Do que se trata o conteúdo?
O conteúdo aborda conceitos matemáticos de razão, proporção e regra de três, com aplicações práticas.
Principais assuntos:
Ponto de maior atenção:
Identificar corretamente o tipo de proporcionalidade (direta ou inversa) na regra de três.
Conclusão:
Esses conceitos são ferramentas poderosas para resolver problemas cotidianos envolvendo relações entre quantidades.
O material apresenta os conceitos fundamentais de razão (comparação entre quantidades), proporção (igualdade de razões) e suas aplicações práticas através da regra de três. Explica a diferença entre grandezas diretamente proporcionais (aumentam juntas) e inversamente proporcionais (uma aumenta enquanto a outra diminui). Demonstra como resolver problemas simples e complexos usando esses métodos, com exemplos concretos como cálculo de tinta, tempo de trabalho e produção industrial.
Razão e Proporcionalidade: A razão é o quociente entre dois números que estabelece uma relação quantitativa. Quando duas razões são equivalentes, temos uma proporção. A proporcionalidade pode ser direta (as grandezas variam na mesma direção) ou inversa (variam em direções opostas).
Expressões Algébricas: Combinações de números, variáveis e operações matemáticas. Os produtos notáveis incluiem:
Regra de Três: Técnica para solução de problemas de proporcionalidade. Na forma simples, resolve problemas com duas grandezas. Na composta, lida com três ou mais grandezas, exigindo análise individual de cada relação com a grandeza principal.
1. (1,50 pts) Se 5 operários constroem um muro em 10 dias, quantos dias levarão 8 operários para fazer o mesmo trabalho?
2. (2,50 pts) Se 4 torneiras enchem um tanque em 6 horas, quanto tempo levarão 10 torneiras com vazão 50% maior que as originais?
3. (2,50 pts) Uma fábrica com 12 máquinas produz 360 peças em 5 dias. Quantas máquinas seriam necessárias para produzir 864 peças em 3 dias, com eficiência 20% maior?
4. (3,50 pts) Três robôs trabalhando 8h/dia produzem 120 unidades em 4 dias. Cinco robôs trabalhando 6h/dia produzem 150 unidades em quantos dias, considerando que os novos robôs têm eficiência 25% menor?
Olá, pessoal! Hoje vamos aprender sobre a regra de 3 e a proporção.
Essas ferramentas são essenciais para resolver problemas do dia a dia, como calcular valores enreceitas, distâncias ou até mesmo descontos.
Vamos lá! Considere dois números racionais, a e b, com b diferente de zero.
A razão de a por b nessa ordem é dada pelo consciente a dividido por b, ou a está para b.
Já a proporção ocorre quando duas razões são iguais.
A está para b, assim como c está para d.
Por exemplo, a fração 2.
4 é proporcional a fração 3.
6, ou podemos dizer 2 está para 4, assim como 3 está para 6.
Grandezas proporcionais são aquelas que variam de maneira relacionada, podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais.
Duas grandesas são diretamente proporcionais quando aumentaram a delas a outra também aumenta, ou ao diminuir uma a outra também diminuir.
Imagina que você está fazendo um bolo.
Quanto mais ovos você usar, maior será o bolo, certo? Nesse caso, a quantidade de ovos e o tamanho do bolo são grandesas diretamente proporcionais.
Também podemos dizer que duas grandesas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é igual a uma constante.
Duas grandesas são inversamente proporcionais quando a aumentaram a delas a outra diminui na mesma proporção.
Pense em uma equipe de trabalhadores pintando uma casa.
Quanto mais pessoas trabalharem, menos tempo levarão para terminar a pintura.
Nesse caso, o número de pessoas e o tempo são grandesas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma aumenta a outra diminui.
Podemos dizer que duas grandesas são inversamente proporcionais quando uma grandeza a for proporcional ao inverso da grandeza b.
Agora que entendemos as proporções, vamos aprender como resolver problemas usando a regra de três simples.
Primeiro, identifique as grandesas do problema.
Depois, determine a relação entre elas.
É direta ou inversa.
Monte a proporção e resolva.
Pácio, né? Agora vamos fazer juntos.
Imagine que três litros de tinta pintam 12 metros quadrados.
Se eu quiser pintar 20 metros quadrados, quantos litros vou precisar? Vamos pensar mais metros quadrados, mais tinta.
Esterto? É uma relação direta.
Agora, vamos montar a proporção.
3 está para x, a 5 ou 12 está para 20.
Fazendo a multiplicação cruzada, temos.
Então, precisamos de 5 litros de tinta para pintar 20 metros quadrados.
Tranquilo, né? Agora vamos para um exemplo com grandesas inversamente proporcionais.
Se seis trabalhadores terminam uma obra em 8 dias, quantos dias levariam quatro trabalhadores para fazer a mesma obra? Aqui, menos trabalhadores significa mais tempo.
A relação é inversa.
Vamos montar a proporção, como um exemplo anterior.
Como a relação é inversa, devemos inverter uma das razões.
Vamos escolher a razão que não apresenta a incógnita.
Em seguida, resolvemos normalmente a proporção.
Ou seja, quatro trabalhadores levariam 12 dias.
Agora, vamos complicar um pouquinho a regra de três compostas.
Aqui, temos mais de duas grandesas e precisamos analisar cada uma delas em relação à incógnita.
Parece difícil, mas com organização pica tranquilo.
Se três máquinas produzem 60 peças em duas horas, quantas peças cinco máquinas produzem em quatro horas? Primeiro, organizamos os dados em uma tabela.
Perceba que temos três grandesas, quantidade de máquinas, quantidade de peças e quantidade de horas.
Agora, analisamos as relações máquinas e peças.
Mais máquinas, mais peças.
Isso é direto.
Horas e peças.
Mais horas, mais peças.
Isso também é direto.
Então, montamos a proporção 60 está para x, assim como 3 está para 5.
Vês e dois está para 4.
Perceba que multiplicamos as razões referentes às grandesas que não possuem incógnita.
Vamos prosseguir com o cálculo da regra de três.
Pronto.
Com cinco máquinas e quatro horas, produzimos 200 peças.
Viram como dá certo? Agora, vamos resolver juntos um exemplo de regra de três compostas com grandesas inversamente proporcionais.
Presta atenção.
Porque aqui temos mais de duas grandesas relacionadas.
Um grupo de 8 caminhões consegue transportar 400 toneladas de areia em cinco dias, trabalhando 8 horas por dia.
Se o número de caminhões for reduzido para 4, mais a jornada de área aumentar para 10 horas, enquanto os dias será feito o transporte da mesma quantidade de areia.
Novamente, temos três grandesas.
Quantidade de caminhões, quantidade de horas trabalhadas por dia, e quantidade de dias.
Agora, analisamos as relações.
Mais caminhões trabalham mais rápido, certo? Então, se tivermos menos caminhões, levará mais tempo.
Aqui, temos uma relação inversamente proporcional.
Mais horas trabalhadas significa que o trabalho termina mais rápido.
Então, mais horas trabalhadas, menos dias.
Essa também é uma relação inversamente proporcional.
Então, montamos a proporção.
5 está para x, assim como 10 está para 8 vezes 4 está para 8.
Perceba que as razões que representam as grandesas horas por dia e caminhões estão inversas.
Se comparadas com o que foi apresentado na tabela.
Pois essas grandesas são inversamente proporcionais, a grandeza da quantidade de dias.
Resolvendo a proporção, encontramos que a quantidade de dias necessários para que quatro caminhões transportem 400 toneladas de areia, trabalhando 10 horas por dia, é igual a 8.
E a regra de 3 não serve só para exercícios de matemática, viu? Dá para usar em várias situações práticas.
Em uma receita, se 200 gramas de farinha são para quatro pessoas, quanto usar para 10? Ou em viagens, c, um litro de gasolina, rende 12 km, quantos litros preciso para viajar 120 km? Sempre que houver grandesas relacionadas, é só identificar, montar e resolver.
Bom, pessoal, espero que tenham gostado da aula de hoje e que agora você se sinta ou mais confiantes para usar a regra de 3 e entender as proporções.