Matrizes: fundamentos, operações e resolução de sistemas

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Texto extraído do video Fundamentos Matemáticos para Computação - Matrizes

Olá, alônice e alônice do curso de Fundamentos Matemáticos para a Computação, nesta videoólogo, falar de matrizes.
Vou iniciar apresentando uma terminaologia para matrizes, depois as operações relacionadas, vou ilustrar o uso de matrizes, a resolução de sistemas lineares através do método de Gauss, e por último, vou falar de matrizes bolheanos.
Bom, as matrizes são uma forma bastante interessante de você apresentar, estruturar, pensar o armazenamento de dados, porque, que nem aqui nesse exemplo de venda de carros, a gente relaciona facilmente a loja com nis para obter a venda daquele período, daquele mês, e daquela loja, da loja 2, no mês de maço, tivemos 75 veículos vendidos.
Você bate o olho nessa representação artificial, se você tem noção do significado das linhas e colunas, você consegue interpretar os dados, ou você consegue pelo menos localizar os dados dessa forma.
Então, é uma maneira eficiente de você representar através de um arranjo rectangular de o alôcho.
Bom, as dimensões da matriz são nada pelos número de linhas e número de colunas.
Então, aqui, nem nessa matriz, nós vamos ter ela com 2 linhas e 3 colunas, que podemos representar as dimensões desse jeito ou desse jeito que os elementos de uma matriz, em geral, são representados pelo índice da sua linha e da sua coluna.
Por exemplo, o elemento A1, representa o valor que está na primeira linha, primeira coluna, 3, o elemento 2, 1, representa o elemento que está na segunda linha, primeira coluna, 5, e assim sucessivamente.
Bom, então, um exemplo aqui, nós temos, suponha que nós tenhamos esse conjunto S de valores e uma relação binária, a rosta delicida para esses valores dessa forma ns por s, vamos usar então uma matriz para representar esse relacionamento.
Ou seja, se o índico que cada linha da matriz representa um valor de s e cada coluna também mantendo a mesma ordem, eu posso agora usar essa estrutura para amazenar essa relação.
Por exemplo, 2 não se relaciona com 2, dá 0 aqui, porque isso, de fato, não acontece em 1.
Então, 2 se relaciona com 5, isso está dito aqui, 5 por sua vez não se relaciona com 2, dá 0.
2 se relaciona com 7, temos 1 aqui, 7 já não se relaciona com 2, também dá 0 aqui, e assim sucessivamente colocando um dos valores onde a relação bin e coluna se verifica, correspondendo a relação dos parios ordenados aqui em roupa.
Bom, duas matriz, vão ser iguais quando a gente tem as mesmas de venções e os mesmos elementos.
Então, por exemplo, aqui temos as mesmas de venções, os mesmos elementos, mas para serem iguais os mesmos elementos tem que existir em cada posição.
Então, aqui eu tenho 1, na posição 1, 1, o valor 1, e aqui também.
Mas na posição 1, 2, na entrada 1, 2 vale 2 aqui e 1 aqui.
Então, essas matrizes não são iguais.
Matrizes quadrados vão ter o mesmo número de linhas e colunas, que nem eu caso dessa R, 4, 4 por 4 aqui.
Mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.
Nesse contexto é interessante identificar diagonal principal.
Então, você observa aqui que essa diagonal principal é de vídeo a matriz em uma parte triangular superior, em uma parte triangular inferior.
Observando a matriz diagonal principal aqui dessa matriz contra a entrada, nós observamos que ela tem uma matriz na propriedade que é a simitria.
Ou seja, a matriz triangular superior é a idêntica metristrângula inferior, considerando a que a de j é igual a a de j e nessas matrizes, nessas tendo-assupiriores inferior.
Então, observe aqui, por exemplo, a de 1, 2, 4.
É o mesmo do a de 2, 1.
Então, novamente, aqui, um outro exemplo, o a de 2, 4, sendo 8 para a matriz secimética, o a de 4, 3, 2, a entrada a 4, 2 também tem que ser 8.
E isso se verifica para todos os elementos correspondentes considerando o triangular superior e o triangular inferior.
Nas operações matriciais, nós temos uma multiplicação por escalar, onde alpha que representa o escalar, que consiste basicamente em pegar esse escalar e multiplicar ele por todas as entradas da matriz.
Na soma de matriz, temos que observar as dimensões.
Elas têm que ter as mesmas dimensões e somamos cada entrada.
Então, correspondente 0, 0, 3, 1, 0, e assim sucessivamente, cada uma das expectativas entradas.
Na subitração de matriz, é só pensar nos sonos de matriz considerando o que o segundo termo está multiplicado pelo escalar, menos todos os elementos no matriz nula são 0.
Isso significa que se eu somo uma matriz nula, a outra matriz vai resultar na própria matriz.
A multiplicação de matriz não consiste em multiplicar a entrada.
A multiplicação de matriz existe, podemos operar desse tipo de matriz, mas a multiplicação de matriz, para mim, te dita, ela consiste em considerando duas matriz onde a coluna da primeira matriz corresponde a dimensão da coluna da primeira matriz corresponde a dimensão das linhas na segunda matriz.
Essa propriedade se verificando, nós conseguimos obter uma matriz C, que vai se ter.
O número de linhas da primeira é matriz e o número de colunas da segunda matriz.
E esse produto, então, essa propriedade, viabiliza o cálculo de cada entrada desse jeito, operando no número de, no valor de N, que é o número de colunas de A, ou o número de linhas de D.
E aí nós vamos operando desse jeito multiplicando a de cápo B, de cá j, enxomando os resultados que vão nos levar ao valor da entrada C, de j.
Vamos ver isso com um pouco mais de detalhe, então temos duas matrizes com dimensão 3, 2, a primeira é dimensão 2, 3 e a segunda.
Vamos fazer a operação, o que a gente faz? A gente multiplica a primeira linha pela primeira coluna, obtenos essa entrada.
A primeira linha pela segunda coluna é essa entrada.
A primeira linha pela terceira coluna é essa entrada.
E assim, sucessivamente.
Dessa forma, quando a gente opera desse jeito, a gente está multiplicando essa entrada por essa, essa entrada por essa, somando os valores aqui.
Então, a mesma coisa, vamos fazer, por exemplo, aqui, quando estiver nos nessa linha, multiplicando a última coluna aqui, chegando nesse valor.
Que os resultados estão aqui apresentados.
Um mesmo procedimento se aplica para as demais entradas da matriz resultante.
Que nesse caso, vai andar, vai ter uma dimensão, o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Vai ser uma matriz 3x3.
O algoritmo de multiplicação matricial tem que considerar esse aspecto de que lembra em sinais vanujilinha, polinha, coluna por coluna.
E aí fazemos a multiplicação considerando esse termo aqui.
O que os dois termos corresponde ao valor do N, do número de linhas da primeira matriz e número de colunas da primeira matriz e número de linhas da segunda matriz.
Temos esse valor.
Para cada linha e para cada coluna, nós vamos fazendo essa soma como uma láda em cima desse valor 2 aqui em comum.
Então, dessa forma, eu tenho um laço que etera sobre a linha da primeira matriz, a coluna da segunda matriz e o termo comum, a dimensão em comum das matrizes, no cá, para fazer o acumulado da soma.
Se eu pensar nesse algoritmo, eu me sive que para cada 9 entradas que eu vou popular.
No zero e depois vou fazer o acumulado, cada vez, M vezes aqui onde M é aquela dimensão em comum.
No produto.
Bom, no dessa forma, eu tenho aqui três lá estruturas de laço, a linha da, ou seja, eu para cada valor aqui, até eu chegar n, para cada valor, eu vou fazer p vezes esse laço e depois, mais cá, a vez, para cada valor do j, eu vou fazer M vezes esse laço aqui.
Então, eu tenho na verdade um total que é um produto de M vezes p vezes m.
Só que se eu pensar no pior caso, ou seja, se todas as matrizes estivessem a dimensão mais alta e essa dimensão fosse m, eu teria então uma n³.
Significa que esse algoritmo tem uma ordem de grandeza, que a performance dele pertence a classe de polinônios de grau 3.
Ou dizendo de outra forma, ele é teta de M3.
Bom, nas operações matriciais, nós temos que tomar cuidado em particular na multiplicação que, à vezes d, não necessariamente vai ser igual a dê vezes a, tá? Então, essa propriedade não se verifica para matriz, tá? Pra ver, por exemplo, aqui, que se eu inverter a ordem, eu já passo a ter, como resultado, uma matriz de dimensão, que vai ter dimensão 2 por 2.
Bom, dito isso, quando a gente opera com matriz, algumas propriedades se verificam, desde que as dimensões sejam apropriadas.
Então, considerando que eu estou trabalhando com dimensões apropriadas, eu vou ter essa propriedade aqui, associativa, eu vou ter essa distributiva, certo? Posso rearranjar os valores aqui, sem problema desde que as dimensões sejam apropriadas as operações.
Na matriz identidade, eu tenho a matriz de abonal toda calendo um, e todos os demais valores fora da diagnonal sendo zero.
A matriz identidade atende a propriedade de que vezes a é igual a a a a a vezes Z.
E, na verdade, e vezes a é igual a a a a p vezes Z, que é igual ao öğedir.
a própria A, então multiplica a pela identidade, resulta na própria matriz.
Bom, agora vamos falar do método de Gauss.
Então, a ideia que eu tenho um sistema com a inificações em N, em Códromites, eu poderia pensar na representação matricial dele dessa forma.
Observe que eu multiplico essa linha por essa coluna, eu obtém isso aqui igualando a V1.
Eu multiplico essa linha por essa coluna, eu obtém essa segunda aqui igualando a V2.
Só que no método de Gauss para resolver esse sistema, nós trabalhamos com uma matriz, a área da matriz aumentada, que é as que ela matriz anterior, que nós temos para, e colocar, acrescentamos uma coluna com os valores do lado direito, B.
Bom, feito isso, aplicamos operações com intuito de chegar a uma matriz triangular superior apenas, os valores da triangula inferior aos os zeros.
Por que isso? Porque essa matriz pode ser reescrita dessa forma.
E aí o que vai acontecer? Eu tenho já a solução do XM na última linha dessa matriz.
Então, eu tenho aqui na última linha desse novo sistema.
Com a solução do XM, eu concluo o XM XN-1, e assim sucessivamente até resolva ter a sua valor de todas as variáveis.
Bom, nesse caso, as operações que eu aplico são chamadas de operações elementares, porque elas não mudam com o conjunto das soluções, das equações subjacentes, elas são efetuadas na matriz aumentada e consistem basicamente entrou cada dois linhas com a perda matriz, isso não a ter resultado, multiplicar todos os elementos de uma linha por um escalad diferente de zero também não, e somar um lúptico de escaladinho uma linha qualquer outra também não.
Dessa forma, o que vai acontecer? Eu pego um sistema como esse, eu defino as linhas para eu poder deixar claro as operações envolvidas.
Então, eu tenho a linha 1, 2 e a linha 3.
Bom, agora eu represento a matriz aumentada, pega os coeficientes aqui, o B, e aplico uma multiplicação por meio ou divisão por 2 na linha 1, isso significa que agora minha linha 1 fica desse jeito, o meu objetivo, então eu obtei 1 aqui na diagonal principal, e zero na parte de baixo, a triângulo a inferior, então vamos lá.
Agora, minha próxima operação, já que eu tenho 1 aqui, eu posso multiplicar essa linha por 7 para obter zero aqui e depois tentar obter 1 aqui.
A mesma coisa, eu posso pegar essa linha novamente e multiplicar por 6 e somar aqui, por menos 6, e somar aqui para zerar esse 6, que é o que essas duas operações vão fazer aqui.
Isso me leva a essa matriz.
Agora, o que eu faço? Eu divido a linha 2 por 2 sobre 39, por 2 sobre 39, para obter 1 aqui.
Certo? Agora, com o feito isso, eu posso tentar eliminar o 16.
Então, agora, com 1 aqui, eu pego e multiplico por menos 16 e soma aqui embaixo.
Chego, finalmente, nessa expressão, já tem a minha.
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Eu poderia até multiplicar por 3 sobre menos 3 sobre 13 aqui para obter 1, tá? Mas não necessidade.
Eu tenho a minha triangulaça perigora aqui e agora, eu já posso montar o meu sistema e calcular x y y y z.
Bom, uma 3 espouliance, elas têm apenas elementos iguais a zero e 1.
Então, aqui temos um exemplo de uma matriz espouliana que já tinha visto para expressar aquela relação binária.
Nas matrizes boliárias, eu posso operar o e desse jeito, entrada e entrada.
Posso operar o o o, também desta forma, entrada a entrada.
E eu posso fazer o produto, uma multiplicação boliana nos moldes daquela multiplicação que vimos.
Então, observe que o meu produto dos termos virou e a multiplicação suma o o, e as regras de dimensão se aplica em n, a mesma dimensão aqui e aqui, e a matriz resultante nesse caso seria mp.
De essa forma, eu posso operar a multiplicação boliana definida desse jeito, chegando numa matriz n, esse formato aqui.
Bom, então, esses foram os centros abornados na aula de hoje.
Espero que vocês tenham achado interessante e têm principalmente entendido, recomendo a leitura da sessão 5.
7 e a resolução dos exercícios, é numa uma número de exercícios que vocês tira em tempo de resolver, que tá? Nós vemos na próxima semana.