1. Regra da Cadeia
Apresenta a fórmula geral para a derivada de uma função composta: se \( y = f(g(x)) \), então \( y' = f'(g(x))\cdot g'(x) \).
1.1 Definição Formal
Se \( f \) é derivável em \( g(x) \) e \( g \) é derivável em \( x \), então a composição \( f\circ g \) é derivável em \( x \) e sua derivada é dada por \( (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) \).
1.2 Notação
Usa-se \( \frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x) \) ou \( (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x) \). Em notação de Leibniz, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} \) com \( u = g(x) \).
2. Exemplos Ilustrativos
2.1 Raiz Quadrada
\( y = \sqrt{x^{2}+2} \). Aqui \( f(u)=\sqrt{u} \), \( g(x)=x^{2}+2 \). Derivada: \( y' = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}} \).
2.2 Exponencial
\( y = e^{5x} \). \( f(u)=e^{u} \), \( g(x)=5x \). Derivada: \( y' = e^{5x}\cdot 5 = 5e^{5x} \).
2.3 Potência
\( y = (x^{3}+1)^{50} \). \( f(u)=u^{50} \), \( g(x)=x^{3}+1 \). Derivada: \( y' = 50(x^{3}+1)^{49}\cdot 3x^{2} = 150x^{2}(x^{3}+1)^{49} \).
2.4 Função Trigonométrica
\( y = -\cos(2x^{2}+1) \). \( f(u)=-\cos u \), \( g(x)=2x^{2}+1 \). Derivada: \( y' = \sin(2x^{2}+1)\cdot 4x = 4x\sin(2x^{2}+1) \).
2.5 Exponencial com Quadrado
\( y = e^{3x^{2}} \). \( f(u)=e^{u} \), \( g(x)=3x^{2} \). Derivada: \( y' = e^{3x^{2}}\cdot 6x = 6x e^{3x^{2}} \).
2.6 Quociente Elevado à Potência
\( y = \left(\frac{2x^{2}+3}{x}\right)^{5} \). Primeiro \( u = \frac{2x^{2}+3}{x} = 2x+\frac{3}{x} \). Derivada: \( u' = 2 - \frac{3}{x^{2}} \). Então \( y' = 5u^{4}\cdot u' = 5(2x+\frac{3}{x})^{4}(2-\frac{3}{x^{2}}) \).
2.7 Produto de Funções Compostas
\( y = \sin(5x)\cdot x^{-32} \). Deriva-se cada fator usando a regra da cadeia e depois aplica-se a regra do produto.
3. Atenção ao Aplicar
Identificar corretamente \( f \) (externa) e \( g \) (interna); aplicar \( f' \) em \( g \) antes de multiplicar por \( g' \).
4. Importância da Prática
Exercícios variados consolidam a compreensão e evitam erros comuns.
Se \(y = \sqrt{x^{2}+2}\), qual é \(\dfrac{dy}{dx}\)?
Resposta correta: A) \(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}\)
Aplicando a regra da cadeia: \(y = (x^{2}+2)^{1/2}\) → \(y' = \frac12 (x^{2}+2)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}\).
Para \(f(x)=\bigl(x^{3}+1\bigr)^{50}\), qual é \(f'(x)\)?
Resposta correta: A) \(150x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)^{49}\)
Usando a regra da cadeia: \(f'(x)=50\bigl(x^{3}+1\bigr)^{49}\cdot 3x^{2}=150x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)^{49}\).
Se \(h(x)=e^{3x^{2}}\), qual é \(h'(x)\)?
Resposta correta: A) \(6x\,e^{3x^{2}}\)
Aplicando a cadeia: \(h'(x)=e^{3x^{2}}\cdot 6x = 6x\,e^{3x^{2}}\).
Considere \(y=\left(\dfrac{2x^{2}+3}{x}\right)^{5}\). Qual é \(\dfrac{dy}{dx}\)?
Resposta correta: D) \(5\left(2x+\dfrac{3}{x}\right)^{4}\left(2-\dfrac{3}{x^{2}}\right)\)
Primeiro simplifica‑se \(u=\dfrac{2x^{2}+3}{x}=2x+\dfrac{3}{x}\). Então \(u' = 2-\dfrac{3}{x^{2}}\). Aplicando a cadeia: \(y' =5u^{4}u' =5\left(2x+\dfrac{3}{x}\right)^{4}\left(2-\dfrac{3}{x^{2}}\right)\).
Olá pessoal, tudo bem? Na hora de hoje a gente vai dar continuidade, os estudos derivadas e a gente vai estar vendo a regra da cadeia, para que essa regra como que a gente utiliza.
Vamos lá? Então, como eu disse, a nossa aula de hoje é sobre a regra da cadeia.
Vamos primeiro relembrar um pouquinho sobre funções compostas.
A gente tem uma função aqui, f de x, que é dada pela raiz, quadrada de x² mais 2.
Como será que eu poderia calcular a derivada dessa função? Eu sei calcular a derivada da raiz de u, que a gente já viu, e também calcular a derivada de x² mais 2.
Como será que ficaria a derivada dessa composta de funções? Quando a gente compõe essas duas funções, a gente está obtendo exatamente a função f, que a gente quer calcular a derivada.
Então, a regra da cadeia, ela vai nos mostrar como a gente calcula derivada de função composta.
Então, ela diz o seguinte, se g for derivável nx, e f derivável ng de x, a função composta é f, aqui é f, definida por f de g de x, ela vai se derivável nx também, e ela vai cedada por.
Então, o que a gente vai fazer? Qualquer produto que a gente vai ter que calcular para calcular a derivada dessa composta.
A gente calcula a derivada da função f, e aplica ela na g, produto com a derivada da g.
Parece bem confuso, mas não é, no exemplo, só ficar um pouquinho mais claro.
Aqui só para mostrar na notação de live, como a gente usaria, como seria derivada, então, a derivada de y em relação a x, sendo uma função composta.
Então, a gente calcularia dy, dú, produto com dú, dx.
É a mesma coisa, só que numa notação diferente.
Então, vamos aquele nosso primeiro exemplo, da raiz quadrada de x² mais 2.
Então, aqui, como a gente já tinha definido, eu vou definir essa raiz como sendo a f, e x² mais 2, como sendo a minha g.
Então, o que eu tenho que fazer é calcular a derivada da f aplicada na g, produto com a derivada da g.
Então, a raiz é vista como uma potência, na x², leva da meio.
Então, a raiz vai cair o meio, e vou subtrair uma potência meio, vai ficar menos meio, então a raiz vai aqui para baixo.
Então, a derivada, se eu tivesse de raiz de x, por exemplo, seria um sobre 2 raiz de x.
Só que a diferença aqui é que a gente vai aplicar na função que está aqui dentro.
Então, calcula a derivada da mesma maneira, só que aqui, ao eu aplico x² mais 2, não só x, eu vou aplicar na g.
E faço produto com a derivada do que está aqui dentro.
É a g, que vai ser 2x.
Aqui, eu posso, como é um produto, eu posso, fazer uma raiz de x², que dá 1.
E aí, eu fico com x, e a raiz de x² mais 2.
Hoje, na aula, a gente vai ver bastante exemplo.
Vai focar só na rega da cadeia, e para ficar bem claro, como a gente faz esse processo.
Então, vamos aos exemplos.
Nós temos aqui, então, o exponencial de 5x.
Lembrei, quando a gente viu as derivadas de função e valimental, a gente viu que é derivada da exponencial de x é ela mesmo.
A gente não viu quanto é a derivada da exponencial de 2x, 3x, no caso aqui, 5x.
Então, é como se a gente viu, a exponencial, como sendo a nossa f, exponencial de 1y, onde o y é 5x.
E o 5x aqui, sendo a gente.
Então, é a de fora exponencial de y.
Vamos colocar assim, onde y é 5x.
E a de dentro, que é a própria 5x.
Então, vou derivar a exponencial, que dá ela mesma, e aplicar no 5x.
Então, vou ficar exponencial de 5x.
E o produto com a derivada da g, a derivada de 5x é 5.
Então, a derivada da de fora aplicada na de dentro, vezes a derivada de dentro.
É assim.
Então, vou reescrevendo aqui 5 exponencial de 5x.
A próxima exemplo, nós temos aqui x³ mais 1 elevada a 50.
Então, é como se eu tivesse uma potência de 50, tendo aqui a minha função de fora, digamos assim.
E o x³ mais 1, como sendo a g, que é a de dentro.
Então, como que a gente vai fazer a derivada? A derivada da f é aplicada na g.
A potência, lembra, vai cair que o 50 vai ficar 49 aplicada em x³ mais 1.
E o produto com a derivada da g, vai ser 3x².
Então, como eu disse, cair o 50 aqui, que é o 49.
Apliquei, então, a derivada na de fora.
E o produto com a derivada de dentro.
Então, a derivada da aqui de denta e três x², já que a derivada do 1 é 0.
Aqui, eu só mêi, fiz o produto aqui de 50 com 3, ficou 150, e reescrevido.
Então, igual a aquelas regrinhas que a gente viu do produto do cociente, a gente vai aplicar regras de derivação que a gente já sabe, que são as derivadas de funções que a gente já conhece.
Já sabe a cara da derivada, só tem que ficar atento a regrinha.
Então, por isso é importante praticar bastante, fazer bastante exercício.
No exemplo, três, em um outro exemplo, de função composto.
Então, eu estenho cocendo e tenho aqui o 2x² mais 1.
Então, eu vou ver que o cocendo como a f, o 2x² mais 1, como a g.
Então, eu faço a derivada da f aplicada na g, a derivada de cocendo, é menos seno.
Então, menos seno de 2x² mais 1, produto com a derivada da g é 4x.
Então, derivada aqui do cocendo, menos seno, aplicada aqui na g.
A derivada aqui dá 4x, porque o 2 cai, a derivada é 1, é 0.
Então, fica só com 4x.
Então, que só reescrevido colocando 4x.
Primeiro, mas é só aplicar mais uma vez a regra e derivar as funções.
Vamos para o próximo exemplo.
Aqui eu tenho exponencial de 3x².
Então, eu posso enxergar a exponencial como sendo a minha função f e a 3x² como sendo a minha função g.
A gente sabe que a derivada da exponencial é ela mesmo.
Então, na derivada da função de fora, eu vou ficar a própria exponencial.
Então, eu fico com exponencial de 3x².
E aí, eu vou multiplicar pela derivada de dentro, que é a g, que é a derivada de 3x².
O 4 vai cair aqui, vou ficar com 4x312.
E aqui é 4 menos 1, fica com 3.
Então, fico com 12x², exponencial de 3x².
Fé? Então, o mais difícil aqui, que nem é uma tarefa muito difícil, é você separar em quem é a função f e quem é a função g, a composta.
Quem é a função que está ficando aplicada humana a outra.
Para a gente calcular, aplicar na regra da cadeia.
O próximo exemplo aqui, um pouquinho mais elaborado, nós temos uma composta, e dentro dessa composta nós temos um cociente.
Então, eu vou aplicar a composta e a consciente.
Então, vamos lá.
O potência que 5 é o que está indicando a nossa f, o cociente aqui de dentro está indicando a nossa g.
Adrivada da f, uma potência na quinta, já sabe que vai cair o 5.
E aqui vai ficar 4x5 menos 1.
E aí, aqui dentro fica a g, que é esse cociente aqui.
Então, aqui é no mundo.
E aí, a gente faz um produto com aderivada da g.
Para a gente calcular aderivada da g, é que a gente vai aplicar a regra do cociente, que a gente viu na aula anterior.
Então, a regra do cociente aqui vai ser aderivada do que está em cima.
Então, a derivada de 2x² é 4x.
Certo, caiu 2 aqui.
E a derivada do 3 é 0.
Então, fica só 4x.
Então, a derivada da de cima vezes a de baixo.
Quando ele vê a de cima, vou manter a de baixo normal.
Menos, eu vou lembrar isso.
Cociente é menos na regra do produto é mais.
A função de cima, agora eu mantenho a de cima e vou derivar o que está em baixo.
Então, derivada de x é 1.
De derivada de 1 é 0.
Então, fica 2x² mais 3 vezes 1, que é ele próprio.
E tudo isso dividido pela função que está aqui em baixo ao quadrado.
Parece assustador.
Normalmente, os alôs têm esse medo de ver uma função que está de uma maneira tão grande.
Mas não se assustem.
Apliquem a regra tudo concluído.
No final, não consegui simplificar muito, não tem problema.
Um interessante, assim, importante, é que vocês consigam aplicar a regra calculada derivada e identificar a função composta.
Então, aqui só numa letra mais legível.
A gente tem, então, derivada aqui da de fora e a derivada da de dentro.
Aqui, reescrevendo, só fazendo distribuindo e aplicando esse quadrado aqui, então, de chega nessa expressão.
Então, como eu disse, às vezes, não vai conseguir simplificar ou reescrevê de uma maneira mais flara.
Não tem problema.
Pode deixar da maneira que vocês consiguem, desde que seja correta, desde que é derivada, seja calculada da maneira correta.
O exemplo 6 agora.
Aqui, a gente tem um produto de compostas.
Essa daqui é uma função composta, essa é uma função composta e esse é um produto entre as fústicas compostas.
Então, como eu disse, não se assustem, apliquem as regras e tudo com calma.
Então, a gente tem um produto, a gente vai começar nesse produto.
Para calcular esse produto, a gente precisa fazer a derivada da primeira, vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, a derivada da primeira, aqui, vamos começar nisso.
Seno de 5x.
A derivada do seno é cos, então, eu ficaria cos 5x e a derivada de dentro do 5x é 5.
Então, 5 cos 5x.
A derivada dessa função x⁻³², cair aqui o 2, porque a gente tem uma potência e aí, 2 menos 1, fica dessa maneira.
E a derivada do que está dentro, vai cair o 4 aqui, eu ficaria com 4x³ e a derivada do 3 é 0.
Então, eu já tenho aqui a derivada dessas duas funções.
E aí, eu vou clicar em que eu agora a regras do produto.
Então, eu fico com a derivada da primeira, que a gente tinha calculado, vezes a segunda função, certo? Mais a primeira, vezes a derivada da segunda, na verdade, é c₂, aqui, fecha parte da derivada.
Eu já vi ele para lá.
Então, eu já tenho um produto, aplicamos a regras do produto e para calcular a derivada de cada uma das partes de cada uma das funções do produto, a gente usou uma regras da cadeia em cada um.
Aí, aqui só multiplicou 2x4x³ para ficar 8x³ e reescrevei de uma maneira mais simplificada.
certo? Eu espero que vocês tenham entendido como que funcionar a regras da cadeia.
Então, como eu disse, é muito importante.
Acho que não só no cálculo, mas no matemático em geral, que, para que fique bem claro na nossa cabeça, as coisas, que a gente prática bastante.
Para a gente relembrando as regras e não esquecer mais, porque a gente vai usar bastante todas as regras, tanto de produto, de consciente, que a gente viu na aula passada quanto hoje é regras da cadeia.
Eu espero que vocês tenham gostado da aula.
Entrei da bastante exemplo.
Calma, é claro possível.
E nos vemos na próxima aula.
Bom os estudos.
E até lá.