São relações entre \(x\) e \(y\) que não estão isoladas como \(y=f(x)\). Para obter a derivada, diferencia‑se ambos os lados da igualdade em relação a \(x\) usando a regra da cadeia e, ao final, resolve‑se para \(\dfrac{dy}{dx}\).
Exemplos típicos: \(x^{2}+y^{2}=16\) (círculo) e \(x^{2}+y^{3}=3xy\) (curva algébrica). Nessas equações, \(y\) aparece de forma não explícita.
Para \(x^{2}+y^{2}=16\):\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Rightarrow\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\).
Para \(x^{2}+y^{3}=3xy\):\(\displaystyle 2x+3y^{2}\frac{dy}{dx}=3y+3x\frac{dy}{dx}\Rightarrow\frac{dy}{dx}= \frac{3y-2x}{3y^{2}-3x}\).
Se \(f:A\to B\) é bijetora, existe \(f^{-1}:B\to A\) tal que \(f^{-1}(f(x))=x\) e \(f(f^{-1}(y))=y\). A derivada da inversa pode ser encontrada sem inverter a função explicitamente.
Uma função \(g\) é inversa de \(f\) quando \(f(g(y))=y\) e \(g(f(x))=x\) para todo \(x\) no domínio de \(f\) e todo \(y\) no domínio de \(g\).
Se \(f\) é diferenciável e \(f'(x)\neq0\), então \((f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}\).
Para \(f(x)=2x+1\), \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2}\) e \((f^{-1})'(y)=\dfrac12\).
Para \(f(x)=x^{3}\), \(f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}\) e \((f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{3\,y^{2/3}}\).
Para a curva \(x^{2}+y^{2}=16\), a derivada \(\dfrac{dy}{dx}\) é:
Resposta correta: A) \(-\dfrac{x}{y}\)
Derivando: \(2x+2y\,\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{x}{y}\).
Para a equação \(x^{2}+y^{3}=3xy\), a expressão correta para \(\dfrac{dy}{dx}\) é:
Resposta correta: C) \(\dfrac{3y-2x}{3y^{2}-3x}\)
Derivando: \(2x+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=3y+3x\dfrac{dy}{dx}\Rightarrow (3y^{2}-3x)\dfrac{dy}{dx}=3y-2x\).
Qual é \((f^{-1})'(y)\) para \(f(x)=2x+1\)?
Resposta correta: A) \(\dfrac{1}{2}\)
Como \(f'(x)=2\), \((f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}= \dfrac{1}{2}\).
Considere a relação implícita \(x^{3}+y^{3}=6\). Seja \(x=g(y)\) a função inversa que devolve \(x\) em termos de \(y\). Qual é o valor de \(g'(2)\)?
Resposta correta: A) \(-2^{\frac{4}{3}}\)
Derivando implicitamente: \(3x^{2}+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{x^{2}}{y^{2}}\).
Para \(y=2\), tem‑se \(x^{3}=6-8=-2\Rightarrow x=-\sqrt[3]{2}\).
Assim \(\dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{4}= -\dfrac{2^{2/3}}{4}= -\dfrac{1}{2^{4/3}}\).
A derivada da inversa é \((g)'(2)=\dfrac{1}{dy/dx}= -2^{4/3}\).
Olá, pessoal, tudo bem? Hoje, a gente vai dar sequência a nossa estúdua sobre derivadas e a gente vai ver mais algumas regrinhas dessa vez para a calculada derivada de função implita, então, vamos dar da implita, e a função inversa.
Vamos lá? Então, como eu disse na aula de hoje, a gente vai falar um pouquinho sobre derivada de funções inversas e implísticas.
Vamos começar falando o que seria uma função implística, uma função dada em plistamente.
Aqui a gente tem dois exemplos de funções que não são um plísticos, que são funções com a x igual a f de x.
Então, eu tenho o y e tenho definido as funções em x aqui do outro lado de igualdade.
Então, tenho raiz de x² mais 2 e x² mais 3x.
Ambas as funções, elas são escritas, são dados, especificamente em termos de x.
Então, é ífono igual a f de x.
Aqui nós temos dois exemplos de funções que são dados implicitamente, porque elas não são escritas dessa forma e ífono igual a f de x.
Eu tenho o y dentro da minha função, né? A própria função de y é o y aparece.
Então, eu tenho um exemplo de x² mais y² igual a f de x, que é um exemplo, e x² mais y² igual a 3x.
Isso é outro exemplo.
No caso do x² mais y² igual a f de x, a gente consegue reescrever essa função dessa maneira.
Ela é dada como, mais ou menos a raiz de 16 menos x².
E aí você me fala, mas então a função é mais entrista.
Não é, nesse caso o problema seria que a gente reescreve essa função como um conjunto de outras funções.
Não é apenas uma função, mas ou menos a gente tem duas famílias de funções.
Já no caso dessa segunda função, o x² mais y igual a 3x y, a gente nem consegue reescrever de forma fácil o ífono em função de só de x.
Então, para isso, a gente vai ver como que a gente calcula a derivada desse tipo de função, funções dadas implicitamente.
E a gente vai ver como calcula esse tipo de função através de exemplos.
A gente usa a regra cadeia, usa regra do produto, todas aquelas regras que a gente já conhece, mas aplicadas agora nesse tipo de função que são funções entristas.
A gente vai começar com o x² mais y² igual a dacê.
O que a gente tem que fazer? Nós vamos derivar em relação a x em ambos lados da igualdade.
Então, essa primeira parte, o que a gente fez foi derivar, foi colocar aqui, aderivada em x do lado esquerdo, que é x² mais y² igual aderivada em x do lado direito.
A gente sabe que quando tem uma soma aderivada, a gente pode separar, então só reescrever aqui, essa soma separada.
Então, ficamos com aderivada de x², x, aderivada de x², em x.
E aderivada de 16 é uma constante, então já foi colocada igual a zero.
Como a gente calcula? Porque, para a gente calcular aderivada aqui do 2x em relação a x está fácil.
O x² desculpa, dá o 2x, da fala até reforço.
Então, aderivada do x² dá o 2x.
Aqui, eu estou aderivando x um tempo em y.
Então, aqui a gente aplica aderivada da função em y, produto com y x.
A gente aplica a regra da cadeia.
Então, quando vou derivar essa função aqui, só tem y em relação a x, então aderivou ela em y e faça aderivada de y em x.
Então, aderivada de y² em y dá o 2x, e aqui eu carrego o de y dx.
Porque como se fosse aderivada, é a filinha.
É só aquela notação de lá, e bíblia que a gente já viu.
Então, esse é o termo aqui, aplicando essa empenguinha, que eu vou substituir no y² na derivada de y².
Então, como a gente já viu, aderivada do x² do x, aderivada do y² do x, do x² do x, igual a zero.
Aqui, o que eu posso fazer? O que eu estou interessado na incalcular y, o linha que é aderivada, que é a mesma coisa que da y² x.
Então, vou isolar esse termo do lado esquerdo da equatão e colocar os demais termos do lado direito.
Então, colocando aqui o de y² x do lado direito, passando 2x da positivo, aquele vem negativo.
2y está dividindo, está multiplicando, desculpa, e dividindo.
Então, para eu escrever aderivada, então, eu isolar esse termo de y sobre dx, cancelo o 2x², cancelo, como já disse, é porque estou dividindo o 2x² que dá 1 e resta o menos x sobre í.
Então, a gente aplica aderivada em ambos os lados, aplica as regas que precisam ser aplicadas de derivação.
E, no final, o nosso propósito é isolar o de x, que é o que a gente tem que encontrar.
É aderivada que a gente está querendo encontrar dessa função.
Então, o que a gente precisa encontrar é esse de x, dx.
E aí, o segundo caso, então, como que ficaria, x², mais de x³, 3x.
Mais uma vez, a gente vai aplicar aderivada em x e andando os lados da igualdade.
Então, aplica o x², aplica o y³, e aplica o fície do lado direito, 3x y.
Aqui, como esse termo só tem x², eu sei que aderivada é 2x.
Aqui, eu vou ter que aplicar de novo aquela regrinha, que a gente já viu.
Então, vou aderivar o x³ em relação a y, multiplicando por dx.
A mesma coisa a gente tem aqui, porque a gente tem termos em x e y.
Então, vamos lá.
Primeiro, vamos ver como fica a expressão, aderivada em y³.
Então, como eu falei, a gente deriva y³ em relação ao y, fica 3x², que é o que está aqui, dx³ dx.
É, a gente carrega ali o dx³.
E o 3x y, como fica, vou aplicar uma regrinha do produto, porque aqui, como se eu tivesse 3x, como se eu tivesse, não, eu tenho 3x vezes y.
E aí, eu vou aplicar a regra do produto aqui.
A gente faz isso porque para separar termos em x e y.
Então, é, aderivada da primeira, que é 3x² é 3, vezes a segunda, que é y, então, fica 3x.
Mas, a primeira, que é 3x, vezes aderivada da segunda, dx³ dx.
Mas, por que você só aplicou o dx³ dx? Não, aqui eu já piquei.
Aderivada de x³ em x³ vezes dx.
É que a derivada de y³ é o próprio 1.
Então, aplicou a primeira, vezes aderivada da segunda, só restou aqui aderivada da segunda, dx³ dx.
Então, escrevendo tudo isso na equação.
Aderivado do x³, aqui aderivada 3x² dx.
E, aqui, a nossa regra do produto, aplicada do lado direito.
separando aqui os termos com x e com isso.
Daí, o que eu vou fazer? Lembra que eu falei no exemplo anterior? A gente tem que isolar o dx³ dx.
Então, aqui, ao esse termo, o dx³ dx vai para cá, e o dx³ tem trecilado.
Então, passei os termos com dx do lado esquerdo, e o restante do termo do lado direito.
Então, mais uma vez, se eu for coexolar o dx³, eu vou colocar a linha evidência, aqui, então, eu vou colocar a linha evidência, aqui, eu fico com dx³ vezes 3x² menos 3x.
E, em evidência, e aí, o que eu vou fazer é pegar esse termo 3d² menos 3x, e passar dividindo do outro lado equação.
Então, o que foi feito? Estava multiplicando, passou dividindo.
E aí, a gente chega aqui numa expressão para a dx³ dx, que seria aderivada, então, dessa função inflita.
E aí, agora, a gente vai ver como a gente faz derivada de função inversa.
Então, para começar, vou dar uma relebradinha na memória de vocês, o que seria uma função inversa.
A gente tem uma função f que sai de a até b, do mínimo a para a imagem b, e de forma que ela seja objetora.
A função f menos 1, que a gente chama de função inversa, ela sai de b e vai dar a, ela vai ser chamada, então, uma inversa da função f de maneira que, quando a aplica a composta f com a inversa da o próprio y e a inversa com f da o próprio x.
Então, isso tem que acontecer quando as funções é uma função inversa da outra.
Então, só para ilustrar aqui, vocês têm, por exemplo, o conjunto a e o b, em verde, está representando a função f e, em laranja, a inversa dela.
Então, se esse é o domínio da função f e essa imagem, esse vai ser o domínio e esse que vai ser a imagem da inversa.
Então, ela leva, como a função f leva, cada ponto de a em um ponto de b, a inversa pega esse ponto de b e leva nesse ponto de a.
E aqui só mais uma ilustração, a gente tem aqui, em azul, a função x quadrado, e, em verde, a sua inversa raiz de x sendo domínios reais positivos.
De como essa aqui do zero.
E, ainda para ver que aqui tem a reta x igual a y aqui no meio, e é como se o gráfico dessas funções fossem um espelho, você fechar, ele coincide com esse espelho rebatido, uma função na outra.
Justamente, porque a gente pega o x levando em y, a gente pega aquele x, não leva o x.
Então, é inversa, o próprio nome já diz.
E, aí, como a gente faz para qual o popular derivada de função inversa? Então, a gente tem um teorema que diz que, seja a itula igual a f e de x, uma função definida de um intervalo y, e que vai emitir uma inversa.
x igual a j.
Se a derivada da f existe e é diferente de zero nesse intervalo, então, a inversa também é derivável nesse intervalo, e a derivada da inversa vai ser igual a 1 sobre a derivada da função aplicada na sua inversa.
Então, mais uma regrinha para a gente entender, então, a gente aplicar.
Então, por exemplo, tem a função 2x mais 1.
A inversa dessa função é y sobre 2 menos meia.
Aqui, só para a gente tirar a prova, que realmente é essa função.
Lembra que, para que ela seja uma inversa, uma função se inversa da outra, quando a gente aplica a f na inversa, ela tem que dar a própria y.
Então, f da g de y tem que ser igual a y.
Então, eu vou aplicar a inversa na f.
A f, a cara dela, é 2x mais 1.
Então, no lugar de x, eu vou escrever a y.
Então, eu fico com 2, y sobre 2 menos meio, mais 1.
Mais 1 vem que da f.
Resovendo essa equação, eu fico com y menos 1, mais 1, arrumando esses termos aqui, e fico com o final com y.
Então, realmente, quando eu aplico a composta da f, com a sinverça, deu o próprio y.
E como a gente calcularia a derivada? Dá para calcular aqui direto, dá para calcular direto, mas pela regrinha, ela é 1 sobre a derivada da f aplicada na g.
Quem quer derivada da f é 2.
Então, ela vai ser igual a meio.
Não tem como aplicar nada na g, porque ela é uma constante, a derivada é uma constante.
E se a gente fizer aqui, a derivada da g em y, da meia, que é a derivada de meio aqui, é 0.
Mais um exemplo, a função x³, a inversa da função x³ é raiz cúmica.
Mas, uma vez para a gente tirar a prova aqui, seu aplico é a f aqui na inversa, eu vou levar isto aqui ao cúmico.
Eu fico com y²³ sobre 3, que é x³²³, que é o próprio y.
Então, é inversa.
E como fica, então, a derivada, lembra, fica 1 sobre a derivada da f, a derivada da f, aqui é um polinômio, caiu 3, e alguma coisa aqui é o quadrado.
Essa é alguma coisa aqui é o quadrado, eu vou aplicar a g.
Teto, então, a derivada dessa função, um sobre a derivada, que é 3, x², mas o meu x aqui, na verdade, é aplicando na inversa, então, essa é a derivada da raiz cúmica de y.
Na aula de hoje, a gente viu mais um pouquinho de regga de derivada, dessa vez, de função implica em véssito.
É assim que um tibiu que é uma função plícita, comedada, assim como a função inversa, e calculamos as suas derivadas.
Eu espero que vocês tenham gostado da aula, bons estudos, e nos vemos na próxima aula.
Até lá!