O texto apresenta uma introdução às grandezas e à proporcionalidade, explicando conceitos de grandezas diretamente e inversamente proporcionais, exemplos cotidianos e situações em que grandezas não são proporcionais.
Entender a diferença entre proporcionalidade direta e inversa e saber identificar a constante de proporcionalidade em cada situação.
O conteúdo mostra que grandezas são medições que podem ser comparadas por meio de relações de proporcionalidade. Reconhecer essas relações facilita a resolução de problemas do cotidiano e a aplicação de conceitos matemáticos em diversas áreas.
Grandezas são qualquer quantidade que pode ser medida, como distância, massa, tempo e volume. Para medir, usamos unidades, e o Sistema Internacional padroniza essas unidades (metro, quilograma, litro, etc.). Quando duas grandezas mudam na mesma razão, dizemos que são diretamente proporcionais; a razão entre elas permanece constante. Por outro lado, se o produto das grandezas permanece constante, elas são inversamente proporcionais. Exemplos cotidianos incluem a quantidade de tinta necessária para pintar uma parede, o consumo de combustível em relação à distância percorrida e o tempo necessário para viajar a uma certa velocidade. Também há situações em que grandezas não têm relação proporcional, como a área e o lado de um quadrado. Esses conceitos ajudam a resolver problemas práticos e a compreender a matemática por trás do dia a dia.
O estudo das grandezas e da proporcionalidade é fundamental para a compreensão de fenômenos físicos e para a resolução de problemas práticos. Grandezas são quantidades mensuráveis, e a escolha da unidade de medida depende do contexto. A proporcionalidade direta ocorre quando duas grandezas variam na mesma razão, enquanto a proporcionalidade inversa acontece quando o produto das grandezas permanece constante. Esses conceitos são aplicados em situações como pintura de paredes, consumo de combustível, tempo de trabalho e crescimento de organismos.
Além disso, é importante distinguir os tipos de trabalhos científicos, que podem ser descritivos, exploratórios, explicativos ou aplicados, cada um com objetivos e métodos específicos. A razão é a relação entre dois números ou grandezas, enquanto a proporção é a igualdade entre duas razões. Expressões algébricas permitem representar relações matemáticas de forma compacta, e os produtos notáveis (como (a+b)², (a−b)², a²−b², a²+b², a³+b³, a³−b³) facilitam a simplificação e a resolução de equações.
Em resumo, compreender grandezas, unidades de medida, proporcionalidade direta e inversa, além de expressões algébricas e produtos notáveis, fornece uma base sólida para a aplicação da matemática em diversas áreas do conhecimento.
1. (1,50 pontos) Qual das opções abaixo representa uma relação de proporcionalidade direta?
2. (2,50 pontos) Se 3 litros de tinta cobrem 15 m², quantos litros são necessários para cobrir 50 m²?
3. (2,50 pontos) Em uma fábrica, 15 trabalhadores produzem 1200 unidades em 8 h. Se 5 trabalhadores faltarem, quantas horas os 10 restantes precisam trabalhar para produzir 1200 unidades?
4. (3,50 pontos) Duas grandezas são inversamente proporcionais. Se A = 4 quando B = 10, qual é o valor de B quando A = 6?
Olá, pessoal! Estamos juntos novamente aqui na Disciplina de Matemática Básica.
E nessa aula, nós vamos tratar de grandesas proporcionais.
E a primeira pergunta que eu faço para vocês é o que é uma grandeza.
As grandesas elas estão super presentes no nosso dia a dia, porque grandeza é tudo aquilo que eu posso medir.
E quando eu faço uma medição, eu utilizo uma unidade de medida.
Então se eu for medir uma distância, eu posso falar que eu tenho uma distância de 5 passos, de 3 metros, de 500 centímetros, eu posso usar diferentes unidades para fazer a minha medição.
Existem algumas unidades que são universais, que seguem aquele que a gente chama de sistema internacional de medidas ou sistema internacional de unidades.
O metro, por exemplo, em um determinado momento histórico, se você colocar em na internet, vocês vão ver que tem várias coisas tratando desse tema.
E um determinado momento se padronizou que aquela medida seria definida como sendo 1 metro.
E está lá no museu na França, essa primeira, então, referência daquilo que seria o nosso padrão metro.
Porque a gente usava pegadas, polegadas, peças, várias unidades diferentes que não eram, obviamente, o mesmo padrão em diferentes regiões pelo mundo todo.
O metro, por exemplo, é um grande padrão usado, universalmente.
Existem outros que também estão muito presentes no nosso dia a dia.
Então o comprimento, eu já falei, não, metro, a massa que a gente costuma usar.
Grama, o tempo, que é o segundo, capacidade, que é o litro.
E cada uma dessas referências, elas também podem ser usadas com seus múltiplos.
Então, por exemplo, se eu quero medir aqui uma distância, uma parede, um lote, isso faz sentido ao usar o metro.
Se eu estiver falando de uma distância entre uma cidade e outra, já não fica muito apropriado ao usar o metro, porque vai ter uma distância muito grande, e aí a gente vai usar um múltiplo que é o quilômetro.
E nem para as outras coisas, quando eu vou pesar uma fruta para eu comprar, usam a mente a gente pesa em quilos, quilograma.
E não necessariamente em grama, que aí a gente pesa coisas que tem um pezinho um pouco mais leve.
Neste sentido.
O tempo, a mesma coisa, tem o segundo, o minuto, a hora que são aí múltiplos desses valores.
O litro, eu posso querer uma medida muito pequena que eu vou trabalhar com contagotas, então eu posso querer mililitros e não um litro inteiro.
Bom, eu posso também tratar de um outro ponto que é uma comparação entre grandesas.
E eu posso dizer que essas duas grandesas são diretamente proporcionais.
O que acontece quando tem duas grandesas que são diretamente proporcionais? Significa que quando uma varia, a outra varia a uma mesma razão.
Isso quer dizer que o consciente entre elas vai ter uma constante que eu chamei de K.
Vamos ver um exemplo.
Eu vou pintar uma parede.
Se eu descubro que uma lata com três litros de tinta, eu consigo pintar 15 metros quadrados de parede.
Se eu quero pintar o dobro de parede, eu quero pintar 30 metros quadrados.
Eu vou precisar do dobro de tinta.
Então, em vez de uma lata de três litros, eu vou precisar de uma lata de seis litros, ou duas latas de três litros.
Certo? Uma quantidade de seis litros de tinta.
Agora, se eu quiser, em vez de 30, se eu quiser pintar 50 metros quadrados, vou ter que de novo, demandar mais uma quantidade de tinta.
Vejam que enquanto estou aumentando a quantidade de espaço de área que eu quero pintar, eu também vou aumentar a quantidade de tinta que eu vou usar.
Beleza? Se eu penso, por exemplo, aqui no preço do combustível, se eu sei que um litro custa 5 reais e 50 centavos, se eu vou colocar no meu tanque 30 litros, proporcionalmente a gente fala, eu vou gastar 165 reais.
Meu tanque estava ziruba, e ele cabe com 40 litros.
Então, nesse caso, eu vou gastar 220 reais.
Quando a gente fala hiproporcionalmente, na verdade, a gente está dizendo diretamente proporcional, porque conforme eu aumenta a quantidade de litros, eu também vou aumentar a quantidade no meu preço, no valor gasto.
Certo? Vejam agora que existem as grandeses que são inversamente proporcionais.
Nesse caso, eu vou dizer que quando uma varia, varia na proporção inversa, há uma razão inversa da outra.
Nesse caso, quando eu faço a multiplicação entre elas, eu vou dizer que eu encontro a minha constante, nesse caso, uma constante cada ano.
Vejam só.
Também um exemplo muito cotidiano, muito simples que vocês certamente vão associar muito rápido.
Se eu tenho que percorrer uma distância de 420 km, vou sair daqui e vou para uma cidade que fica 420 km, da onde estou.
Bom, se eu sigo numa velocidade de 60 km por hora, eu vou estar ali pioninho, ou porque estou de combi, dirigindo um carro mais tranquilinho, ou porque a estrada é uma única e o limite é 60 km por hora.
Enfim, eu vou a 60 por hora, eu sei que eu vou gastar aqui 7 horas para chegar no meu destino.
Bom, se eu der uma acelerada, minha velocidade agora for de 70 km por hora, vejam que estou aumentando a minha velocidade, só que eu vou gastar menos tempo para fazer esse mesmo percurso.
Se eu for acelerar mais ainda e andar a 100 km por hora, eu certamente vou gastar menos tempo ainda, ou seja, quanto maior a velocidade, menor é o tempo que eu gasto.
Isso é o que a gente chama de inversamente proporcional, quanto mais eu aumento a velocidade, menos tempo eu vou demorar para chegar no meu destino.
Beleza? Então, aqui existe, deixa eu que para vocês acompanhar, de onde eu tirei esses valores.
Então, vejam, se eu quero encontrar, eu partido 60 km em 7 horas, eu fiz aqui uma relação também com supondo que eu não sei, um dos valores, e eu fui descobrindo.
Então, x seria 7 para eu fazer essa velocidade seguir esse percurso de 420 km, depois eu cheguei no 6, e vejam que nos três casos, quando eu faço 60 vezes 7, quando eu faço 70 vezes 6, ou 100 vezes 4,2, eu sempre chego nos 420 km, que é a distância total que eu disse que eu quero percorrer.
Beleza? Agora, vamos ver um caso em que nós temos duas grandezas que não são proporcionais.
Observe aqui, eu tenho dois quadrados, embora não esteja aqui, nem um símbolo, mas estou contando para vocês, são dois quadrados.
Um quadrado de lado 3, e um quadrado de lado 6.
O que eu tenho aqui? Por exemplo, que exerço o perímetro.
Aqui também seria 3, 3, e 3.
O perímetro aqui seria 12.
Agora, aqui eu teria 6, 6, 6, 6, centímetros, né? Obvio, então 4 vezes 6, 24 centímetros.
Então, não tem que.
.
.
O lado 3 para 6, eu dobrei a medida do meu lado.
O perímetro, eu sai de 12 para 24, eu também dobrei a medida do meu perímetro.
Mas note-em que, quando eu faço o cálculo da área desses quadrados, eu vou obter 3 vezes 3, 9, 6 vezes 6, 36.
Note-em que agora eu não tenho o dobro.
Tá certo? Eu não tenho 9 e 18.
Então, vejam que não há uma proporção entre a área e a medida do lado desse quadrado.
E eu não estou dizendo diretamente ou inversamente.
Eu estou dizendo que não tem mesmo nem diretamente, nem inversamente.
Beleza? Enquanto eu aumento a área do meu quadrado, eu vou ter aumentado a medida do meu lado, mas não na mesma proporção.
Então, elas não são grandesas proporcionais.
Vamos agora pensar num exemplo aqui em que eu tenho um terreno, que eu quero utilizar como garagem, ele tem a forma de um retângulo.
Cuja de agonal mede 20 metros.
O outro que era incêntimetro, as dimensões desse terreno em metros são proporcionais a 3 e 4, qual é a medida em metros do perímetro desse terreno? Bom, vou fazer aqui um esboço.
Eu tenho aqui um retângulo.
Quando eu faço o diagonal e digo que esse aqui tem 20, eu vou pensar bom.
O outro é proporcionar a 3 e a 4.
Uma opção que eu tenho é que aqui seja 12, metros no caso, e 16 metros.
Esse, então, vai ser a mesma razão, que é 4, 4 vezes 3, da 12 e 4 vezes 4, que deu 16.
Bom, agora eu quero saber qual é o perímetro desse terreno.
Aqui é 16, desse lado também vai ser 16, aqui é 12, e aqui também vai ser 12.
Então, vou somar 16 mais 16 mais 12, mais 12, isso vai dar 32 mais 24, e isso vai ser igual a 56 metros.
Eu estou querendo, estou encantada com centímetros.
56 metros, ok? Agora, um outro exemplo.
Uma fábrica de semi-joias tem 15 pessoas trabalhando 8 horas por dia.
Nesse ritmo, eles vão produzir 1200 unidades por dia.
Em um dia típico, 5 de seus funcionários faltaram.
Se eles querem continuar produzindo a mesma quantidade de peças, quantas horas esses 10 funcionários que foram, então, trabalhar, teriam que trabalhar nesse dia para a compra, então, a mesma demanda, certo? De 1200 unidades por dia.
Veja o que a quantidade de pessoas de 15 caiu para 10.
A quantidade de pessoas trabalhando, certo? E o tempo foi de 8 horas no dia, né? Agora, eu quero saber quantas horas eu teria que esse grupo, de pessoas teria que trabalhar para a compra essa mesma demanda.
Observem que nesse caso, eu estou.
Aqui vocês podem ver se vocês fussarem na internet, materiais, diversos livros, vocês vão ver alguns símbolos, né? Então, aqui, por exemplo, a gente costuma indicar assim.
Eu costumo usar assim, ó, de 15.
Eu agora tenho 10.
Eu estou diminuindo a quantidade de pessoas trabalhando.
Isso demanda que essas pessoas trabalhem mais tempo.
Então, conforme em um diminuir, o outro vai aumentar.
Então, vejo que isso é porque as grandezas são inversamente proporcionais.
Muito bem.
E aí, para resolver essa conta que eu faço, eu vou lá.
Se eu mantenho o começo pelo 15 sobre 10, eu vou trocar e fazer x sobre 8.
Se fosse diretamente proporcionais, a gente manteria as duas frações.
Como são inversamente proporcionais, a gente troca uma delas.
Isso quer dizer que 10 x vai ser igual a 120.
E, portanto, vou chegar em 12 horas por dia.
Então, se eu quiser manter a mesma quantidade de peças, com cinco funcionários a menos, eu vou precisar que esses funcionários trabalhem em amaz e trabalhem, então, 12 horas por dia.
Você tinha? E o último, vamos olhar para esse exemplo aqui.
Em cada situação, classifica as grandezas em direitamente proporcionais inversamente proporcionais ou não proporcionais.
Então, para pintar uma grande parede, quatro pessoas precisam de 8 horas.
Se eu tiver 8 pessoas, eu vou precisar de 4 horas.
Então, vejam que quanto mais pessoas é a mesma situação que eu estava vendo.
Quanto mais pessoas, eu vou precisar de menos tempo.
Então, é uma situação de grandeza e inversamente proporcional.
Agora, um carro gastou um litro de combustível para percorrer 9 km.
Quatro litros para percorrer, 36 km.
Então, se eu aumento a quantidade de litros, eu vou ir pro oporcionalmente, eu aumento a quantidade de quilômetros que eu consigo percorrer.
Então, é uma grandeza, pro oporionalmente, direitamente proporcional, desculpe a outra.
Certo? Agora o exo cresceu seis centímetros nos primeiros seis anos de 2022.
E no ano todo, ele cresceu dez centímetros.
Vamos ver, que no primeiro seis meses, ele cresceu seis.
Se ele cresceu dez no ano, porque no segundo semestre ele cresceu quatro.
Na mesma quantidade de tempo.
Por quê? Porque o nosso crescimento à altura não é proporcional ao tempo.
Então, vai ter período que a gente cresce bastante, tem períodos que a gente cresce menos, tem períodos que a gente para de crescer.
Então, essas duas grandesas não são nem diretamente, versamente proporcionales.
Elas não são proporcionales.
E o último exemplo aí, uma camiseta custa de R$ 17,00.
Ah, era R$ 27,00, desculpe.
Aqui, R$ 27,00.
Quatro camisetas vão custar R$ 108,00.
Então, nesse caso, nós temos que essa grandeza é diretamente proporcional.
Claro que se eu comprar 50 camisetas, eu consigo fazer uma negociação e chego num preço melhor.
Mas, a princípio, cada camiseta tem um valor único, fechado.
E aí, se eu compro quatro, eu vou fazer esse valor vezes quatro, cinco, vezes cinco, e assim vai.
Muito bem, pessoal, essa semana é a nossa última aula.
E a gente se vê na próxima semana começando com o Regro de três.
Até lá!