O vídeo apresenta os produtos notáveis, que são expressões algébricas que permitem expandir rapidamente produtos de polinômios, como quadrados de somas, diferenças e cubos. Ele mostra como usar a propriedade distributiva, associativa e comutativa para simplificar cálculos e resolver equações.
Os produtos notáveis são fórmulas que permitem expandir rapidamente expressões algébricas, como o quadrado de uma soma ou diferença, o produto da soma pela diferença e os cubos de soma e diferença. Usando a propriedade distributiva, associativa e comutativa, podemos transformar produtos de polinômios em somas de termos mais simples, facilitando cálculos e a resolução de equações.
O vídeo começa explicando a diferença entre expressões numéricas e algébricas, usando letras para representar números. Em seguida, demonstra como a propriedade distributiva permite multiplicar somas, como em (10 + 5)², e como isso se traduz em produtos notáveis. Os principais produtos notáveis abordados são:
Essas fórmulas são úteis para calcular rapidamente quadrados e cubos de números, especialmente quando o número pode ser escrito como soma ou diferença de partes mais simples. O vídeo também mostra como usar esses produtos para resolver equações de primeiro e segundo grau, demonstrando que a expansão de expressões pode simplificar a resolução de problemas algébricos.
Qual é a expansão correta de (a + b)²?
Resposta correta: A – a² + 2ab + b².
Qual é a expansão correta de (a – b)³?
Resposta correta: A – a³ – 3a²b + 3ab² – b³.
Qual expressão é equivalente a (x + 5)(x – 5)?
Resposta correta: B – x² – 25.
Qual é a expansão correta de (2x + 3)³?
Resposta correta: A – 8x³ + 36x² + 54x + 27.
Olá estudantes! Neste vídeo, vamos explorar a ideia de produtos notáveis.
Os produtos notáveis são produtos de polinômios muito utilizados no cálculo álgêbrico.
Cálculo álgêbrico é representado por letras no lugar de números.
Por exemplo, vamos tomar a soma de dois números.
Vamos somar 10 com 5.
Temos, portanto, uma expressão numérica.
Se passarmos a representar o número 10 pela letra A, a expressão deixa de ser numérica e passa a ser álgêbrica.
E passa a ser igual a expressão anterior se utilizarmos A igual a 10.
Ao passo que a expressão numérica resulta um valor definido, a expressão álgêbrica necessita que um valor numérico seja atribuído.
Agora que sabemos diferenciar expressões numéricas e álgêbricas, podemos trocar o número 5 pela letra B e expressar a soma de dois números quesquer como A mais B.
Tal como nas expressões numéricas, expressões álgêbricas apresentam uma ordem de operações.
Por exemplo, A mais B ao quadrado indica que primeiro a soma é realizada e então elevamos o resultado dessa soma ao quadrado.
Vamos ver com números.
Se queremos calcular 10 mais 5 e então elevar ao quadrado, somamos 10 com 5 que dará 15 e então elevamos 15 ao quadrado, podendo remover os parentes.
Calcular 15 ao quadrado nada mais é do que calcular 15 vezes 15.
Mas como fazemos a multiplicação? O algoritmo utilizado é comumente apresentado nos anos iniciales de educação básica, através de multiplicações e somas nas posições de outra unidade, dezena e centena, entre outras.
Uma propriedade muito importante é que a multiplicação apresenta a propriedade distributiva em relação a soma.
Note que a distributiva pode ser feita pela direita ou pela esquerda.
E as expressões são equivalentes, pois a multiplicação é comutativa.
Isto é, a ordem dos fatores pode ser alterada, mas o produto não vai mudar.
Podemos aplicar a distributiva novamente de modo que acabamos obtendo multiplicações mais diretas.
Após multiplicar, somamos os números obtendo então o produto desejado.
Note que este raciocínio é equivalente a algoritmo da multiplicação anteriormente visto.
Já que multiplicamos unidade com unidade, unidade com dezena, e então somamos, e depois multiplicamos dezena com unidade e dezena com dezena.
E também somamos, e finalmente somamos as parcelas para obter o produto.
Lembrando que a multiplicação é comutativa, podemos escrever 5 vezes 10, como 10 vezes 5.
Podemos, então, reorganizar nossa expressão e juntar as multiplicações repetidas.
De forma que a soma de dois termos idênticos passa ser representada pela multiplicação por 2.
Finalmente, lembramos que multiplicar um número por ele mesmo é equivalente a elevalo ao quadrado.
Como 15 é 10 mais 5, temos que 10 mais 5 ao quadrado, é igual a 10 ao quadrado somado a 2 vezes 10 vezes 5, somado a 5 ao quadrado.
Temos aqui um exemplo de um produto notável, o quadrado de uma soma.
Passando a representar através de letras, temos que a mais b ao quadrado é igual a a a ao quadrado somado a 2 vezes a vezes b somado a b ao quadrado.
Para verificar, vamos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação.
Utilizando as propriedades associativas e comutativas da soma e da multiplicação, conseguimos mostrar que o produto notável é válido.
Podemos utilizar o produto notável para nos ajudar a agilizar algumas contas.
Por exemplo, se queremos calcular 315 ao quadrado, podemos separar este número como a soma entre 300 e 15.
Utilizando o produto notável, verificamos facilmente que o resultado será 99.
225.
O quadrado de uma soma pode ser entendido como a área de um quadrado de lado a mais b.
A área do quadrado é igual a soma da área do quadrado de lado a com a área dos dois retângulos de lados a e b e a área do quadrado de lado b.
Outro produto notável importante é o quadrado de uma diferença.
Podemos utilizar a propriedade distributiva para encontrar a expressão.
Note que ao fazer a distributiva, o sinal negativo é carregado junto ao valor b.
Note que a expressão do quadrado de uma soma é muito parecida com o quadrado da diferença.
A única mudança é o sinal negativo que aparece no termo duas vezes a vezes b.
Uma maneira prática é entender menos b como o valor oposto de b.
Por exemplo, se b igual a 7, então menos b é igual a menos 7.
Podemos ver então que o quadrado de uma diferença está relacionado ao quadrado da soma.
Pois podemos tratar a diferença como a soma simplesmente tomando o oposto do número que é subtraído.
Vamos supor que queremos calcular 485 ao quadrado.
Podemos separar este número como a soma do número 400 e do número 85.
Alternativamente, podemos expressar como a diferença entre o número 500 e o número 15.
Perceba que essa segunda maneira parece mais simples.
Especialmente, se considerarmos que sabemos quanto vale 15 ao quadrado.
Ao passo que precisaríamos obter 85 ao quadrado.
Desta maneira, chegamos ao resultado de 235.
225.
Um terceiro produto notável importante é o produto da soma pela diferença.
Vamos comparar o produto da soma pela diferença com o quadrado da soma e o quadrado da diferença.
Note que não há o termo 2 vezes a vezes b.
E o sinal do termo b ao quadrado é negativo ao invés de positivo.
Sempre que multiplicarmos sinais negativos, o número ímpar de vezes o produto terá sinal negativo.
Agora, quando multiplicarmos sinais negativos, o número par de vezes o produto terá sinal positivo.
O produto da soma pela diferença pode ser útil quando queremos calcular uma multiplicação de dois números distintos.
Se quisermos calcular 9,5 vezes 6 e meio, podemos expressá-los através dos números 8 e 1 e meio.
O resultado será de 61 inteiros e 75 centésimos.
Para finalizar nossa conversa sobre produtos notáveis, vamos discutir as expressões para o cubo de uma soma e cubo de uma diferença.
O cubo de uma soma pode ser obtido da aplicação direta da distributiva e do arranjo da expressão através da associatividade e com muita atividade da soma e da multiplicação.
Como sabemos, a expressão do quadrado de uma soma vamos utilizar ela como ponto de partida.
Desta forma, obtemos que a mais b ao cubo é igual a a ao cubo somado a 3 vezes a ao quadrado vezes b, somado a 3 vezes a vezes b ao quadrado.
Somado a b ao cubo.
De maneira similar, obtemos uma expressão para o cubo de uma diferença.
Repare que os sinais das potências ímpares em b são negativos.
Aproveite os conhecimentos adquiridos ao longo deste vídeo e tente verificar que tal expressão é verdadeira.
Utilizar produtos notáveis nos permite expandir expressões algébricas, permitindo entender os seus termos.
A exemplo da expressão 2 vezes x menos 3 ao quadrado.
Temos que essa expressão é equivalente a 4x ao quadrado menos 12 vezes x mais 9.
Espero que este vídeo tenha ajudado você estudante a entender melhor como funciona produtos notáveis, como obtelos e quando utilizá-los.