de gráficos.
Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto de entrada (domínio) exatamente um elemento de um conjunto de saída (imagem). Em termos matemáticos, uma função f: A → B é uma relação tal que, para todo a ∈ A, existe um único b ∈ B com (a,b) ∈ f.
Para funções de 1º grau (lineares) a expressão geral é f(x) = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. O gráfico é uma reta que pode ser ascendente, descendente ou horizontal, dependendo do sinal de m. O domínio costuma ser todo ℝ, e a imagem também, salvo restrições impostas pela aplicação prática.
Funções de 2º grau (quadráticas) têm a forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico é uma parábola que abre para cima se a > 0 ou para baixo se a < 0. O domínio é todo ℝ, mas a imagem pode ser limitada a valores maiores ou menores que o vértice, dependendo do sinal de a.
No plano cartesiano, o eixo horizontal representa o domínio (x) e o eixo vertical a imagem (y). Ao plotar os pares ordenados (x, f(x)), obtém‑se o gráfico da função. Para funções lineares, os pontos formam uma reta; para quadráticas, uma curva em forma de U ou V invertido.
Além disso, o conteúdo destaca a importância de compreender o domínio e a imagem em situações reais, como a compra de pizzas (domínio inteiro limitado) e o abastecimento de gasolina (domínio contínuo limitado pela capacidade do tanque). Esses exemplos ilustram como a teoria se aplica na prática e como a representação gráfica facilita a visualização da relação entre as variáveis.
1. (1,50 pontos) Qual das seguintes afirmações descreve corretamente o domínio da função f(x) = 15x, considerando que a compra de pizzas só pode ser feita em unidades inteiras de 1 a 6?
2. (2,50 pontos) Considere a função f(x) = x². Qual é o intervalo de valores de y (imagem) quando o domínio é todo ℝ?
3. (2,50 pontos) Na função de gasolina f(x) = 4,5x, com domínio 0 ≤ x ≤ 54, qual é o valor máximo que pode ser pago?
4. (3,50 pontos) Se a função f(x) = 2x + 3 for restrita ao domínio D = {x ∈ ℝ | x ≥ 5}, qual é a imagem de D?
O que a paz esteja no seu coração, querida a luna, querido a luna? Meu nome é Francisco, sou professor de matemática, que estou aqui, a convite da professora Claudia de Oliveira, para conversar um pouquinho com vocês sobre alguns itens da matemática em particular sobre função nesta sua aula 5.
O assunto funções ele é abstrato, mas você vai ter condição de trabalhar algumas coisas bem concretas nesse assunto.
Vamos dar uma olhadinha nas primeiras palavras introduutórias que temos sobre esse assunto.
Aqui você terá a oportunidade de compreender ideias básicas que conduzem ao conceito de função.
Para isso abordaremos a relação de interdependência entre duas variáveis.
Esses últimos itens que você consegue observar nesta frase, leia o jébrica, domínio, conjunto imagem e gráfico de uma função são itens que nós vamos delinear durante esse nosso batepapo.
Tudo bem? Muito bem.
Então, função é a relação entre duas grandezas.
Você vai ver que não é nada tão complicado e para isso nós vamos usar alguns exemplos bem tranquilos.
Vamos falar até um pouquinho da gasolina, que está um pouquinho cara, mas tudo bem.
A gente vai falar um pouquinho sobre álgebra e algumas coisas contextualizadas também.
Vamos partir da ideia de relação entre interdependência entre duas variáveis, duas grandesas, ok? Muito bem.
A ideia do que é função fica mais facilitada se trabalharmos com exemplos.
Veja que simples esse exemplo que vai ser fácil de você entender.
Uma pizsaria fez uma promoção e vendi píticas grandes ao preço de R$ 15 cada.
Apresenta uma expressão que relaciona o valor a pagar e, psono, em função da quantidade x de píticas solicitadas.
Nesse momento você está pensando, tem x, tem y, então não vai entender nada.
Calma, não é assim.
Veja como não é nada tão complicado.
Veja só.
Se a gente imaginar que essa pizsaria está fazendo esta promoção, para termos no máximo uma compra de R$ 6 píticas e, se são R$ 15 a ser empagos por cada pítica, veja a relação entre o número de píticas e o valor em R$ 1 a ser empago.
Essas são as duas grandesas desse momento.
Vêja só.
Grandezação.
Quantidade de píticas vai ser o que chamamos de x.
É variável independente que eu já menciono um pouco mais.
Para isso, a pagar y é variável dependente.
Não se assuste com esses dois termos.
Eu já te explico.
Como eu comecei a falar agora pouco, função é algo abstrato, mas a gente consegue concretizar utilizando alguns tipos de linguagem e o diagrama de vêndo é uma dessas linguagens.
Veja só.
São dois diagramas simples que vão ilustrar as quantidades de píticas a serem compradas e respectivos e valores a serem empagos.
Olha só.
Se você comprar uma pítica, vai pagar quinhas e reais.
Se você comprar duas píticas, vai pagar R$ 30.
Se você comprar duas píticas, vai pagar R$ 30.
Se comprar R$ 3.
45 e assim por diante.
Não é fácil.
Basta você multiplicar R$ 15 pelo número de píticas.
Não é verdade? Então verifique que a relação entre este conjunto de saída, que é o número de píticas e este conjunto de chegada, que é o valor a pagar, é uma relação facilmente escrita assim.
Y é 15 vezes X.
Não falei que não ia ser tão difícil.
A tabela é outro instrumento muito interessante para você observar a relação entre duas grandesas.
Veja só.
Se você comprar uma pítica, uma pítica R$ 15, sai, R$ 15.
Duas píticas, duas vezes 15, 30.
Três píticas, três vezes 15, 45.
Nesse momento, eu nem quero chegar até o final da tabela, já estou começando a ficar com fome, mas tudo bem, eu vou esperar o final deste vídeo.
Vai percebendo até o final, não máximo seis píticas, seis vezes 15, 90 reais.
Perceba são duas grandesas.
Pítica, número de píticas, valor a pagar.
Certo? Então, você tem duas grandesas, ou você tem um par de grandesas.
Para ordenado é outra maneira de representar função.
Então, o par ordenado, um 15, veja a palavra, tem sentido.
Ordenado em ordem, um 15, dois, 30.
Três, 45.
Quatro, 60.
Cinco, 75.
Seis, 90.
Você tem seis pares ordenados representando essa relação entre número de píticas e valor a pagar.
Entendeu? O gráfico de uma função é outra maneira de se concretizar este ser matemático chamado função.
Veja que aqueles pares ordenados, que a gente acabou de falar, eles estão neste desenho.
É um desenho que você conhece.
No plano cartesiano, neste eixo, você tem um número de píticas, que é o valor de x.
Os valores de y estão neste eixo vertical, os valores em reais.
Então, veja só, o par ordenado, um 15, olha ele representado aqui.
Uma pítica, há 15 reais.
Duas píticas, 30 reais, é este par ordenado que está aqui.
Tudo bem? Cada par ordenado desse que você está vendo, está representado por um ponto.
Grafico de função é um conjunto de pontos.
E aqui você acaba de ter o primeiro exemplo dessa representação de função.
Tudo bem? Veja, neste momento, que você tem representação gráfica, tabela, pares ordenados e diagrama de vento.
Acabamos de ver esses quatro exemplos, e mais um quinto exemplo, que é um muito famoso, que é a expressão algébrica.
y igual a 15x, que representou todo este exemplo de função.
Tudo bem? Eu utilizei algumas palavras junto com vocês ao longo deste exemplo.
Aquele conjunto de saída, que tem os valores de x, o número de píticas a serem compradas, um, dois, três, quatro, cinco ou seis, é chamado de domínio da função.
Então, aquele conjunto de saída, conjunto de valores de x é chamado de domínio, enquanto que a imagem da função vai ser um conjunto de valores que são resultantes do cálculo feito.
São valores de y.
Então, esse conjunto imagem para este exemplo são os valores em reais, 15, 30, 45, 60, 75 e 90.
Veja que fácil.
Domínio, valores de x, imagem, valores de y.
E aqui, a lei da função y igual a 15x, que também pode ser escrita na forma f de x igual a 15x.
Beleza? Vamos partir para outro exemplo agora de função numa segunda situação.
Neste segundo exemplo, vamos relacionar outras duas grandezas.
Também falaremos de dinheiro.
Vamos pensar agora numa função que representa a quantidade em litros de gasolina que vai ser abastecida no seu carro e a quantidade em reais que será paga para isso.
Beleza? Então, imaginemos a seguinte situação.
Você tem um valor aproximado de 4 reais e 50 centavos para o litro da gasolina.
Um pouquinho, mas tudo bem, vamos considerar esse valor.
Então, veja que nesta tabela, que já está te dando uma representação dessa função, se você abastecer 10 litros com esta bomba, pagará 45 reais.
Da onde veio 45 reais? Tranquilo.
45 reais, nada mais é do que 10 vezes 450.
Não é verdade? 10 vezes 450, 45 reais.
20 litros multiplicando 4 e 50, 90 reais.
E assim por diante, aqui você tem mais alguns exemplos.
25 reais vai dar 112 e 50, 30 reais, 135 reais.
Da onde vem 135 mesmo? 30 litros vezes 4 reais e 50 centavos.
Beleza? Maravilha, é um exemplo de função.
Você entendeu quais são as duas grandesas envolvidas? Número de litros e valorem reais a ser pago.
Tudo bem? Pagos.
Muito bem, a lei que vai representar essa função é esta daqui, tão simples quanto a pizza.
Ipsu lengua a 4,5 vezes x, onde x é o número de litros.
Se for em 10 litros, coloque 10 no lugar do x, 450 vezes 10, 45.
Então é essa é uma forma de representar essa função.
E agora, nós temos uma maneira de especificar um pouco mais o domínio e a imagem dessa função.
Vamos imaginar que o seu carro tenha uma capacidade de 54 litros.
É o máximo de volume que é possível de ser colocado no seu carro.
Então, você pode abastecer de 0 até 54 litros.
E aí, como que ficam os valores de Ipsu lengua? Logicamente, se você não abastecer nada, não vai pagar nada, então, 0 litros, 0 reais.
Agora, se o seu tanque estivesse totalmente vazio, você abastecer no 54 litros, 54 vezes 4 reais e 50, você vai ter o valor máximo a ser pagado nessa conta, a bagatela de 243 reais.
Então, notos conceitos de domínio e de imagem acontecendo aqui.
O domínio da função são todos os valores de x que vão de 0 até 54, enquanto os valores para a imagem em reais estão aqui.
De 0 até 243.
Embaixo, você tem aqui uma linguagem um pouco mais matemática para isso.
Tudo bem com esse exemplo? Qual a diferença que é possível de ser observada entre os gráficos das funções que envolveram a pizza e a gasolina e o combustível? Lá, você teve pontos representando gráfico da função.
Aqui, você está tendo um segmento, percebe? Existem mais pontos acontecendo aqui.
Não é apenas uma meia dúzia de pontos.
Isso decorre pelo tipo de subconjunto com qual estamos trabalhando.
Veja que pizza a gente compra uma, duas ou três pizzas.
A gente não compra três vírgula sete pizzas.
Então, para o caso das pizzas, tivemos só números inteiros acontecendo aqui.
Agora, no caso da gasolina, a gente pode, sim, comprar além de 10 litros, 20 litros, podemos abastecer o carro com 27,8 litros.
Vamos aproveitar este desenho gráfico para observar uma coisa que pode ser real.
E se você for com o seu carro que tem 54 litros de capacidade, já com 24 litros no interior do tanque.
Então, perceba, se tem 54 litros de capacidade, mas lá dentro já tem 24 litros.
A gente faz uma conta de subtração.
Quantos litros ainda são possíveis de serem abastecidos? 30 litros.
Então, este gráfico pode representar ainda a relação entre o número de litros que você pode abastecer, porque não necessariamente você vai encher o tanque.
Então, você vai encher o tanque, se você for até os 30 litros que estão faltando.
E aqui você vai ter o valor a ser pago.
Então, com 30 litros, você vai ter aqui o valor de 135 reais.
30 litros, 135 reais.
Ok? Conseguiu entender esse exemplo de função relacionando o número de litros de valor apagar? Ótimo.
A grande pergunta, todo gráfico de função é uma reta.
Eu te respondo.
Não.
Muitos exemplos são parecidos como estes que nós apresentamos, mas existem infinitos tipos de função, muitos tipos de desenhos diferentes.
Se você lembrar do seu primeiro ano do ensino médio, provavelmente você vai se lembrar de interestudado parábolas, que é inclusive função do segundo grau, está dentro do assunto desta aula no seu material completo.
Aqui você tem um outro exemplo de função, veja que bonitinho f de x é igual a raiz de x.
Cada número relacionado com a sua raiz, veja que raiz de zero, raiz quadrada de zero é zero.
A raiz quadrada de 1 é 1.
Já vai sentir que não é uma reta, porque zero zero, um, um, você esperaria que o próximo ponto fosse 2, 2, mas não é.
A raiz quadrada de 2 é aproximadamente 1,4 dá um número irracional.
A raiz quadrada de 3 também não é exata, 1,7 mais ou menos, raiz quadrada de 4 dá 2.
Colocando estes pontos no plano cartesiano, a gente percebe esta curvatura, que não é uma reta.
Então veja, você tem vários outros exemplos possíveis de função e cada um dentro do seu trabalho com domínio, contra domínio, você pode perceber, por exemplo, que aqui números negativos não podem ser colocados no lugar do x, por isso que o domínio dessa função é o conjunto de todos os reais maiores ou iguais a zero.
Tudo bem? Beleza? Então você tem vários formatos para gráficos de função.
Muito bem.
Estamos caminhando para o final e aí agora quero só dar uma ajeitada nos itens teóricos com as quais a gente trabalhou.
Então veja que esse conjunto de saída nós chamamos de domínio e o conjunto de chegada, ele na verdade se chama contra domínio.
Aqui no conjunto imagem, você vê essa parte mais alaranjada, é o conjunto de todos os resultados possíveis que aconteceram dentro de cada tipo de função.
Por exemplo, no caso das pitsas nós tivemos aqui um, dois, três, quatro, cinco, seis e os valores a pagar.
Lembre-se que cada pitsa era 15 reais, certo? 15, 30, 45.
Era possível gastar apenas 10 reais em pitsa? Não, porque uma pitsa já é o preço de 15 reais, não é verdade? Então por exemplo, 10 reais é um exemplo que está aqui fora da conjunto imagem, porque não vai entrar como um resultado possível para aquele cálculo de ripsolão daquele exemplo das pitsas.
Tudo bem? Então essas definições mais formais que você pode observar nesse quadro, veja só, para se definir uma função, precisamos de dois conjuntos que não sejam vazios, um conjunto de saída e um conjunto de chegada.
Esse conjunto de saída, que é chamado domínio, ou conjunto de chegada contra domínio, e um subconjunto desse conjunto de chegada, os resultados possíveis de ripsolão, é o que chamamos de conjunto imagem, ok? E função.
Função é uma regra ou lei que relaciona a cada elemento do conjunto de saída ao único elemento do conjunto de chegada.
Meu Deus, professor Chico, não entendia essa frase.
O único único que isso? Se você vai comprar uma pizza, você vai pagar 15 reais.
Eu quero comprar quatro pizzas.
Existe só uma possibilidade de valor a pagar, quatro pizzas vezes 15 reais, 60 reais.
Não tem como eu pedir quatro pizzas e o caixama e falar, olha o senhor vai pagar 60 ou 70 reais.
Entendeu? Por isso essa frase diz que cada x tem apenas um y.
Tudo bem? Nessa disciplina, tanto o conjunto de saída quanto o conjunto de chegada são conjuntos ou subconjunto dos números reais.
Beleza? Prazer em conhecê-los, agora não deixe de praticar os conceitos que agitinicione esta aula, tá? Vai até o material, faça as atividades e uma boa sorte nos seus estudos.