O material apresenta a regra de três, tanto na forma simples quanto na composta, explicando passo a passo como organizar os dados, identificar a proporcionalidade (direta ou inversa) e resolver os problemas por meio de frações equivalentes.
Entender quando a relação entre as grandezas é direta ou inversa, pois isso determina se a fração deve ser mantida ou invertida antes de fazer a multiplicação cruzada.
Ao dominar a regra de três, o estudante consegue resolver rapidamente problemas de proporcionalidade em diversas situações do cotidiano, desde pintura até planejamento de trabalho.
O vídeo ensina a usar a regra de três para resolver problemas que envolvem relações de proporcionalidade. Primeiro, organiza os dados em uma tabela, certificando‑se de que todas as grandezas estejam na mesma unidade. Depois, determina se a relação é direta ou inversa, o que orienta a forma de montar a fração equivalente. Por fim, resolve a equação cruzada para encontrar o valor desconhecido. Exemplos práticos incluem calcular litros de tinta para uma área menor e estimar o tempo de trabalho de mais pessoas em uma tarefa.
O estudo da regra de três é fundamental para compreender a proporcionalidade entre grandezas. Existem dois tipos principais de trabalhos científicos que utilizam essa ferramenta: experimentos controlados, onde variáveis são manipuladas de forma sistemática, e análises de dados secundários, que interpretam informações já coletadas. Em ambos os casos, a regra de três facilita a extrapolação de resultados e a comparação entre diferentes cenários.
O conceito de razão descreve a relação entre dois números, enquanto a proporcionalidade indica que duas grandezas mantêm a mesma razão em todas as situações. Quando a razão permanece constante, dizemos que as grandezas são proporcionalmente diretas. Se a razão inversa se mantém (produto constante), as grandezas são proporcionalmente inversas.
Em termos de expressões algébricas, a regra de três pode ser representada por frações equivalentes, como a/b = c/d. Os produtos notáveis (como (a+b)² = a² + 2ab + b² ou (a-b)(a+b) = a² - b²) são úteis quando se manipula expressões que envolvem somas ou diferenças de grandezas.
Ao combinar a regra de três com expressões algébricas, o estudante pode resolver problemas mais complexos, como calcular a quantidade de horas necessárias para completar um trabalho quando múltiplas variáveis (número de trabalhadores, área a ser trabalhada, tempo disponível) mudam simultaneamente.
1. (1,50 ponto) Se 6 metros de tecido custam R$ 90,00, quanto custarão 10 metros?
2. (2,50 ponto) Cinco operários constroem um muro em 12 dias. Quantos dias serão necessários para 8 operários construírem o mesmo muro, se a produtividade for proporcional ao número de operários?
3. (2,50 ponto) Se 3 máquinas produzem 120 peças em 4 horas, quantas horas serão necessárias para 5 máquinas produzirem 200 peças, assumindo proporcionalidade direta entre máquinas e produção e inversa entre horas e produção?
4. (3,50 ponto) Em um experimento, 4 laboratórios produzem 200 unidades de um composto em 10 dias. Se 7 laboratórios forem usados e a produção for proporcional ao número de laboratórios, quantos dias serão necessários para produzir 350 unidades, considerando que a produtividade por laboratório permanece constante?
Olá, pessoal! Estamos de volta aqui na nossa disciplina de matemática básica.
E hoje nós vamos falar de regra de três.
Esse, com certeza, é um tema muito presente, não só nas disciplinas que vocês vão ter aqui, mas também no dia a dia, nas operações do dia a dia.
Então, presta atenção.
Vamos lá.
Regra de três simples.
Vamos começar por ela.
É um processo prático para resolver problemas que envolvem a relação de proporcionalidade.
Na regra de três simples, temos sempre duas grandesas envolvidas com três valores conhecidos e um valor desconhecido a ser encontrado.
Veja, você sempre vai ter, nesse caso, um problema em que você terá três informações e você procura uma última informação que está faltando.
Então, no total, nós vamos encontrar um agrupamento em que eu vou usar duas e duas.
Para encontrar esse valor, nós temos alguns passos.
Vamos prestar atenção nesses passos e, com o tempo, eles se tornam naturais.
Talvez você que tenha facilidade, sabe resolver uma regra de três, você nem pare para pensar que está fazendo esses passos aí que eu vou comentar.
Mas, para quem tem mais dificuldade, não lembra muito bem, sempre se enrola, então, aqui eu vou passar alguns passos que facilitam para que você entenda esse processo.
Vamos lá.
Eu vou partir, então, de um problema.
Com 14 litros de tinta, nós podemos pintar 35 m² das paredes de uma casa.
Agora, eu pergunto para vocês quantos litros serão necessários para eu pintar 15 m² dessa casa.
Então, partindo desse problema inicial, dessa situação que eu tenho para resolver, o primeiro passo é organizar os dados.
Eu sugiro que você faça isso aqui, eu coloquei numa tabela para ficar organizado, visível, idático para você.
Obviamente, quando você vai fazer, você faz isso num papel, uma representação ali, um registro.
Obviamente, não precisa de uma tabela com tantos detalhes, como eu coloquei aqui, para ficar mais fácil de você enxergar.
Então, olha só.
A primeira coluna à esquerda, nós temos a área da pared.
Então, a área embaixo, vamos falar assim, a área correspondente, sempre os valores a essa área.
Então, inicialmente, eu mencionei como informação inicial que eu tinha 35 m², e para ele, veja só, o que é correspondente em quantidade de tinta são os meus 14 litros.
Agora, veja, na coluna da quantidade da área da pared, eu vou se anter 35, agora eu quero 15.
Então, correspondente aí à área da pared.
Na outra coluna, eu estava falando em quantidade de tinta, então, inicialmente, para 35, eu gastei 14 litros, e a minha pergunta agora, quantos será pros 15 m²? Usualmente, quando a gente não sabe o valor, a gente usa o x, então, que eu coloquei o x, obviamente, você pode colocar a letra que você quiser.
Bom, organizado, então, as minhas informações, eu vou para o segundo passo.
Qual é esse segundo passo? Eu já fiz, né? Então, a construção do quadro de comparação de grandezas, e eu vou ver se os dados de uma mesma grandeza sempre devem estar na mesma unidade, então, aqui.
Eu já ofereci, na minha informação inicial, que são 15 m², 35 m², 14 litros, a minha resposta será em 14 litros.
Por vezes, eu poderia estar dando, por exemplo, 15 m², e eu poderia estar falando de uma casa muito maior, e poderia estar falando de um terreno grande para fazer um mais sentido.
Então, eu poderia estar falando em quilômetros quadrados, por exemplo.
Então, eu teria que transformar os quilômetros em metros, ou os metros em quilômetros.
Eu tenho que trabalhar com a mesma unidade de medida, isso é muito importante.
O segundo passo, depois que eu organizei os meus dados numa tabela, eu vi que eles estão numa mesma unidade de medida, eu vou para esse próximo passo.
Qual é esse próximo passo? É eu olhar se eles são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais essas minhas informações.
E isso você vai fazer pensando sobre o problema, não existe uma forma matemática, de resolver isso, é a sua interpretação que vai te ajudar a decidir sobre isso.
Então, veja só, se eu olho para a área da parede, se eu tinha 35 m² inicialmente, agora eu quero 15 m².
Bom, eu estou diminuindo o meu valor em termos diária.
Bom, aí eu pergunto, se eu diminu a quantidade diária, vou precisar de mais tinta ou menos tinta.
Bom, vou precisar de menos tinta, vou pintar menos área, certo? Então, da mesma forma que a quantidade de área de minuita, também dividui para mim a quantidade de litros que eu vou usar.
Então, quando isso acontece, a gente já viu que essas são grandeses proporcionais, diretamente proporcionais.
Então, eu vou deixar dessa maneira, não vou precisar trabalhar com a inversão, nada com essas valores.
Aí, uma vez que eu já organizei os dados, já analisei se eles são diretos, inversamente proporcionais, falta só agora eu montar as frações e fazer o cálculo, ok? Então, eu tenho lá a minha área da parede, eu tinha 35 m², e agora eu vou pintar 15 m².
Eu tive uma redução, eu diminui a quantidade de área.
Aí, você paga e pensa, bom, se eu diminuir a quantidade de área, eu vou precisar de mais tinta ou de menos tinta, menos tinta, certo? Então, isso é você que vai olhar e fazer uma análise da situação.
Então, se eu diminuir a quantidade de área, eu vou também diminuir a quantidade de tinta.
Isso quer dizer que são grandeses diretamente proporcionais, ok? Bom, feito então, primeiro passo que foi organizar as informações em uma tabela, lembrando mesmo a unidade de medida, a área embaixo de área, tinta, embaixo de tinta, no nosso caso, mas as mesmas grandeses.
Bom, agora eu fiz o segundo passo que é decidir se é direto ou inversamente proporcional, e o terceiro passo que falta agora é só fazer a conta mesmo.
Então, eu estabeleço a proporção e resolva a minha operação.
Olha lá, eu posso ler de duas maneiras.
35 está para 15, a 5, o 14 está para x, aquele valor que a gente quer descobrir.
Ou, como a gente já estudou frações equivalentes, você já sabe que eu estou tratando de duas frações equivalentes, então eu também posso ler 35 sobre 15 é igual a 14 sobre x.
Já deixei até resolvido, porque essa é bem mais simples de acompanhar.
Então, olha lá, 35x, lembrando que a gente vai multiplicar o famoso multiplicar em cruz, que a gente já viu também, então 35x igual a 15 vezes 14, que vai dar 210.
Agora, para achar o x, o que eu faço? Eu vou dividir o 210 por 35, e isso dá um total de 6 litros.
Ou seja, se antes eu tinha 35 m², eu gastei 14 litros, agora que eu tenho 15 m², eu vou gastar apenas 6 litros.
Certo? Vamos agora ver um novo exemplo.
Eu tenho quatro mercineiros que fazem um armário de 18 dias.
Enquanto os dias nove mercineiros fariam um mesmo armário.
Então, vamos começar organizando os dados.
Lembrando, então, que se eu tenho um mercineiro, eu tinha quatro, e agora eu tenho nove, eles vão aparecer numa mesma coluna.
Na outra coluna, quantidade de dias, inicialmente 18, e a minha pergunta agora quanto serão, que eu vou chamar de x.
Bom, feito aí a organização dos dados na tabela, eu vou analisar a segundo passo, se é direto ou inversamente proporcional.
Vejam só, se eu tenho mais gente trabalhando, eu obviamente vou gastar menos tempo para fazer a mesma quantidade de trabalho, no caso um armário.
Isso também é algo, como eu disse, que é o leitor, que tem que interpretar esse problema.
Você, quando tiver resolver um problema, obviamente.
Então, veja, conforme eu aumento número de mercineiro, diminua a quantidade de tempo, isso quer dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais.
Como é que eu faço, então, a operação nesses casos? Eu vou manter uma fração e inverter a outra.
Então, se eu mantive lá, quatro sobre nove, vai ser igual, em vez de 18 sobre x, como a gente fez no exemplo anterior, agora eu voltei o inverso disso e ficar x sobre 18.
Ou seja, quatro está para nove, assim como x está para 18.
Agora, eu multiplico em cruz, e eu vou ter que nove x é igual a 72, e o x vai ficar, então, 72 sobre nove.
Isso quer dizer que eu vou gastar apenas nove dias.
Claro que aí tem uma questão subjetiva, a gente não sabe, se esses mercineiros trabalham exatamente o mesmo tanto, a gente está fazendo essa estimativa, considerando essa situação sem as variáveis possíveis nesse sentido.
E aí, a gente percebe mesmo que, se eu estou mais que dobrando a quantidade de pessoas, eu tenho que gastar menos na metade do tempo, certo? Essa é a ideia.
Agora, é uma regra de três compostas.
A gente viu a regra de três simples, se eu vou olhar agora para uma regra de três compostas, o que eu tenho nessa situação? Na regra de três compostas, nós temos agora sempre três ou mais grandesas envolvidas e um valor desconhecido a ser encontrado.
Então, antes a gente só tinha duas grandesas, então a gente tinha três valores e tinha que descobrir o quarto valor.
Agora, eu tenho três grandesas ou mais, poderia ser, e eu tenho que procurar um valor aí nessa situação.
De novo, vou partir de um exemplo.
Vou fazer junto com vocês esse.
Cinco tratores preparam um terreno de 20 hectares trabalhando oito horas por dia durante sete dias.
Quantas horas por dia precisam trabalhar agora se eu tiver 14 tratores para preparar? Então, eu mentei o número de tratores, mas eu também estou aumentando a quantidade de hectares.
Em vez de 20, eu fui para 54 hectares de terreno em seis dias.
Então, só eu quero mais terreno, mas eu coloquei mais, tratorço que eu quero reduzir meu tempo.
Nós vamos de novo iniciar montando uma organização dos dados.
Nunca se esqueçam que esse é o primeiro passo.
Vamos ver, então, agora, um exemplo dessa regra de três compostas.
Eu tenho cinco tratores que preparam um terreno de 20 hectares trabalhando oito horas por dia durante sete dias.
Quantas horas por dia precisam trabalhar? 14 tratores, então, vejo que eu mentei a quantidade de tratores, só que agora eu quero preparar 54 hectares.
Então, também, eu mentei a área que eu quero tratar.
De um terreno, só que agora eu quero que eles façam esse serviço em seis dias.
Então, eu estou tenho uma redução do tempo que eu quero que o serviço seja realizado, certo? Esse eu vou resolver aqui junto com vocês.
Primeiro passo, a gente já viu qual que é a organização dos dados.
Então, vamos lá.
Vou começar com tratores.
Então, qual é a quantidade de tratores? Inicialmente, eu tinha cinco, e agora vou ter 14.
Os hectares.
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Eu tinha 20, e agora eu quero 54.
Quantas horas por dia inicialmente eram oito horas, e agora eu quero que eles trabalhem x horas.
É isso que eu quero saber.
Quantas horas eles vão ter que trabalhar? E a quantidade de dias antes eram sete, e agora eu quero que reduza para seis.
Como é que eu faço agora? Já organizei quais são as minhas colunas, hectratores, hectares, horas por dia e o dia.
Agora, eu vou sempre comparar com a coluna, em que eu tenho o meu x.
Então, olha só.
Se eu aumento o número de tratores, eu posso diminuir a quantidade de horas por dia que esses tratores vão ter que trabalhar, certo? Então, conforme eu aumento aqui, aqui eu vou diminuir, certo? Então, entre os tratores e as horas por dia, eu vou ter uma situação de inversão.
Então, olha lá, eu vou colocar aqui oito sobre x.
Então, quando isso acontece, eu vou ter uma igualdade, deixo antes da igualdade, quem tem o x, a me encognita, e depois eu vou colocar os demais valores.
Se eu mantenho oito sobre x, agora eu tenho que inverter e fazer 14 sobre 5.
Vou multiplicar pelos demais.
Então, agora, vamos ver.
Se eu aumento o número de hectares, agora, vou comparar só o hectar com as horas por dia, certo? Vou até trocar aqui a cor.
Se eu aumento os hectares, eu tenho que aumentar a quantidade de horas por dia, ou eu tenho que diminuir.
Se eu aumento no meu de hectares, eu preciso trabalhar mais horas por dia para dar conta.
Então, nesse caso, eles são diretamente proporcionais.
Então, eu vou manter aqui 20 sobre 54.
E o último, vou olhar aqui para os dias, vou colocar também uma outra cor.
Bom, se eu estou diminuindo a minha quantidade de dias, eu vou precisar que eles trabalhem mais horas por dia.
Então, aqui eu vou aumentar.
Então, vejam que eu tenho que comparar cada um deles com o valor, com a coluna, a qual eu estou procurando, onde tem o meu x, digamos assim.
Então, nesse caso, aqui é a quantidade de horas por dia.
Se eu diminu a quantidade de dias, para eu se eu quiser fazer o mesmo serviço, eu teria que aumentar a quantidade de horas por dia, então, eles são inversamente proporcionais.
Então, aqui eu vou colocar o inverso 6 sobre 7.
Agora, vamos resolver.
Resolver é a nossa parte que a gente já sabe, é a multiplicação de fração, a gente já viu.
Aí, eu vou dar uma acelerada.
Então, vai ficar 8 sobre x, igual.
Já falei que é essa multiplicação toda aqui, 1.
680.
Claro que eu já fiz a conta antes, sobre 1.
890.
Então, eu vou ter que x vai ser igual.
8 vezes 1.
890.
Ou, pata, certo.
1.
890.
Isso vai dar 15.
120 dividido por 1.
680.
Isso vai ser igual a 9.
9, o que? Que que eu estou procurando? Eu volto lá e ser uma coisa muito importante.
Volta aí na coluna, para você ter certeza, o que você está procurando.
Nós estamos procurando a quantidade de horas por dia.
Então, se eu encontrei o resultado 9 no mérico, é 9 o que? Eu preciso dar essa informação na minha resposta.
Então, 9 horas por dia.
Beleza? Então, nós vamos ter uma próxima aula, para a gente resolver mais alguns problemas, porque eu sei que isso aqui não é tão simples.
E aí, a gente tem uma oportunidade de dar mais uma revisada nessas ideias.
Até a próxima aula.