Texto original

O texto original pode conter falhas de gramática ou de concordância, isso ocorre porque ele foi obtido por um processo de extração de texto automático.

Texto extraído do video Fundamentos Matemáticos para Computação - Funções (Libras) *

Olá, alunas e alunas do curso de Fundamentos Matemáticos para a computação.
Nesta video-aulho vou falar de funções.
Vou começar definindo e apresentando propriedade de funções para a seguida falar da composição de funções que funções inversas.
Na hora passada, a gente viu a questão das gerações binárias, entre um convoto S e um convoto T.
Nesse contexto, podemos dizer que uma função, ela definiu que cada elemento de S, aparece exatamente uma vez com uma primeira coordenada, primeiro componente de um paro ordenado.
Nesse contexto, o S passa-se visto como domínio da função, o T, como o contradolínio, e o paro ordenado ST, obtido com T, sendo o valor retornado pela aplicação da função F, no elemento S do domínio.
Então, os valores de T formam que se chama de conjunto imagem de S sobre F, no subconjunto do contradomínio.
O S, por sua vez, pode ser entendido como a imagem inversa de T sobre F.
Aqui temos um exemplo de quando não ocorre uma função, pode ser que esse elemento do domínio não foi mapeado em T.
Nesse segundo caso, nós temos um elemento do domínio se relacionado com dois elementos de T, o que também não caracteriza uma função.
Aqui, já temos uma função, todos os elementos de S foram na pléia de Z, então, essa é o que se chama de domínio da função T, é o contradolínio, e esse subconjunto de pontos, os obtidos com aplicação da função, seria imagem.
Um outro exemplo aqui de quando não é uma função, tentou se estabelecer através de uma função numa relação definindo seus parios ordenados, porém, nesse caso, dois ser relacionados com um e com três, logo, também não é uma função.
Todos os exemplos de função, funções que vimos, tem elementos distintos, nesse caso, temos funções que são ditas discretas.
Isso ocorre aqui onde domínio é o domínio dos naturais, como se eu fosse altrar a sua reta aqui, eu terei considerando, na praver da reta, valores entre um e dois, que não ocorre nesse domínio dos números naturais.
Então, funções desse tipo são ditas discretas e a sua representação gráfica, tem pontos discratamente distribuídos aqui no plano carteseano, não há uma continuidade.
Os valores são obtidos, óbvio pegando elementos do domínio, aplicando a função, então, para um novo, vamos ter um mais quatro, cinco para dois, dois mais quatro, seis, e assim, sucessivamente, obtendo os valores da função H.
Bom, aqui temos o exemplo de uma função contínua, observe que todos os elementos entre menos 10, 10 no domínio estão sendo mapados aqui no contradomínio.
Então, há uma continuidade dos valores, temos aqui uma função, nos valores dessa, função apiados com essa função, então temos aqui uma função contínua.
Observe que isso ocorre porque o domínio aqui está definindo no domínio dos reais, bom, aqui temos uma função, vamos ver, para x menor, com igual a 5, nós vamos ter esse conjunto de pontos discretos nesse domínio dos naturais, certo? E para x maior, igual a 5, vamos ter a adição de três aos valores de esse domínio dos naturais, onde tendo aqui as respectivas imagens, porém não é uma função, porque, por 5, nós temos dois valores definidos, então, aqui não se trata de uma função, o que pode ser corrigido dessa forma, e aí passamos a ter uma função, porque aquela o 5 está incluso aqui, para valores menores, ou é igual a 5, meus g de x, e para valores maior, acho que 5 passa a 6x mais 3, é o que se chama de uma função por parte.
Bom, podemos ter uma função também com um domínio enidimensional, então nós fazemos aqui, nós consideramos vários conjuntos, compondo esse domínio enidimensional, não necessariamente dentro, eles podem ser diferentes conjuntos, sendo mapados em elementos de um conjunto aqui, então nós temos uma associação de uma n-upla, onde cada componente dela é um elemento de um desses conjuntos que formam que dão essa adição de inalidade na função, e são apiados a um único elemento de ter.
Aqui temos uma exemplo de uma função com um domínio nos reais, nós podemos representar essa pistão da dimensão, por exemplo, através desse produto, cartezinha aqui que teríamos o que nada mais é do que o R2, então essa forma, como essa lembrando, que estamos mapando para um valor real, representado aqui pelo xz.
Porém, essas função, nós vimos aqui exemplos numérico, mas nós podemos pensar, voltar lá para as nossas proposições, podemos estabelecer um domínio de verdadeiro e falso n-dimensional, o que é mapado em verdadeiro e falso, em um valor que vai ser verdadeiro, ou esse falso, de que forma, vamos pegar aqui para n igual a 3, que eu estou querendo dizer com isso, n igual a 3 representa, então eu gostaria considerando 3 proposições no meu domínio.
Então, a minha função vai ser aplicada sobre essas 3 proposições, e aí eu tenho que ter uma forma na presta proposição para obter um valor verdade, então eu compõe uma através dessas sentenças, eu compõe uma proposição composta aqui, a ip, ou c, nesse caso, agora que eu tenho a minha função definida, eu posso atribuir valores para elas, que vem daqui de dimensão 3, 1, 2 e 3, com valor para a, com valor para b, no valor para c.
Você vê, uma desses valores verdadeis, jogando nessa fórmula, bem formulada, nós vamos ter verdadeiro, poderem ter pego contra a sequência de valores, 3 valores, aplicar a função, nesse caso, seria falso.
Um outro exemplo aqui relacionado ao congrúense modo n, nesse caso, nós associamos cada x o resto de sua divisão por n, então, um exemplo de uma função desse tipo, observe como ela é definida, é interessante aqui, eu vi uma outra forma de você apresentar uma função, para n igual a 5, e nós vamos ter um f, eu para n igual a 5, então a minha função seria representada desse jeito, x mod 5, e aí eu vou cocular, por exemplo, considerando domínio dos inteiros, eu vou calcular aqui para 3, bom, calcou um ano disso para a peso, lembrando nós vamos fazer uma diferença aqui, e aí nós vamos ter que essa diferença tem que ser múltiplo de 5, eu coloque mais a próxima disso, vai igual a 2, e aí nós obtemos o resto 3, observe que a função ela retorna ou resta, funções iguais, elas apresentam o mesmo domínio, o mesmo contra domínio, e a mesma associação de valores, então, nesse caso, só tem essa função de s, t definida pelos pares ordenados, e eu tenho essa função de s, t definida por essa fórmula onde s, n 2, 3, e t, n 4 e 9, nós vamos ter, então, para verificar a coleção iguais, verificar as mesmas gerações são estabelecidas, então pegamos para o valor domínio 1, nós vamos ter f, 1 dado por 1, e o g de 1 calculando aqui com a forma também vc1, para 2 vamos ter o valor 4 em f, e para g no valor 2 teremos 4 também, então observamos que isso vai acontecer também por 3, vamos ter o 9 associado a ele por f e aplicando a fórmula também, vamos ter 9, então, nós temos aqui que essas solções são idênticas, bom, agora vou começar a falar das propriedades de funções, uma função ela é dita sobre jitora ou sobre jitiva, se sua imagem for e se ela é o, a imagem o contador domínio são idênticos, quando isso ocorre, nós temos uma função sobre jitora, bom, para mostrar é interessante, é como eu decoro que eu decoro uma função sobre jitora, você pega um elemento arbitrado no contrado domínio e mostra que ele tem uma imagem em raça no domínio, então nós fazemos desig jeito, qual, não exerda, nós temos aqui um domínio que vai dos racionais, para função fx, e aí eu quero verificar se provar aquela é sobre jitora, então, o que eu faço? Eu assumo um valor que é para a função e que tento encontrar o x, então eu tento encontrar um valor para x a partir disso, quando eu faço isso eu observo que x é obtido por essa subtração dividido por 3, ou seja, isso aqui gera números racionais, então por exemplo, se aqui for 5, 5 menos 2, 3, 3 dividido por 3, 1 que é racional, se for, por exemplo, 0 também vai gerar menos 2, 3, que é racional, então nesse caso, f é sobre jitora, porque eu tenho aqui uma representação, que é uma representação capaz de gerar números dentro dos racionais, não vai fugir disso.
Agora, se eu mudo o meu domínio para inteiro, observem que aquela famulinha já não vai ter o mesmo impacto.
Eu consigo, por exemplo, com o que valendo 5, como eu já vim agitando, subtrair aqui e obter o 1, né? Porém, crie que valei para todo mundo, e isso não vai ser verdade, um com 3, por exemplo, simples é que é igual a 0, para que igual a 0, o vote x vai alumendo 2, 3, que não pertence aos inteiros.
Uma função ela é dita injetora, o injitivo, o 1 para 1, lembrando daquelas relações que nós definimos, se nenhum elemento de t é a imagem sobre f de 2 elementos distintos de s.
Então, observe que nesse caso, eu vou ter sempre uma relação de 1 para 1 entre os elementos do domínio e a imagem que está sendo gerada no contradomínio.
Para eu mostrar que f é injetora, eu suponho que aqui dentro existam 2 valores idênticos, apesar do domínio ser de supondo que os valores do domínio serão diferentes.
E eu mostro que isso não é viável, que o que vai acontecer é uma demonstração por absurdo.
Então, eu chego ao fato de que eles necessariamente têm que ser iguais.
Vamos ver um exemplo aqui.
No domínio do Gerais, no domínio do Gerais, eu tenho ggx³, então suponho que ggggb para idp100r aplicou a função e vejo que.
.
.
Partindo desse representação da função, eu consigo deduzir que a a vai ser igual a d.
A resolução disso aqui, eu tirando a a a a a a a a a a a esculpica dos dois lados, eu vou ter a a a e b, o que é a verdadeiro para valores reais.
Porém, se eu muda a minha função, para uma função quadrática, o que vai acontecer nesse caso e mandém o domínio dos Gerais, é fácil achar um exemplo.
Nós temos aqui o f2 e o f-2, cujos valores são iguais, mas, pois, em putes, vão ser.
.
.
Os valores de domínio vão ser diferentes.
Um outro exemplo aqui é esse eu mantém a minha função quadrada e, mudo, agora, o meu domínio por natureche, observe que agora ela passa sem injetora.
Neste caso, observem que o hggb vão gerar ao quadrado igual a b², do qual eu consigo tirar a a a e a i, e obter a igual a b, porque são não negativos os valores envolvidos.
Uma função vai ser digitora, obigitiva, obigição, se é o mesmo tempo, injetora e sobregitora.
Nesse caso, nós vamos ter a ocorrência de relação de 1 para 1, pegando todos os elementos do contradomínio.
Então, o contradomínio vai ser o conjunto imagem, vai ser igual ao contradomínio, e nós vamos ter sempre uma relação de 1 para 1 caracterizando que é injetiva, e o domínio imagem igual ao contradomínio caracterizando que é sobregitora.
Então, vamos voltar aqui na nossa função gx³, no domínio do geate, provamos aquela injetora, agora vamos provar aquela sobregitora.
Então, para provar isso, vamos encontrar o x no domínio.
Então, nós temos, supondo aqui, um gx igual a y, que vai ser igual a x ao cubo.
Então, para eu encontrar o x, o que eu vou fazer? Vou popular raiz de y.
Bom, calcular a escubica de y, nesse caso, é possível, considerando evaluações reais, eu voltei ao resultado a pertencente ao domínio do geate sem problema.
Então, logo, existe o x pertencente, é possível fazer esse mapeamento inverso, portanto, os gx igual a x ao cubo-e-visitor.
Bom, então, resumindo aqui, nós temos que uma função, ela pode ser sobregitora, mas não é injetora, como é o caso aqui, nós temos dois elementos caindo em um valor aqui, o que pode ocorrer, não temos só a relação de um pralme, e o meu contradomínio é igual a minha imagem igual ao contradomínio.
Aqui, nós vamos ter uma função que é injetora, serve, mas ela não é sobregitora, esses elementos estão sobrando aqui, no meu contradomínio, a imagem não é igual ao contradomínio.
Aqui, temos um exemplo de uma função obgitora, e aqui, um caso, que não é função, é onde nós temos um mapeamento.
Então, todas as situações podem acontecer.
Bom, agora eu vou falar de funções compostas.
Suponho aqui, eu tenho três sonjunto distintos, e aí, eu perguno o elemento de S, aplico a função F, que uma BDS se intê, então, eu obtém FDS, e sobre esse elemento FDS, eu aplico a função G, que uma B de T, no obtendo GDS.
Nesse caso, eu poderia chegar de S direto a U, definindo a função composta G de F.
Como isso funciona? Então, aqui é um exemplo para deixar esse conceito mais claro.
É se eu tenho que essa função quadrática de R, R, e essa função teto definida de R, em Z, clique-se, que faz a função teto? A ver, retorna o menor inteiro Z, que é a maior ou igual com o argumento real da função.
Nesse caso, se o meu argumento é 2.
8, o teto disso seria 3, se o argumento é menos 4.
1, o teto disso vai ser 4.
Então, quando eu faço a composição de G com F, o meu F de X entra como o argumento de G, e aí substituindo o.
.
.
Então, eu teria minha função teto calculada com o argumento F sobre F de X.
Só como eu F de X é X².
Então, isso significa que se eu focar o calcula G de F, do valor 2, 3, eu vou fazer 2, 3² e calcular teto disso.
2, 3², 5, 29, teto disso 6.
Se eu fizer agora o contrário com a composição de F como G, eu vou ter.
.
.
Então, o G de X como o argumento, que vai fazer com que eu tenha G de X², certo? E o meu G de X com sua vez é a função teto.
Então, nesse caso, eu calculo teto e depois ela é uma².
Então, calculando teto de 2, 3, eu vou obter 3, elevando ao quadrado, eu vou obter 9.
Bom, a função identidade, ela é definida como sendo uma função que leva cada elemento de S em si mesmo, ou seja, faz uma inversão.
Na verdade, é uma composição, né? Eu aplico F sobre S, obter um FS, e seguida eu tenho uma função G, que é composta com F gerando, retornando para S, o G de FS, ES.
Então, eu tenho aqui o que se chama de uma função identidade, ou seja, que deixa cada elemento de S fixo.
E é representada por E em CS.
Então, nesse contexto, se eu tenho uma função FDS, T, EG de T, e S, nós vamos mostrar que a composição de F com G vai ser a identidade de T e a DG, com a F identidade que S.
Ou seja, T pretentente ao meu domínio, tem mais um tema e os que eu estou aqui, então, se eu for aplicar o F, a composição de F, G de T, o que vai acontecer? O meu G de T, ele vai ser S, retornar um valor S, e o meu FDS vai retornar T.
Então, nesse caso, nós temos a identidade de T.
Agora, para S pretentente, A S, o que eu vou ter, eu aplico, o G, a composição de G, FDS.
Então, o meu FDS vai ser T, vai retornar um valor T.
Por outro lado, o meu G de T vai retornar S, eu tenho uma identidade em S.
Dito isso, tendo o conceito de identidade, agora, nós podemos definir com a identidade, através das composições de funções, fica mais fácil entender o conceito da função inversa.
Então, seja F, levando o G, T, se existir uma função G de T, tal que a composição de G com F, é E de S, e é para a composição de F com G, é de T.
Então, G é chamada de função, em diversa de F, e denotada por F menos 1.
Dessa forma, tem um teorena, que, infelizmente, não vai dar tempo de mostrar aqui, que se S, F, uma P, D, S, T, então, F é uma abigição, sei somente C, ela tiver uma inversa, ou seja, se uma função tem inversa, ela é uma abigição, e se ela for uma abigição, ela vai ter inversa.
Então, exemplos aqui, não exemplo aqui.
Suponho essa função definida no domínio dos reais, 3x mais 4, é uma função abigetora, nós vamos encontrar em inversa dela.
Para encontrar em inversa dela, a abigição vocês verifiquem depois, para encontrar em inversa dela, no que nós vamos fazer? Eu chamo essa função inversa, aqui de y igual a F menos 1x.
E aí, o que eu faço? Eu coloco o y no lugar do x, e o x no lugar do Fx.
E aí, o que vai acontecer? Fazendo essa troca, que eu obtém a minha função inversa.
Certo? Então, é bem tranquilo, ou, pelo menos, para funções mais simples, a gente conseguiu obter essa inversão, mas a gente tem que antes verificar e aí o teorena está para isso, está aí para nos servir nesse ponto, se ela tem condições de se a inversão é possível de ser calculada para essa função.
Bom, essa foi a aula de hoje, são bastante conceitos, que precisamos para esse curso, e eu espero que a maioria deles, vocês tenham conseguido compreender, recomendando a leitura da sessão de 5x4 do material base, e nos vemos a próxima aula.