Do que se trata o conteúdo? O material aborda os conceitos de razão e proporção, mostrando como identificar e resolver problemas que envolvem esses temas em situações do cotidiano, como perímetros, pesos, números de funcionários e distribuição de valores.
Principais assuntos:
Ponto de maior atenção – a ordem dos termos na razão (numerador e denominador) é crucial; trocar a ordem altera o resultado.
Conclusão – dominar razão e proporção permite resolver problemas de comparação e distribuição de forma sistemática e precisa.
O vídeo apresenta exemplos de como resolver equações de razão e proporção, mostrando que, independentemente de onde a incógnita esteja posicionada (numerador, denominador, extremo ou meio), basta multiplicar os extremos e igualar ao produto dos meios. Em seguida, são aplicados esses conceitos a situações reais: perímetros de retângulos, pesos líquidos e brutos, números de funcionários em diferentes níveis de escolaridade e a distribuição de um montante financeiro entre setores de uma fábrica, sempre enfatizando a importância da ordem correta dos termos na razão.
O conteúdo aborda, de forma integrada, os conceitos de razão e proporção, bem como a aplicação desses conceitos em situações práticas. A seguir, detalhamos cada tópico:
Embora o vídeo não trate diretamente de trabalhos científicos, a lógica de comparação e proporção pode ser aplicada na elaboração de estudos que envolvam análise de dados, comparação de grupos e distribuição de recursos.
Razão é a relação entre duas grandezas expressa como fração ou decimal. Proporcionalidade ocorre quando duas razões são iguais, permitindo a comparação direta entre diferentes pares de valores.
Razão: a / b. Proporção: a / b = c / d. Para resolver proporções, multiplicamos os extremos (a × d) e os meios (b × c) e igualamos.
Embora não sejam explorados em profundidade no vídeo, expressões algébricas podem representar razões (por exemplo, (x + 2) / (x – 3)) e os produtos notáveis (como (a + b)² = a² + 2ab + b²) ajudam a simplificar cálculos envolvendo proporções.
Expressões algébricas permitem generalizar razões e proporções, enquanto os produtos notáveis facilitam a expansão e fatoração de termos, sendo úteis em problemas mais avançados de proporcionalidade.
1. (1,50 pontos) Dados os retângulos:
- Retângulo A com 5cm e 10cm nos seus lados;
- Retângulo B com 9cm e 16cm nos seus lados.
Qual é a razão entre os perímetros dos retângulos A e B?
2. (2,50 pontos) Se a razão entre o peso líquido e o peso bruto de uma mercadoria é 8:9, qual é a fração que representa essa razão?
3. (2,50 pontos) Em uma empresa, a razão entre o número de funcionários com ensino médio e o número de funcionários com ensino superior é 13:4. Qual é a fração do total de funcionários que representam os funcionários com ensino superior?
4. (3,50 pontos) A distribuição de 360 mil reais entre os setores A, B e C é proporcional ao número de funcionários, sendo A 20 % a mais que B e C 20 % a menos que B. Quanto o setor A receberá?
Olá, pessoal! Na aula anterior, nós exploramos o conceito de razão e também o conceito de proporção.
Ração em proporção caminham muito próximas, como nós, inclusive, já vimos.
Agora, o que nós vamos fazer? Vamos resolver alguns exercícios para verificar como está o nosso entendimento desse conteúdo.
Eu coloquei os exercícios misturados de razão e proporção para que você possa identificar que tipo de exercício é e o que seria interessante que a gente já tivesse como habilidade.
Vamos colocar aqui o primeiro.
Esse fica fácil porque o próprio anunciado já nos diz.
Encontre o valor de x na seguinte proporções.
Bom, então eu tenho dois sextos, igual a 9 sobre x.
Com a gente já viu, eu vou multiplicar os extremos e faço isso igual à multiplicação dos meios.
Então, eu vou ter 2x, igual a 6 vezes 9, e nós vamos obter, então, que 2x é igual a 54, e x vai ser 54 sobre 2, que é 27.
Mais um, um terço igual a x sobre 12.
De novo, um vezes 12, que a gente sabe que é 12, igual a 3x.
Nesse caso, para encontrar o x, eu vou dividir 12 por 3 e vou obter como resultado o 4.
x sobre 10 vai ser igual a 6 quintos.
Nesse caso, eu vou ter que 5x é igual a 60, e encontro x no cálculo de 60 dividido por 5, que é 12.
E o último, 8 sobre x é igual a 2 sobre 15.
Então, 8 vezes 15, eu vou ter 120, e vai ser igual a 2x.
E o x, portanto, é 120 dividido por 2, que é 60.
Note que eu coloquei em quatro exemplos o x em cada uma das posições possíveis do aquilo que a gente viu sobre a vezes b, igual a c vezes d.
Então, uma hora x estava no a, outra hora x estava no b, outra hora no c e outra no d.
Veja que isso não dificulta o nosso problema.
Nós temos a operação do mesmo tipo.
Para facilitar, a gente multiplica os extremos e faz disso uma igualdade com a multiplicação dos meios.
Bom, agora vamos para alguns probleminhas.
As dimensões de um retângulo a são 5 e 10 centímetros.
Enquanto as dimensões de um retângulo b são 9 e 16 centímetros.
Qual é a razão entre os perímetros dos retângulos a e b? Veja que normalmente a pergunta já nos dá a dica.
No anterior, já mencionava a proporção.
Nesse já menciona qual é a razão.
Então, vamos lá.
O perímetro, a gente sabe que é informalmente a soma do chamado contorno do meu retângulo, certo? Então, eu vou somar 2 vezes o 5, que são os dois lados menores, mas 2 vezes o 10, que são os meus lados maiores do retângulo a.
Então, 2 e 5 mais 2 vezes 10.
E eu terei como perímetro 30 centímetros no meu retângulo a.
No retângulo b, que é um pouco maior, eu vou ter 2 vezes 9, que é um ponto de uma vez mais 2 vezes 16.
Fazendo a conta, eu vou obter um perímetro de 50 centímetros.
Sendo assim, quando eu procuro a razão de a para b, note que foi essa a ordem da pergunta, a razão entre a e b, então, no numerador, eu põe o a.
E no denominador, eu põe o b.
Ob serve que a ordem faz toda a diferença.
A minha razão vai ser 30 sobre 50.
E eu posso simplificar, pois, usualmente, nos parece mais natural, mas o intuitivo que é pensar em 3,5.
Enquanto 1 tem 3, o outro tem 5.
É uma razão que eu consigo enxergar com mais facilidade.
Muito bem, vamos para o próximo.
Uma mercadoria foi adicionada em uma embalagem de papelão que possui 400 gramas de peso líquido e 450 gramas de peso bruto.
Qual é a razão entre o peso líquido e o peso bruto? Bom, de novo, a ordem, né? Líquido e bruto, então, 400 sobre 450.
Posso simplificar e falar 40 por 45.
Ou posso simplificar ainda e a fração irredutível que eu vou obter.
É 8 sobre 9, mais 1.
Em uma empresa, a razão entre o número de funcionários com a escolaridade de ensino médio e o número de funcionários com ensino superior é de 13 para 4.
Note que aqui, o numerador é maior do que o denominador.
E tudo bem.
O que eu quero dizer é que tem 13 funcionários de ensino médio, enquanto eu tenho esse grupo aí numa razão para cada 13 de ensino médio, eu vou ter 4 que têm ensinos superior.
Qual é a fração do total de funcionários que representam os funcionários com ensinos superior? Bom, é para ser simples.
O segredo aqui é enxergar o que nós precisamos fazer com as informações que nós temos enunciado.
Coloquei aqui 13 sobre 4.
Então, ensino médio 13, ensino superior 4, eu quero saber qual é a razão do ensino superior com o total.
Então, eu vou colocar o 4 que é o ensino superior e o total seria quem? Eu vou juntar o 4 do superior com 13 do médio, então a minha razão vai ficar 4 sobre 17.
No exercício 5, vou trazer um contexto que diz o seguinte.
Em janeiro do ano de 2023, trabalhava no setor administrativo de uma empresa 36 funcionários.
Desse total, um sobredose pediu demissão e já não está mais da empresa.
Vou tirar esse grupo para saber quanto tem hoje que eu já sei que tenho que tirar um sobredose de 36.
Entre os funcionários que permaneceram nesse setor, 3 sobre 11, foram transferidos para outros setores.
Note que aqui é 3 sobre 11 dos que permaneceram no setor.
Não é dos 36 que eu tinha inicialmente, ok? Em relação a funcionários que trabalhavam no setor administrativo lá em janeiro.
Aqueles que permanecem nesse setor correspondem a quanto? Qual é a razão que eu vou obter? Vamos ver.
Um sobredose de 36 que foram aqueles que pediram demissão.
Eu vou obter fazendo a multiplicação 1 sobre 12 vezes 36.
E isso vai dar 3.
Então eu tenho 3 funcionários que pediram demissão.
Sendo assim, eu fiquei com 33.
Show.
Depois que eu fiquei com 33, a gente viu que 3 sobre 11 foram transferidos.
Então, como eu tinha ressaltado, eu tenho 3 sobre 11 de quem ficou.
Então, não é do 36 inicial, mas se induz 33 depois da saída daqueles 3 funcionários.
Então, 3 sobre 11 de 33.
Eu vou fazer a multiplicação.
Posso simplificar 33 por 11.
E já vou obter 3.
E aí, 3 vezes 3.
9.
Então, note que, se eu tinha 33, e vou tirar mais uma quantidade de 9 funcionários que eu estou transferindo de setor, eu vou ficar com 24 funcionários nesse setor.
Como eu estou fazendo uma comparação entre o momento atual e a situação lá em janeiro, eu vou ter 24 sobre 36.
Se eu quiser simplificar, como eu disse anteriormente, enxergar de uma forma mais intuitiva, eu vou ver que hoje permanece na equipe do setor administrativo apenas 2.
3 dos funcionários que estavam lá em janeiro.
E o último exercício, a quantia de 360 mil reais, deverá ser repassada 3 setores de uma fábrica, o A, o B e o setor C.
A distribuição será em partes diretamente proporcionais às quantidades de funcionários de cada setor.
Sabe-se que o setor A tem 20% a mais que os funcionários do setor B.
E o setor C tem 20% a menos que o setor B.
Neste caso, quanto o setor A vai receber? Então, a gente sabe que o A vai ser 1,2 de B.
O que é 1,2? Dá para fazer uma sucessão.
Nós teremos na sequência uma aula específica de porcentagem.
Mas vamos retomar algo que você talvez já se lembre.
Se não, vou fazer uma observação aqui, mas fique tranquilo que mais para frente nós teremos maiores detalhes desse tipo de situação com a porcentagem.
Quando eu tenho o valor inteiro, esse valor é 100%.
Quando eu falo que ele recebeu 20% a mais, então seria 100%, mais 20%.
Portanto, 120%.
E o que vai acontecer? O C, ele vai ser 20% a menos que o meu B.
Eu estou chamando de 100%, que é o que o A e o C estão sendo comparados.
Então, o A vai ser 20% a mais, portanto, 120%.
E o C vai ser 20% a menos, portanto, 80%.
Então, se a gente juntar tudo, eu posso escrever isso na forma desse mal.
Foi isso que eu fiz.
Eu dividi 100% e 20%.
Ou seja, 120% eu faço essa divisão e eu vou obter 1,2.
E tem para o C, que é 80%, então 80% que representado na forma decimal, 0,8.
Então, eu vou somar.
Vou chamar de X essa quantidade do B, que o B vai receber.
Então, B vai receber X, o A vai receber 1,2 dessa quantia, ou seja, 1,2x, e o C vai receber 0,8x.
Se eu juntar todo mundo, eu vou obter 3x.
Ou seja, se eu juntar o que cada um dos setores recebeu, vai ser um total de 360 mil.
Então, eu tenho que 3x é igual 360 mil.
E X vai ser então 120 mil.
Como a pergunta foi com relação ao setor A, eu vou fazer apenas a conta que foi, então, solicitado.
Que vai ser 1,2x.
Mas o meu X é 120 mil.
Então, vai ser 1,2 vezes 120 mil, que vai dar 144 mil.
Belezinha, temos aí alguns exemplos em que a gente consegue identificar o uso da razão e da proporção.
Até a próxima aula.