O material aborda os conceitos de razão e proporção, explicando suas definições, propriedades e aplicações práticas. São apresentados exemplos cotidianos como escalas de mapas, velocidade média, densidade populacional e maquetes, além de exercícios que envolvem cruzamento de proporções e resolução de incógnitas.
É fundamental manter as unidades de medida consistentes ao comparar razões e ao resolver proporções. Além disso, a correta aplicação da regra do produto cruzado garante a resolução correta de incógnitas.
Razão e proporção são ferramentas matemáticas essenciais que permeiam o cotidiano. Compreender seus fundamentos e propriedades permite resolver problemas práticos de forma rápida e precisa.
O texto apresenta os conceitos de razão e proporção, explicando que a razão é a relação entre dois números (a/b) e que a proporção é a igualdade entre duas razões (a/b = c/d). São mostrados exemplos do dia a dia, como escalas de mapas, velocidade média e densidade populacional, além de exercícios que envolvem cruzamento de proporções e resolução de incógnitas. Também são discutidas propriedades importantes, como o produto dos extremos igual ao produto dos meios, e técnicas de soma e subtração de razões. O objetivo é mostrar que esses conceitos são fundamentais e amplamente utilizados, mesmo que muitas vezes não percebamos.
O estudo de razão e proporção é parte integrante da matemática básica e tem aplicações em diversas áreas do conhecimento. Para compreender esses conceitos, é útil distinguir os tipos de trabalhos científicos, que podem ser experimentais, observacionais ou teóricos, cada um utilizando dados e métodos diferentes para validar hipóteses.
Uma razão é a comparação entre dois números, expressa como a fração a/b. A proporcionalidade surge quando duas razões são iguais, ou seja, a/b = c/d. Quando isso acontece, dizemos que a e d são extremos e b e c são meios da proporção.
Além da definição, as proporções possuem propriedades úteis: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios (a·d = b·c). Essa propriedade permite resolver incógnitas em proporções, como encontrar x em 6/24 = 5/x. Também é possível somar ou subtrair razões, mantendo a igualdade, o que amplia as possibilidades de manipulação de proporções.
Expressões algébricas são combinações de variáveis, constantes e operações. Os produtos notáveis são identidades que simplificam multiplicações, como:
Essas identidades são fundamentais para resolver equações, simplificar frações e analisar relações entre grandezas. No contexto de razão e proporção, elas permitem transformar expressões complexas em formas mais manejáveis, facilitando a comparação e a resolução de problemas.
Apenas de volta.
Olá pessoal, estamos de volta.
Trabalhando agora com dois conceitos que são fundamentais na matemática.
Fundamentais ao longo de toda a sua trajetória.
Com certeza você vai usar isso em diferentes momentos.
Quer que seja o curso que você escolheu? Espero que não sejam conceitos novos.
Vocês vão falar, eu já fazia isso, só não sabia que nome sutilia.
Mas fiquem atentos.
De repente algum detalhe, alguma coisa que você nunca percebeu.
Pode adicionar ao seu repertório de conhecimento sobre razão e proporção.
Vamos começar lembrando o que é razão? Esses dois conceitos, eles muitas vezes se misturam.
Como eu disse, na verdade, a gente usa, sabe, os nomes.
Então não tem muito problema.
Mas aqui, obviamente, a gente vai diferenciar e destacar algumas coisas de cada um deles.
Então, razão.
Sendo dois números, aib, esses números sendo números reais, e não me convém usar o b igual a zero, porque eu vou falar de uma fração, o denominador não pode ser zero, por isso, então, eu vou considerar que o b é diferente de zero, e eu vou chamar de razão entre aib, ou razão de a para b, quando eu tenho, como eu disse, uma fração consciente que é a sobre b.
Ou eu posso representar de outra forma, a a dividido por b.
O que é, então, rubiam uma razão.
Razão é uma comparação entre duas grandesas, comparação da primeira com a segunda, por isso que eu falo, a razão de a para b.
Algumas razões estão presentes no nosso cotidiano, e, como eu disse, você talvez nunca nem tenha percebido que você está usando.
Então, por exemplo, uma escala.
A gente vê escalas.
Hoje, a gente usa menos, assim, um mapa no nosso deslocamento, a gente tem aplicativos, recursos e tal, mas, a gente, muitas vezes, quer olhar, por exemplo, um mapa e ter uma noção de quanto eu vou andar, qual é o percorreto? Fica meio repetitivo, mas está certo.
Vamos lá.
A escala, nada mais, então, do que eu comprimento do desenho que eu tenho sobre o comprimento real.
Então, claro, se no meu mapa eu tenho ali um centímetro, dois centímetros de distância que eu vou deslocar, quanto isso representa no meu gráfico ali que eu estou no meu mapa, no caso, que eu estou comparando.
Então, vai ser essa escala que a gente avisa, nessa seta aí para indicar, muitas vezes já vem, dito qual que é a escala, portanto, você consegue ali ter uma noção do quanto está, no caso, aqui reduzido a representação da distância que eu vou percorrer.
Outra comum é a velocidade média.
Então, todo mundo que dirige, todo mundo que tem esse, às vezes até o passageiro também, está acostumado, vai falar, fica tento, você está passando a velocidade.
Quando a gente fala dessa velocidade, é, de fato, a velocidade média que a gente está fazendo, então, uma distância percorrida em um determinado tempo que eu gasto para fazer percorrer essa distância.
Então, essa também é uma razão que a gente costuma ver no nosso dia a dia.
Ah, esse gráfico, esse desenho aqui, ele é justamente para representar, o caso em que a gente tem radares, por exemplo, é isso que ele faz, num curto trecho, ele consegue fazer essa comparação aí da distância percorrida e o tempo que se gastou para esse percurso, para essa distância.
Outra razão que a gente vê cotidionamente é uma densidade demográfica.
Então, um número de habitantes numa determinada área, numa determinada região que eu tenho ali, qualquer área que essas pessoas estão ocupando e essa densidade demográfica de algum lugar que eu também posso estar querendo analisar.
Vamos ver alguns exemplos, alguns exercícios que eu posso fazer a partir desse conceito.
Então, sabendo que um terreno possui 50 metros de comprimento e sua representação em um desenho é de 20 centímetros apenas.
Encontre a escala deste desenho.
Então, você vai ver, por exemplo, uma planta, algo assim, para poder fazer uma análise.
E aí, você vê que eu preciso fazer uma comparação entre o que, de fato, é a medida do terreno com aquela representação na escala.
Muita atenção aqui.
Caso você não tenha feito essa observação anteriormente, eu vou destacar agora.
Eu sempre tenho que ter a mesma unidade de medida.
Então, se eu tenho 50 metros, eu não posso comparar com 20 centímetros, porque eu não estou na mesma unidade de medida.
A primeira coisa que eu tenho que fazer é transformar uma delas, ou os 20 centímetros em metros, ou os 50 metros em centímetros.
Transformar os 50 metros em centímetros é mais familiar para não ter que trabalhar com tantas casas desses mais.
Então, 50 metros equivale a 5.
000 centímetros.
Lembrando que cada metro são 100 centímetros.
A escala vai ficar de 20 centímetros para cada 5.
000 centímetros do terreno.
Então, posso simplificar, dividir por 10, depois dividir por 2, ficou 1 para 250.
Ou seja, para cada 1 centímetro que eu tenho na representação do desenho, eu tenho 250 centímetros, 2 metros e meio, na linha situação real.
Vamos ver mais um exemplo.
Em uma cidade de 220 km², ela possui uma população de 20.
100 habitantes.
A pergunta é, qual é a densidade populacional desta pequena cidade? A gente tem poucos moradores, é uma cidade interior, provavelmente.
A densidade populacional, a gente sabe ali que ela é calculada pela razão entre o número de habitantes e a área da cidade.
Então, nesse caso, 20.
100 por 220.
O que equivale aí há mais ou menos 91 habitantes para cada quilômetro quadrado da cidade? Bom, isso que a gente viu era, então, razão.
Agora, a gente vai falar de proporção.
Que que é proporção? Proporção nada mais é do que a igualdade entre duas razões.
Então, eu tenho nesse caso, se eu estou comparando duas razões, que a gente viu que elas são representadas por frações.
Então, eu vou ter que uma fração vai ser igual a outra fração.
Desse modo, eu vou ter quatro informações, né? Numerador de nominador, numerador de nominador.
Um desses quatro valores, eu desconheço.
E é ele que eu estou em busca.
É ele que eu quero procurar, ele que eu quero saber quanto é.
Então, olha lá, quatro números reais à ABCD, que são representas tomados nesta ordem, formam a seguinte proporção.
Representadas, então, como a gente viu por A sobre B, igual a C sobre D, ou A dividido por B, igual a C dividido por D.
Note que aí, na verdade, como eu estou falando de números reais, não vou entrar em toda essa discussão aqui, tá? Mas a gente já viu lá nos conjuntos, só lembrando que quando eu estou falando dessa comparação, eu posso trabalhar com números reais, porque, de fato, essas razões não representam necessariamente números racionais.
Tá? Só um link lá com a nossa primeira e segunda semanas que a gente fez essa discussão.
Então, a gente leia aqui, ó, A está para B, assim como C está para D.
Essa igualdade, né, a gente fala assim como, né? Claro que eu posso usar a palavra igual, mas, usualmente, a gente falar está para B, assim como C está para D.
Então, vejam que A, B, C e U, D, a gente tem como esses termos da nossa proporção.
A gente costuma dizer que A e U, D, são, então, os nossos extremos dessa comparação e O, B, C, a gente costuma falar que são os meios.
Precisa guardar esses nomes, rube, não, não precisa guardar.
É só porque a gente costuma, usualmente, informa-o-mente, inclusive, falar, Ah, quando, como é que eu faço essa conta? Ah, eu multiplico os extremos e faço uma igualdade com a multiplicação dos meios.
Então, é só para, caso você tenha ouvido, ou caso você gosta, né, passe a falar dessa maneira.
Então, para saber quem são esses extremos e quem são esses meios, né? Então, A e D são extremos, B e C os meios.
E aí nós temos algumas propriedades que elas são fundamentais quando eu falo das proporções.
De novo, talvez você até já utiliza em seu dia a dia sem nem saber que isso são consideradas, então, propriedades.
Não tem problema.
De novo, aqui, nessa disciplina, a gente forma a lisa, trata de algumas coisas que talvez você não se lembre.
Eu nunca paro para olhar sobre essa perspectiva, mas conceitual, né? Então, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, e vice-versa, lembrando que essa é uma escrita informal, ok? Então, A vezes D vai ser igual a B vezes C.
Como eu disse, você provavelmente já faz isso, só não tinha parado para escrever, né, para ler isso, mas eu não tenho modo mais formalizado ali numa representação que explique essas coisas, né? Se faz, porque já é natural para você.
Tranquilo.
Temos aqui dois exemplos.
6 está para 11, assim como 12 está para 22.
Então, note que nesse caso aí eu nem coloquei ainda o número que eu estou procurando, porque eu só estou querendo ilustrar para vocês que essa propriedade é válida.
Então, eu vou multiplicar os extremos, 6 vezes 22.
E vou dizer que isso é igual à multiplicação dos meios, então isso é igual a 11 vezes 12.
Se eu faço essa multiplicação na minha igualdade, aí eu vou ver que realmente 132 é igual a 132.
Portanto, essas duas multiplicações de fato se igualam.
Então, essa propriedade fica aqui ilustrada como eu disse.
Bom, 6 sobre 24 é igual a 5 sobre x.
Bom, agora eu não te dei as quatro informações.
Eu te dei 3 e você tem que procurar essa quarta informação que, como sempre a gente costuma representar por x.
Então, agora vou multiplicar os extremos, 6 vezes x, 6x, igual à multiplicação dos meios 24 vezes 5.
Então, 6x vai ser 120, 24 vezes 5.
E o x, então, vai ser o 120 por 6 e eu vou encontrar que x é 20.
Muito bem.
Vamos ver agora um caso em que eu tenha essa razão não necessariamente como um único lugar em que eu não sei a informação.
Eu vou comparar uma razão com a outra, só que, em vez de eu te dar um número qualquer e um x, eu vou fazer ali já uma comparação com relação ao meu x.
O que isso quer dizer? Eu tinha um valor e acrescentei 2.
Eu tinha um valor no denominador ali, dessa fração representada por x menos 2, ou seja, um valor que eu tirei 2.
Então, vai ficar extremos, x mais 1 vezes 2, meios, x menos 2 vezes 1, vezes 1 é ele mesmo.
Então, eu deixei os x menos 2.
Agora, não esqueçam que esse 2 multiplica todo o x mais 1.
Então, eu vou ficar com 2x mais 2.
E isso é igual a x menos 2.
Agora, eu vou deixar o x de um lado, que não tem x do outro, como a gente costuma dizer, e encontro que o valor do meu x é, então, menos 4.
A altura da maquete de 1 é difícil, é 80 centímetros.
Então, agora, eu tenho uma maquete, certo? Nessa maquete, eu fiz um edifício que representa, obviamente, um edifício real.
De novo, nós estamos fazendo, trabalhando com a ideia de representação de algo menor, relativo a algo maior.
Qual é a altura do prédio, então, que essa maquete está representando, sabendo que a sua escala é de 1 para 40, ou seja, para cada 1 centímetro ali da minha maquete, eu faço essa proporção lá na minha altura real do edifício.
Então, olha só, se eu tenho 1 para 40, essa é a minha escala, eu vou ter 80 centímetros para quanto? Essa é a pergunta.
De novo, multiplicos extremos, então, estes extremos, nesse caso, uma vez x que eu estou procurando, o valor que estou tentando encontrar, isso vai ser igual a 40 vezes 80, que já vai me dar o resultado final.
Então, nesse caso, 3.
200 centímetros.
Como a gente não costuma dizer, 3.
200 centímetros e altura de um prédio, de um edifício, a gente transforma isso em metro, que nos parece mais familiar, e eu consigo ter uma noção melhor, quando eu digo que esse prédio, esse edifício, tem uma altura de 32 metros.
Ok? Algumas outras propriedades que você pode enxergar aí, eu penso que talvez você também já use, fica aqui registrado para você ir olhando com cuidado, caso você queira rever, né? Veja o que eu posso, somar.
Então, no de cima, nesse primeiro exemplo, eu fiz uma soma.
Então, veja, aqui eu tinha a sobre b igual a c sobre d.
Então, agora, eu sou meio a sobre b sobre a.
Ou eu posso fazer também a sobre b sobre b.
Se o que eu fiz desse lado, da minha igualdade, eu vou fazer do outro.
Então, se eu soumei a com b, do outro lado, eu vou somar c com d.
Do mesmo jeito que ficou aqui sobre a, aqui também vai ficar sobre c.
Então, eu posso fazer isso somando com b.
Eu posso fazer isso subtraindo.
Veja o que aí embaixo eu fiz a mesma ideia, só que agora eu fiz somando o a com c e o b com d.
Certo? Assim como eu comparei com a b, eu posso comparar com c, já que eles são iguais.
Que eu fiz na adição, posso fazer também na subtração.
Eu tenho aqui um exercício para a gente ver rapidinho.
Olha só, para pintar uma parede, o fábio deve misturar uma tinta branca com uma tinta azul, na razão de 5 para 3.
Sabendo que ele vai utilizar 24 litros dessa mistura, quantos litros de cada cor são necessários? Então, veja que se são 24 litros, eu chamei ali de a, o azul, b.
A branca já escolhi aí para fazer sentido rápido a associação de vocês.
Então, o azul com o branco vai ser 24.
E a razão é b sobre a e vai ser 5 sobre 3.
Eu vou usar mais branco do que o azul, né? Então, 5 sobre 3.
Veja o que eu posso encontrar então, como eu parti de uma representação de um b com a, não adiante eu querer fazer direto, que eu não tenho essa informação direta.
Por isso que você vai falar mais porque você me passou esse monte de frações, aí é porque às vezes eu tenho essa situação, a mais b que é 24.
Então, a mais b 24.
Aí, eu comparei com o b que é 5.
E aí, eu consigo encontrar o valor do meu b que é 15.
Então, se eu tenho 15 litros da cor branca, e eu sei que eu vou ter 24 no total, eu consigo encontrar que a cor azul são 9 litros.
Certo, hein? Muito bem.
Então, fechamos essa aula, lembrando que aqui a gente explorou razão e proporção, que são conceitos aí do seu cotidiano, e, de repente, sem nem sabia que tinha esse nome, e fiquem atentos aí a esses detalhes que a gente foi identificando, chamando, atenção, né? Destacando ao decorrer dos exercícios, tá bom? Nos vemos na próxima aula.