O texto apresenta uma introdução aos polinômios, explicando sua definição, tipos (monômio, binômio, trinômio, polinômio de grau maior), operações com eles (adição, subtração, multiplicação, divisão por números) e conceitos relacionados como grau, coeficiente e parte literal.
2x^2 - 3xy + 5.3x^4y.a + b ou 3x^2 - 5x.x^2 - 5x + 6.7x^2y^3 é 5.Ao combinar termos semelhantes, é crucial identificar a parte literal (produto de potências de variáveis) para reduzir corretamente o polinômio.
O conteúdo oferece uma visão completa sobre polinômios, desde sua definição até operações e cálculo de grau, preparando o estudante para manipular expressões algébricas de forma correta e eficiente.
Polinômios são expressões algébricas que utilizam apenas soma, subtração e multiplicação de números e potências de variáveis. Eles podem ter um único termo (monômio), dois termos (binômio), três termos (trinômio) ou mais. O grau de um polinômio é determinado pelo maior grau entre seus termos, onde o grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis que o compõem. Operações com polinômios incluem adição, subtração, multiplicação e divisão por números ou monômios, sempre respeitando que expoentes negativos não são permitidos em polinômios. Ao combinar termos semelhantes, a parte literal (produto de potências) deve ser igual para que os coeficientes possam ser somados ou subtraídos.
O material aborda os fundamentos dos polinômios, começando pela definição de expressão algébrica e avançando para a classificação de monômios, binômios e trinômios. Em seguida, discute as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e como elas são aplicadas em polinômios, destacando a importância de termos semelhantes e a regra de soma de expoentes ao multiplicar monômios. O conceito de grau é introduzido, explicando como calcular o grau de monômios e polinômios, e como o grau influencia a classificação de polinômios de grau maior. Por fim, o texto reforça a necessidade de atenção ao reduzir termos semelhantes e ao realizar operações que envolvem potências e radiciações, que não são permitidas em polinômios.
Embora o texto não trate diretamente de trabalhos científicos, a estrutura de apresentação (introdução, definição, exemplos, explicação de operações, conclusão) segue um modelo típico de relatório científico, onde cada seção tem um propósito claro e os resultados são apresentados de forma lógica.
Não há menção direta a razão e proporcionalidade no conteúdo, mas a ideia de combinar coeficientes (ex.: 3x + 4x = 7x) pode ser vista como uma aplicação de proporcionalidade entre termos semelhantes.
Semelhante ao anterior, o texto não aborda explicitamente razão e proporção, mas a manipulação de coeficientes e expoentes segue princípios de proporcionalidade.
O material descreve produtos notáveis como o quadrado de uma soma, a diferença de quadrados e a expansão de produtos de binômios, mostrando como aplicar a distributiva e combinar expoentes.
Expressões algébricas são combinadas usando regras de adição, subtração, multiplicação e divisão. Produtos notáveis são formas específicas de expansão que simplificam cálculos, como (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 e (a-b)(a+b) = a^2 - b^2.
1. (1,50 pontos) Qual é a definição de polinômio?
2. (2,50 pontos) Qual é o grau do polinômio 3x⁴y² - 5xy³ + 7?
3. (2,50 pontos) Ao multiplicar (2x²y - 3z) por (x - y³), qual é o termo de maior grau?
4. (3,50 pontos) Se P(x) = x³ - 3x + 2 e Q(x) = x² - 1, qual é o grau do polinômio R(x) = P(x) * Q(x)?
Olá, estudante! Nesta aula, vamos falar sobre polinômios.
Mas o que é mesmo um polinômio? Um polinômio é uma expressão algébrica que envolve apenas somas, subtrações e multiplicações, de números e variáveis numéricas, geralmente representadas por letras.
Sendo assim, podemos dizer que o polinômio é o tipo mais simples que existe de uma expressão algébrica.
Vamos ver quais das expressões algébricas a seguir são polinômios.
O primeiro exemplo é a expressão algébrica, duas vezes x menos 3.
E esse é um exemplo de um polinômio, pois as únicas operações envolvidas são de multiplicação e subtração.
Nesse caso, o polinômio com uma única variável numérica representada aqui pela letra x.
O segundo exemplo é a expressão algébrica, a vezes a soma de a com 5, que usando a propriedade distributiva da multiplicação pode ser desenvolvida para a ao quadrado mais 5 vezes a.
Esse também é um exemplo de um polinômio, pois envolve apenas operações de soma e multiplicação.
Nesse caso, o polinômio também tem uma única variável numérica, dessa vez representada pela letra a.
Note que as duas expressões apresentadas representam o mesmo polinômio.
O terceiro exemplo é a expressão algébrica, 3 vezes p multiplicado pela diferença entre 4k e t somado ao produto.
7 vezes k vezes t, que usando a propriedade distributiva da multiplicação pode ser desenvolvida para.
Esse também é um exemplo de um polinômio, pois envolve apenas as operações de multiplicação, soma e subtração.
Mas dessa vez, com três variáveis numéricas, aqui representadas pelas letras p, k e t.
Note que as duas expressões apresentadas representam o mesmo polinômio.
O quarto exemplo é a expressão algébrica raizcúbica do produto de y por z.
Essa expressão não é um polinômio, pois a apresentação de radiciação não permitida em polinômios.
Esse é um exemplo de expressão algébrica com duas variáveis numéricas, aqui representadas pelas letras y e z.
O quinto exemplo é a expressão algébrica um dividido por x.
Essa expressão também não é um polinômio, pois apresenta a operação de divisão por uma expressão algébrica.
Não permitida em polinômios para não corrermos o risco de criarmos uma divisão por zero.
Esse é um exemplo de expressão algébrica com uma única variável numérica, aqui representada pela letra x.
O sexto e último exemplo é a expressão algébrica b² dividido por 3, somado com 5 vezes b, dividido por 2.
Essa expressão é assim um polinômio, já que as divisões por 3 e por 2 podem ser vistas como multiplicações por 1 terço e por meio respectivamente.
Ou seja, um polinômio pode apresentar divisões por números, mas não por variáveis.
Esse polinômio tem uma única variável numérica representada pela letra b.
Percebam que, como são permitidas multiplicações, os polinômios também apresentam operações de potenciação em que as variáveis são as bases.
Dessas potências cujos espoentes são sempre números inteiros e positivos.
Nós também podemos perceber que, ao desenvolvermos todas as multiplicações possíveis, um polinômio é sempre uma soma ou subtração de algumas parcelas, as quais também chamamos de termos ou ainda de monômios.
Agora você deve estar se perguntando.
Então, o nome polinômio significa vários monômios e a resposta é que sim, vamos começar do começo, ok? O monômio é um polinômio representado por uma única parcela ou o único termo, ou seja, é o resultado de apenas multiplicações entre números e potências de variáveis.
Alguns exemplos de monômios são 3 vezes x², que é um monômio de um avariável, menos p vezes z elevado a 8ava, e 7 vezes a vezes b ao cubo vezes c ao quadrado, que é um monômio de 3 variáveis.
Um binômio é um polinômio representado pela soma ou subtração de 2 monômios, ou duas parcelas ou dois termos.
Alguns exemplos de binômios são a mais b, que é um binômio de duas variáveis, 3 vezes x² menos 5 vezes x, que é um binômio de um avariável.
Um trinômio é um polinômio representado pela soma ou subtração de 3 monômios, ou três parcelas ou ainda três termos.
Alguns exemplos de trinômios são a² menos duas vezes a vezes b, mais b ao quadrado, que é um trinômio de duas variáveis, e 3 vezes x² menos 5 vezes x, mais 8, que é um trinômio de um avariável.
Portanto, podemos dizer que um polinômio é a soma de 4 ou mais monômios, concordam? Bem, não exatamente.
Na verdade, um polinômio é a soma ou subtração de qualquer quantidade finita de monômios, parcelas e termos, incluindo o caso com 1, 2 ou 3 parcelas, ou seja, todo o monômio, todo o binômio e todo o trinômio também podem ser chamados de polinômios.
Alguns exemplos de polinômio são x elevado a 7 mais 3 vezes x ao quadrado menos 5 vezes x, mais 8, que é um polinômio de um avariável, e duas vezes x vezes y ao cubo menos 3 vezes a vezes x, que é um polinômio de 3 variáveis.
Além de todos os exemplos apresentados de monômios, binômios e trinômios.
Em cada um dos monômios, podemos ver a presença de números, multiplicando as potências das variáveis.
Chamamos esse número de coeficiente, e chamamos os produtos de potências de variáveis de parte variável, ou parte literal.
Lembre-se de tomar muito cuidado na hora de contar a quantidade de monômios em um polinômio, já que ela pode ser reduzida quando houver termos semelhantes, que são aqueles com a mesma parte variável.
Por exemplo, no cálculo do quadrado de uma soma, ao desenvolvermos a propriedade distributiva, obtemos, aparentemente, quatro monômios, porém, como a b e b a têm a mesma parte variável, ou seja, são termos semelhantes, podemos reduzir a expressão a três monômios, obtendo assim o famoso trinômio quadrado perfeito.
Outro exemplo é o cálculo do produto da soma de dois números pela diferença desses mesmos números, em que ao desenvolvermos a propriedade distributiva, também obtemos, aparentemente, quatro monômios.
Porém, como a mn e a m têm a mesma parte variável, ou seja, são termos semelhantes, podemos reduzir a expressão a dois monômios, obtendo assim a famosa diferença de quadrados.
Note que ao reduzirmos termos semelhantes, estamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, tratando cada parte literal como um objeto.
Observe o seguinte exemplo, considero o produto entre x mais 2 e 3 mais 2x, que ao desenvolvermos a propriedade distributiva, obtemos, aparentemente, quatro monômios, porém, como 3x e 4x têm a mesma parte variável, ou seja, são termos semelhantes, podemos reduzir a expressão a três monômios, duas vezes x ao quadrado mais 7 vezes x mais 6.
A redução de termos semelhantes se deu pela soma 3 vezes x mais 4 vezes x, igual a 7 vezes x, que foi possível pelo uso da propriedade distributiva, colocando x em evidência e calculando a soma, 3 mais 4 é igual a 7, assim como 3x mais 4x é igual a 7x, assim como 3z mais 4z é igual a 7z, assim como 3a vezes b a quinta mais 4a vezes b a quinta é igual a 7a vezes b a quinta, assim como 3 qualquer coisa mais 4 qualquer coisa é sempre igual a 7 qualquer coisa, sempre pela propriedade distributiva.
Para somarmos ou subtrairmos polinômios, devemos simplesmente reduzir os termos semelhantes caso existirem.
Por exemplo, considere os polinômios y ao cubo menos duas vezes y mais 1 e 5 vezes y ao quadrado mais 2 vezes y.
Calculando a soma e a diferença entre eles, a soma é feita desfazendo os parentes e cancelando os termos semelhantes.
Resultando em y ao cubo mais 1 mais 5 vezes y ao quadrado.
A diferença é feita invertendo sinais dentro do segundo parentes e reduzindo os termos semelhantes.
Resultando em y ao cubo mais 1 menos 5 vezes y ao quadrado menos 4 vezes y.
Para multiplicarmos ou calcularmos potências de polinômios, devemos combinar a propriedade distributiva com as propriedades de potenciação.
Por exemplo, se multiplicarmos o polinômio 3 vezes x vezes y ao quadrado vezes z pelo polinômio 5 vezes y ao cubo vezes z a sexta mais 2 vezes x ao cubo aplicamos a distributiva e obtemos um binômio.
Cúrgios coeficientes são multiplicados e cúrgios expoentes são dados pela soma dos respectivos expoentes.
Resultando no binômio 15 vezes x vezes y a quinta vezes z a sétima mais 6 vezes x elevado a quarta vezes y ao quadrado vezes z.
Para dividirmos dois polinômios, devemos usar a propriedade de divisão de potências de mesma base.
Por exemplo, se dividimos um monômio 3 vezes m a sétima pelo monômio 2 vezes m ao quadrado aplicamos a propriedade citada e obtemos um monômio.
Cúrgios coeficientes são divididos e cúrgios expoentes são dados pelas diferenças entre os respectivos expoentes.
Resultando no monômio 3 meios vezes m elevado a quinta.
Note que se fizemos a divisão contrária do polinômio 2 vezes m ao quadrado pelo polinômio 3 vezes m a sétima, aplicaremos a propriedade citada e obteremos a expressão 2 terços vezes m elevado a menos 5, que não é um monômio, já que o expoente da variável é negativo.
Por enquanto, vimos apenas divisões entre polinômios em que os divisores são monômios e vimos que, mesmo assim, nem sempre os resultados destas divisões continuam sendo polinômios.
Para finalizámos, vamos agora definir o conceito de grau de um polinômio, começando pelo grau de um monômio.
Se um monômio é apenas numérico sem variáveis, definimos o seu grau como zero.
Por exemplo, o monômio 5 tem grau zero, pois 5 é igual a 5 vezes x elevado a zero e x elevado a zero é sempre igual a 1.
Se um monômio tem apenas uma variável, definimos o seu grau como o expoente da potência que tem essa variável como base.
Por exemplo, o monômio 5 vezes x ao quadrado tem grau 2, e o monômio menos p vezes z elevado a 8ª tem grau 8.
Se um monômio tem duas ou mais variáveis, definimos o seu grau como a soma dos expoentes das potências que tem essas variáveis como base.
Por exemplo, o monômio 7 vezes a vezes b ao cubo vezes c ao quadrado tem grau 6.
Pois a soma dos expoentes 1 mais 3 mais 2 é igual a 6.
Quando um polinômio está expresso como a soma de monômios com seus termos semelhantes reduzidos, definimos o grau desse polinômio como sendo o grau do seu monômio de maior grau.
Por exemplo, a mais b tem grau 1, pois os graus de seus dois monômios são igual a 1.
x elevado a 7 mais 3x ao quadrado menos 5x mais 8 tem grau 7.
Pois o monômio x elevado a 7 tem grau 7.
2x y ao cubo menos 3a x tem grau 4.
Pois o monômio 2x y elevado a 3ª tem grau 4.
Esperamos que vocês tenham aproveitado essa aula e aprendido sobre polinômios.
Agradecemos sua atenção e nos despedimos.
Até a próxima!