O texto apresenta uma introdução à resolução de expressões numéricas, abordando a ordem de operações, a importância dos símbolos gráficos (parênteses, chaves e colchetes) e a manipulação de frações, potências, raízes e polinômios. Ele também destaca erros comuns na simplificação de frações e reforça a necessidade de seguir a hierarquia correta das operações.
O ponto crítico é a correta aplicação da ordem de operações, especialmente quando símbolos gráficos estão presentes. Erros comuns incluem simplificar frações antes de somar ou subtrair, e confundir a prioridade entre multiplicação/divisão e adição/subtração.
Ao dominar a hierarquia das operações e a manipulação correta de frações e potências, o estudante consegue resolver expressões numéricas complexas de forma consistente e evitar erros frequentes.
O material ensina que, ao lidar com expressões numéricas, devemos primeiro resolver potências e raízes, depois multiplicação e divisão, e por fim adição e subtração. Quando há parênteses, colchetes ou chaves, a prioridade é resolver primeiro o que está dentro dos parênteses, depois o que está dentro dos colchetes e, finalmente, o que está dentro das chaves. Frações não podem ser simplificadas indiscriminadamente; a simplificação só é válida quando a operação envolve multiplicação. O texto também mostra exemplos de substituição de valores em polinômios e destaca que a ordem correta das operações é essencial para obter resultados corretos.
O conteúdo aborda, de forma didática, a resolução de expressões numéricas, enfatizando a ordem de operações e a importância dos símbolos gráficos. Primeiramente, são apresentadas as regras básicas: potências e raízes têm precedência sobre multiplicação e divisão, que por sua vez precedem adição e subtração. Quando parênteses, colchetes ou chaves aparecem, a hierarquia interna é resolvida antes de avançar para a próxima camada.
Em seguida, o texto explora frações equivalentes e a manipulação de frações em operações. Frações equivalentes são aquelas que representam o mesmo valor, como 1/2 e 2/4. Ao somar ou subtrair frações, é necessário que elas tenham denominadores iguais; caso contrário, deve-se encontrar o mínimo múltiplo comum. A simplificação de frações só é válida quando a operação envolve multiplicação, pois isso preserva o denominador comum.
O conteúdo também cobre operações com frações, decimais e porcentagens. Para converter frações em decimais, basta dividir o numerador pelo denominador. Porcentagens são frações cujo denominador é 100; para converter uma porcentagem em decimal, divide-se por 100. Operações entre esses tipos de números exigem conversão para um formato comum antes de prosseguir.
Além disso, é introduzida a notação científica, que permite representar números muito grandes ou muito pequenos de forma compacta. Um número em notação científica tem a forma a × 10ⁿ, onde 1 ≤ a < 10 e n é inteiro. Operações com números em notação científica seguem as mesmas regras de multiplicação e divisão de potências de 10.
Por fim, o texto detalha expressões numéricas, mostrando como resolver problemas que combinam vários tipos de operações e símbolos gráficos. Exemplos incluem a substituição de valores em polinômios, a resolução de expressões com potências negativas e a aplicação prática da ordem de operações em situações do cotidiano, como jogos de videogame e cálculos financeiros.
1. (2,50 pontos) Qual é a ordem correta das operações em: 3 + 4 ÷ 2 – 2 × 3² + √25?
Resposta correta: A
2. (3,50 pontos) Resolva a expressão: {3 × [17 – 3] × (40 × 2⁻³ + 4)} – 6. Qual é o resultado?
Resposta correta: D
3. (4,50 pontos) Substitua x = –2 na função P(x) = 8x⁻⁵ – 4x³ – 3x² – 6 e calcule P(–2). Qual é o valor?
Resposta correta: C
Você já pararam pra pensar em como as expressões numérica estão presentes em nosso dia-a-dia? Vejam só um exemplo.
O Felipe que gosta de jogar videogame, de algum jogo que quando ele inicia ele tem 10 vidas.
Ao passar para as fases seguintes ele segue com as vidas que ele tinha na fase anterior.
Na primeira fase o Felipe perdeu duas vidas.
Na segunda fase o Felipe perdeu mais 4.
Quantas vidas tinha quando ele chegou na terceira fase? Uma expressão numérica é uma combinação de números, operações e símbolos gráficos que podem ser os parênteses, as chaves e os conchetes.
Com certeza você já viu uma expressão que envolve uma potência junto com uma raiz com o parênteses e conchetes e também a multiplicação em soma como esse exemplo.
E vem sempre aquela dúvida.
O que eu tenho que resolver primeiro, Rúbia? Pois é, existe sim uma ordenação.
Vamos começar com um exemplo simples que não tem ainda símbolos gráficos.
3 mais 4 dividido por 2 menos duas vezes 3 ao quadrado mais raiz de 25.
Segundo a ordenação, primeiro temos que fazer a divisão e depois a operação de edição.
Mas qual é a ordenação mesmo? A primeira coisa que a gente resolve a raiz e a potência.
Eu tenho 3 ao quadrado.
Primeiro vou resolver essa potência o resultado anove.
E depois é raiz de 25 que eu sei que é 5.
Resolvemos raiz e potência.
Agora é a vez das operações de edição, subtração, divisão e multiplicação.
Temos 3 mais 4 dividido por 2 duas vezes 9 mais 5.
Na sequência, devemos resolver a multiplicação e divisão.
Primeiro, o 4 dividido por 2 e também 2 vezes 9.
E vou obter 3 mais 2 menos 18 mais 5.
Agora sim, chegou a ordena da edição e da subtração.
Então vou ficar com 3 mais 2 menos 18 mais 5.
E, por fim, resultado é menos 8.
Mas quando eu tenho símbolos gráficos, neste caso, por exemplo, aqui eu tenho coxete, chave, parentes.
A ordem vai ser primeiramente parentes.
Só depois que eu resolvo que está entre parentes, eu vou ampliar e resolver o que está dentro do coxete.
E por fim, o mais amplo de todos são as chaves.
Então eu vou resolver nessa ordem, primeiro, parentes, depois do coxete e, por fim, a chave.
Então vamos lá.
Na primeira expressão, aqui eu tenho 3, abri chave, 17 menos 3.
Note que eu não posso resolver esse 17 menos 3.
Por quê? Porque o 3 está multiplicando um coxete.
Lembra que primeiro eu tenho que fazer a multiplicação para depois fazer a operação de edição e subtração? E dentro desse coxete eu tenho 40 vezes 2 elevado a menos 3.
Tem um parentes para 2 elevado a menos 3.
Depois, soma 4 e fessa a chave.
Para então, subtrair o 6.
Agora eu vou resolver o parentes e eu vou ficar com 3 vezes, abro a chave de novo.
Não sei se você se lembra, quando a gente tem o menos 3 na potência, o menos faz com que a gente inverto o número.
Se eu tenho 2 sobre 1, vai ficar 1 sobre 2.
E o elevado ao cubo vai ser 8.
Então eu vou ficar com 1 sobre 8.
Mais 4, fecha o coxete e fecha a minha chave, menos 6.
Agora eu tenho 3 vezes chave, 17 menos 3.
E agora eu posso obter o número a partir da solução do 40 vezes 1 eitavo.
40 vezes 1 eitavo vai ser 40 sobre 8.
Porque 40 vezes 1 é 40.
40 sobre 8 deu 5.
Então, dentro do meu coxete, agora vai ficar 5 mais 4.
Fecha o chave, menos 6.
Agora está fácil sumir com esse coxete.
Basta eu somar o 5 com 4.
Então eu vou ficar com 3.
Agora na minha chave tem 17 menos 3 vezes 9.
Eu vou resolver essa chave.
Dentro dela eu tenho uma multiplicação e tenho 17 menos esse valor que eu vou obter após a multiplicação.
Como a gente já sabe, primeiro faço 3 vezes 9.
Vou ficar com 17 menos 27.
E na sequência, menos 6.
Agora já sei que eu tenho 3 vezes o menos 10.
E depois eu subtraindo 6.
Mantenho sempre a ordem.
Primeiro eu faço a multiplicação.
Então, 3 vezes menos 10 eu vou obter menos 30.
Depois, menos 6.
E isso vai dar menos 36.
Bom, mas se eu tiver um polinômio com o valor num mérico para esse x? Então vamos por aqui que eu tenho um p de x igual a 8 vezes x elevado a menos 5.
menos 4 vezes x elevado a 3.
menos 3 x² menos 6.
E agora eu vou trocar.
Vou substituir o x por menos 2.
Quando eu troco, eu vou ficar com p de menos 2.
Lembrando que a gente acabou de dizer que menos 2 elevado a menos 5, eu vou inverter o número e na sequência eu sigo com a potência.
Então eu vou ficar com 8 vezes menos 1 sobre 32, menos 4 vezes menos 8, e menos 3 vezes 1 quarto.
A mesma ideia, né? Como é o quadrado? Vai ficar 2 ao quadrado que é 4.
Como é menos eu ficar 1 quarto, menos 6.
Quando eu faço a multiplicação, tenho 8 vezes menos 1 sobre 32, e portanto, eu vou obter menos 8 sobre 32.
E temos ainda menos 4 vezes menos 8.
E menos 3 vezes 1 quarto.
Mas menos 3 vezes 1 é menos 3.
Então eu vou ter menos 3 quartos, menos 6.
Eu posso simplificar 8 sobre 32.
Como é que eu simplifico? Eu divido tanto numerador quanto denominador da minha fração pelo mesmo número.
Neste caso, eu posso dividir tanto 8 como 32 pelo próprio 8.
Então, 8 dividido por 8 vai dar 1.
E 32 dividido por 8 vai dar 4.
Então eu vou ficar com menos 1 quarto.
Coloquei junto aqui as duas frações.
Então, menos 3 quartos.
E aí eu já fiz a operação ali, 32 menos 6.
Isso eu posso fazer porque todas as operações de adição e subtração.
Lembrando que a ordem não importa entre elas.
Eu já vou fazer 32 menos 6, que deu 26.
Agora, quando eu junto, menos 1 quarto, menos 3 quarto, lembrando lá na nossa aula que a gente revisou os conceitos de fração.
E portanto, as operações de fração, quando o denominador é o mesmo, eu mantenho o denominador e faço o que? Somo os numeradores.
Minas 1 com menos 3, eu vou ter menos 4 dividido por 4.
E eu vou obter menos 1.
Com 26, eu vou ter como resposta final, 5.
Bom, e aí eu fecho perguntando assim para vocês, ou melhor? Pesso que talvez vocês estejam se perguntando ou gostariam de me perguntar, tem certeza que a ordem importa? Eu convido você a testar essa ordenação.
Eu vou colocar aqui a mesma sequência, 4 vezes 3, mais 8 dividido por 2 menos 5.
Vou primeiro deixar dessa forma, sem nenhum símbolo gráfico.
No segundo, eu vou colocar um parênteses na soma do 3 com 8.
No terceiro, eu vou colocar um parênteses antes do 4 e depois do 8.
E aqui, no quarto exemplo, eu vou colocar um parênteses entre 8 e 3, e também um parênteses entre 2 ou menos 5.
Vejam só, nesse primeiro exemplo, eu vou ter primeiro multiplicação e divisão.
Se eu não tiver nenhum símbolo gráfico, a gente cai naquela ideia inicial mais simples, que é fazer primeiro multiplicação e divisão, e só depois a adição e a subtração.
E se eu tivesse raiz e potência? Seria primeiro raiz e potência antes de tudo.
Como a gente não tem, vai ser a multiplicação e a divisão.
4 vezes 3, 12, 8 por 2, dá 4, menos 5.
Daí terei o número 11.
Agora, quando eu tenho 4 vezes 3 mais 8, então 3 mais 8 é 11.
Então, primeiro, eu vou ter 4 vezes 11, dividido por 2, menos 5.
Como a ordem aqui não importa entre a multiplicação e a divisão, vou seguir a ordem que está aqui.
4 vezes 11, que é 44, dividido por 2, menos 5.
44 por 2, eu tenho 22.
Quando eu tiro 5, eu obtei 17.
Vejam que aqui eu já obtive um número diferente do primeiro número que eu encontrei.
Se eu olhar, agora, o exemplo 3, 4 vezes 3, 12, agora, vou somar o 8.
Então, primeiro, eu fiz a multiplicação que está dentro do parênteses.
Para, depois, eu somar o 8, que está também dentro do parênteses.
Dividido por 2, menos 5.
Lembrando que eu não posso fazer esse 2, menos 5.
Porque, primeiro, eu tenho que fazer a divisão que envolve o 2.
Para, depois, eu tirar o 5.
Então, 12 mais 8, que vai dar 20.
E eu vou dividir 20 por 2, que vai dar 10.
E então, eu tiro 5 e obtém o 5.
Note que eu mudei a posição do símbolo gráfico e veja que de 2 para 3, eu só crescentei o 4 dentro do meu parênteses.
Parece pouca coisa, né? Mas eu já obtive no anterior 17 e nesse apenas 5.
E, no nosso último exemplo, eu vou ter 4 vezes 3, mais 8.
Mas o 8, que a gente já tinha até feito.
Então, vai ficar 4 vezes 11.
Dividido por 1 parênteses.
Então, eu vou resolver primeiro a subtração.
Tenho 2, menos 5, que deu menos 3.
E aí, eu vou ter 44 dividido por menos 3.
Como não tem como simplificar, ela indica como resposta o próprio menos 44 terços.
Vejam que a pós-a colocação dos símbolos gráficos em posições diferentes.
Eu obtive valores diferentes, nenhum deles foi igual.
Ou seja, eu posso obter números diferentes entre si, de acordo com o lugar que eu coloco, os símbolos gráficos.
É muito importante seguir essa ordenação.
Essa ordem importa o símbolo gráfico em porta e a posição que ele está também.
Então, é fundamental seguir esses passos para encontrar o valor correto da nossa expressão.
Antes de encerrar, eu vou dar uma alerta para vocês que têm a ver com a simplificação.
Por exemplo, eu tenho 6 mais 4 sobre 2.
E quero fazer uma simplificação para que eu possa fazer outras contas com números mais baixos, que sejam mais simples para resolver.
Então, eu tenho uma tendência a vir aqui e simplificar.
Seis de usido por 2 dá 3.
E aí, eu junte o 3 com o 4, que vai dar 7.
Eu posso fazer isso.
De jeito nenhum, por favor.
Vamos entender porque eu não posso fazer isso.
O que quer dizer é que eu tenho 6 mais 4, tudo isso sobre 2.
Pois eu tenho o mesmo denominador.
Lembra que a gente acabou de falar disso? Quando eu tenho o mesmo denominador, eu somos os numeradores.
Então, se eu estou com uma soma nos numeradores, é porque eles têm o mesmo denominador.
Eu posso aqui fazer a volta e separar.
6 mais 4, tudo isso sobre 2.
E 6 sobre 2.
Mais 4 sobre 2? Bom, 6 sobre 2 dá 3.
4 sobre 2 dá 2.
Neste modo, esse resultado vai dar do jeito que a gente já tinha feito antes.
O que aconteceu? Eu simplifiquei o 6 com 2 apenas.
O 2 sumiu do denominador do 4.
Então, o que eu vejo de erro? Eu sumi com o denominador do 4.
Por isso que eu não posso fazer isso.
Porque aquele 2, ele não era o denominador só do 6.
Ele também era o denominador do 4.
Quando eu corto ele, informalmente falando, eu estou sumindo com o denominador da fração 4.
Por isso que eu não posso fazer isso.
E quando eu vou simplificar então? Quando eu posso fazer isso? Eu posso fazer isso quando eu tenho uma multiplicação.
E é daí que provavelmente você se lembra que você fazia esse corte em cima, corte embaixo, certo? Vamos separar também para a gente poder enxergar.
6 sobre 2 vezes 4.
Agora, olha só.
Eu não vou ter 6 sobre 2 vezes 4, que é a mesma coisa que 6 sobre 2 vezes 4 sobre 1.
Eu poderia ser o que exerce e escrever os 2 na forma de fração.
Agora sim.
Quando eu simplifico, eu só tenho 1, 2.
O 2 é o denominador de toda a multiplicação que está em cima.
Quando eu corto, não tem problema.
Eu vou cortar o 2, que era realmente o denominador da minha fração 6 sobre 2.
Então, eu vou ter 6 sobre 2, que vai dar quando eu dividi por 2 em cima e por 2.
Em baixo, vai dar 3 em cima.
1 em baixo.
Então, vai dar 3 vezes 4, que é 12.
Se eu não quiser se simplificar, eu faria 6 vezes 2 vezes 4, que dá 24 dividido por 2.
E obteria também, obviamente, o mesmo valor 12.
Agora que você está fera na resolução de expressões numéricas, podemos seguir para a próxima aula.
Até lá!