Do que se trata o conteúdo? O conteúdo aborda as regras de derivação de funções: soma, multiplicação por constante, produto, quociente, derivadas de ordem superior e notação de Leibniz.
Principais assuntos (exemplos):
Ponto de maior atenção: Aplicar corretamente as regras do produto e do quociente (lembrar‑se de que o denominador não pode ser zero e de distribuir os termos adequadamente).
Conclusão: As regras de derivação permitem calcular a derivada de combinações de funções de forma sistemática, preparando o estudante para cálculos mais avançados em Cálculo II e III.
1 Regra da Soma e da Constante
A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas. Multiplicar uma função por uma constante não altera a forma da regra: (c·f)' = c·f'.
1.1 Exemplo de soma
d/dx(5x⁴+3x²)=20x³+6x.
1.2 Exemplo de constante
d/dx(7·cos⁴x)=7·d/dx(cos⁴x)=7·(-4cos³x·senx)=‑28cos³x·senx.
2 Regra do Produto
Se f e g são deriváveis, (f·g)' = f'·g + f·g'.
2.1 Exemplo simples
f(x)=x²+1, g(x)=eˣ → (f·g)' = (2x)eˣ + (x²+1)eˣ.
2.2 Exemplo misto (soma + produto)
h(x)=senx + (2x+1)·cosx → h'(x)=cosx + 2·cosx – (2x+1)·senx.
3 Regra do Quociente
Para f/g, com g≠0, (f/g)' = (f'·g – f·g') / g².
3.1 Exemplo básico
f(x)=2x+1, g(x)=x²‑1 → (f/g)' = [2(x²‑1) – (2x+1)(2x)]/(x²‑1)².
3.2 Exemplo composto (produto dentro do numerador)
h(x)=x / (x·lnx) → h'(x)= [1·(x·lnx) – x·(lnx+1)]/(x·lnx)² = (‑1)/(x·lnx)².
4 Derivadas de Ordem Superior
Repetir o processo de derivação: f′, f″, f‴, …
4.1 Polinômio
f(x)=2x³+2x+1 → f′=6x²+2, f″=12x, f‴=12.
4.2 Função trigonométrica
y=cosx → y′=‑senx, y″=‑cosx, y‴=senx, y⁽⁴⁾=cosx (ciclo de 4).
5 Notação de Leibniz
d/dx f(x) indica a derivada em relação a x. Para ordens superiores: d²y/dx², d³y/dx³, etc.
Exemplo: y=x⁴+eˣ → y′=4x³+eˣ, y″=12x²+eˣ.
Resposta correta: B) \( 20x^{3}+6x \)
Aplicando a regra da soma: \( (5x^{4})'=20x^{3} \) e \( (3x^{2})'=6x \).
Resposta correta: A) \( senx + x\cdot cosx \)
Regra do produto: \( f=x,\ g=senx \Rightarrow f' \cdot g + f \cdot g' = 1\cdot senx + x\cdot cosx \).
Resposta correta: A) \( \frac{2(x^{2}-1)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}} \)
Regra do quociente: \( f=2x+1,\ f'=2,\ g=x^{2}-1,\ g'=2x \).
Resposta correta: D) \( (6x+2)e^{x} + (3x^{2}+2x)e^{x} \)
Apesar de ver a gente com um pouco de facelomia e com um pouco de facelomia.
Apesar de ver a gente com um pouco de facelomia e com um pouco de facelomia e com um pouco de facelomia.
Olá pessoal, tudo bem? Na aula passada, a gente já começou a ver um pouquinho como a gente pode calcular a derivada de uma função.
É principalmente de funções alimentares, como as funções trigonométricas e as funções polinomiais.
Hoje, nós vamos estar vendo como a gente pode calcular a derivada de produto e cociente de funções.
Vamos lá? Então, na aula de hoje, a gente vai ver um pouquinho sobre algumas regras de derivação de funções.
Para comentar, nós vamos ver aqui o primeiro teorema que disse que a gente tem uns funções, fg deriváveis, imp, c, uma constante real.
Então, a soma, quando a gente faz a derivada da soma de uma função, é a soma das derivadas.
Quando a gente multiplica por uma constante, é a mesma coisa.
A derivada de uma constante vezes a função é a constante vezes a derivada da função.
E, por fim, aqui, o produto introduce funções.
Quando a gente tem a derivada do produto, aí já não é tão simples.
Não é só a gente aplicar a derivada nas funções e fazer o produto.
A gente tem essa regrinha.
Essa regrinha, a gente pega a derivada da primeira função vezes a segunda, mas a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então, essa é a regra do produto está derivada de função.
Vamos ver aqui alguns exemplos onde a gente vai aplicar essas três categorias de funções.
Então, aqui, nesse primeiro exemplo, a gente tem uma soma de duas funções polenomuais.
Então, eu tenho 5x⁴ mais 3x².
Eu conheço a derivada das duas funções.
Vou popular a derivada de cada uma delas e somar.
Lembrando a derivada de 5x⁴, 4x⁴, então, eu dico com 20x³, porque é 4 menos 1.
A mesma coisa acontece no 3x².
Então, o 2k, eu fico com 6x⁴, 2 menos 1 é 1, então, fico o próprio 6x.
Aqui, um outro exemplo também de soma de funções, derivada da som.
Então, mais uma vez, polenomial aqui, o 7 vai cair, 7 vezes 2, 14.
E aqui, eu vou falar com 6, que é 7 menos 1.
Mas, adrivado do cos⁴, adrivado do cos⁴, então, o final fica negativo, sen⁴.
Então, é bem simples.
Na questão das regras de derivação que envolve soma, é só a gente calcular a derivada separadamente da função e da personagem.
Aqui, a gente já tem um exemplo, onde a gente vai calcular o produto, pelo entenso, a função, de x² mais 1, com a função exponencial de x.
Então, eu vou chamar essa primeira função de f, e vou chamar a segunda de g.
E aí, qual que é a regrinha? É adrivada da f vezes a g, então, adrivo o x² mais 1, que eu obtém o 2x, porque adrivado de 1 é 0, e multiplico pelo tela g, que é a exponencial, então, eu adrivei a primeira função, que é o x² mais 1, e multipliquei pela segunda, não fiz nada com a segunda.
Aí, eu coloco uma soma, e agora, eu conservo a primeira, então, fica x² mais 1, que é a primeira, vezes adrivada da segunda, e ele, embrando que adrivado a exponencial, é o próprio exponencial.
É bem simples de aplicar a regrinha do produto.
Aqui, tem um exemplo, aonde a gente envolve tanto soma quanto produto.
Então, eu tenho aqui uma soma, e aqui eu tenho um produto.
Então, eu primeiro vou calcular adrivada do seno, e vou somar com adrivada do 2x mais 1, vezes o cos, que vai ser um produto.
Então, adrivada do seno, cos, só coloco ela aqui.
Soma, que é a sua soma aqui de cima.
Aqui, eu vou aplicar a regrinha do produto.
Então, eu vou chamar o 2x mais 1, de f, e o cos, de g.
Então, eu tenho adrivada da f, que é 2, vezes a g.
Está aqui.
Aí, mais, a f vezes a g, a f, 2x mais 1, vezes adrivada da g.
Adrivada da g é menos seno.
Então, por isso aqui, aqui, eu adoro surgir esse menos.
A regrinha do produto é mais, mas como adrivada do cos, é menos seno, esse menos que estava multiplicando aqui, esse menos 1 estava multiplicando aqui, e a gente só jogou ele aqui para frente.
Então, é bem simples, só lembrada a regrinha, e aplicar em cima daquelas derivadas que a gente já viu na aula passada.
E aí, tem um segundo teorema.
Esse teorema 2, ele diz, que se fg for indeliváveis em p, e g de p for diferente de zero, então, a gente tem uma regrinha para o cociente.
Mais uma vez, assim como o produto, não é essa calcula ao coci, adrivada do lado da cima, e dividida pela derivada da dibacha, a gente tem uma regrinha, que é bem parecida com a regrinha do produto.
Então, tem aqui, o cociente f por g, e a regrinha é adrivada da f vezes a g, menos a f vezes a derivada da g.
Essa parte aqui, isso é dele muito correga do produto, a não ser pelo sinal, que nesse caso, aqui é negativo, e no produto é positivo.
E aí, a gente tem uma crescima que a gente divide pela g ao quadrado.
Então, é mais uma regrinha que a gente tem que lembrar, mas ela é bem simples de ser aplicada.
Então, há alguns exemplos de como a gente pode aplicar.
Aqui tem um primeiro exemplo, então, eu tenho um cociente, 2x mais 1, por x² menos 1.
Então, eu vou chamar a minha função aqui de cima, de f e a dibacha de g.
Então, eu vou fazer a derivada da f vezes a g, a derivada da f é 2, e vou multiplicar pela g.
É certo? menos a f, então, agora, eu copio a f, e derivo a g.
Então, a derivada da x² menos 1 é 2x, que é derivada da 1 é 0.
E aqui, eu divido pela g ao quadrado.
Então, eu fico x ao quadrado menos 1 ao quadrado.
Então, aqui só mostrando, aquilo que eu acabei de escrever para vocês, e aqui, eu posso fazer a distributiva, a rumata do bonitinho, e simplificar ela dessa maneira.
Então, a gente fez a distributiva, somou o subtraíu, os termos que tinham com potências iguais, e resumiu, reescreveu, simplificando a derivada da função.
Aqui, mais um exemplo, nesse caso, a gente tem um misto de consciente com o produto, e soma, na daquim cima, hoje, tem uma soma, aqui, embaixo, a gente tem um produto, e tudo isso daqui é um consciente.
Então, a gente vai aplicar a regra do consciente e a regra do produto.
Então, vamos fazer, aqui, em cima, a nossa f, e aqui, a nossa g, vamos começar com o consciente, então, é a derivada da cima, da f, derivada de x é 1, vezes a derivada, a função de baixo, então, a gente conserva a função de baixo, sempre a gente deriva 1 e conserva a outra, tanto, é, na regra do produto, quanto na regra do consciente.
Então, eu só copio x, ele é de x, menos, aqui, eu conservo a cima, e derivo a de baixo, e aí, para o derivado, de baixo é um produto, então, eu vou aplicar aquela regra do produto, a derivada da primeira, que é essa é a primeira, essa é a segunda, então, derivada da x é o próprio 1, vezes a segunda, que é o lmx, então, fica a falhêne de x, mas, a primeira, que é x, fez a derivada da segunda, a derivada da lmx, é 1 sobre x, e aqui, a gente vai dividir, pela segunda, ao quadrado.
Lembrando que, aqui, ó, tem um produto, então, x, dividido por x, é igual a 1, posso simplificar para 1.
Então, aqui, só, colocando, de uma maneira mais elegível, então, eu acabei de escrever, aqui, como eu falei, a gente tem x dividido por x, e ficou igual a 1, é que só, eu tenho vezes lmx menos x, e fica, então, com x, mais lmx mais 1, dividido por x, lmx ao quadrado, aí, só distribuir a potência ali ao quadrado.
Então, assim, ficou um pouquinho mais extensso, mas é só, a gente aplicar na regra, em certinho, aquelas funções que a gente já tem, aderizada, que a gente já está aderivado, né? Logarite, no exponencial, funções trigonométricas, e funções polinomial.
Então, é só, a gente lembrada as regrinhas, né? A gente vai usar um múrbito, sendo a regra do produto, quanto a regra do consciente.
Então, onde praticar, faz bastante exercício para lembrar bem.
E aí, a gente pode falar, agora, aderivada de ordem superior, o que seria isso? É quando a gente calcula várias vezes aderivada de uma função.
Então, o calcula primeira aderivada, aí, quando o calcula aderivada, dessa aderivada, estou calculando a segunda aderivada, mais uma vez, a terceira aderivada, e assim, excessivamente.
Então, tem um exemplo aqui, da função fdx, igual a 2x ao cubo mais 2x mais 1.
Ao clé aderivada, dessa função, o 3 caiu aqui, fiquei com 6x, e 6x quadrado, né? 3 menos 1 doido.
Aderivada do 2x, e aderivada do 1 é 0.
E aí, se eu quiser aderivar de novo, a função, eu coloco aqui, então, f2 linhas, estou aderivando a função f pela segunda vez.
Não quer dizer que eu vou lá pegar a aderivada de novo, que vai dar a mesma coisa da primeira.
Vou pegar o resultado da primeira aderivada e aderivar de novo.
Então, aqui, caiu 2, eu fico com 2x, aderivada do 2 é 0.
E se eu quiser aderivar mais de uma vez, aí eu tenho a terceira aderivada, aderivada do 2x, 12.
É um outro exemplo, aqui é a função cos, eu derivo a função cos, de x, ela me retorna menos, sendo de x.
Quando aderivo mais 9 vezes, eu fico com menos cos, né? Ficou aderivada do ceno, então, aderivada do menos sen, é menos cos, e aí eu derivo mais uma vez, eu fico com o ceno.
Se eu derivasse mais uma vez, uma quarta vez, eu voltava, aqui, eu avulsaria aqui para o ceno.
Então, sempre vai ter essa, vai ser fíquico, né? Coceno menos sen, menos cos, sen, sen, aí volta no coceno de novo, é ter sempre essa, essa sequência.
É.
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E mais uma coisa que a gente pode falar sobre derivada, é alguma notação diferente para derivada.
Quando eu falei de taxa de variação, a gente já viu assim meio por si, nessa notação, que é a notação dada por libe.
Então, se a gente tem maí, a função y igual a f de x, quando eu escrevo o derivado de x, e seja a mesma coisa, que está calculando a derivada da função f x.
Então, é só uma notação diferente para derivada.
E aí então, só quero calcular, por exemplo, ddx, essa função, aqui, quer dizer que eu quero calcular derivada em x, dessa função.
Mas, porque eu tenho que indicar quem x? Porque é que a gente está trabalhando com fissões de uma variável só, mas a gente vai ver, né, no etrofrente, no cálculo 2 ou 3, vocês vão ver que a gente trabalha pode trabalhar com fissões com mais de uma variável, e aí você tem que determinar um co variável, você está querendo derivar.
Então, vou derivar aqui, nesta coisa, eu quero 4, 4, x, ocupa derivada, da exponencial ela mesma.
E, quando a gente está falando dessa notação de libene, para derivada de ordem superior, como que a gente escreve, já que a gente não tem as linhas, tu é com o caifilinho, é que a linhas, dessa maneira, isso daqui indica que eu estou derivando duas vezes em relação a x.
Aqui indica que eu estou derivando x são três vezes em relação a x.
E assim sucessivamente.
Então, por exemplo, se eu tenho y igual a x a 4, mais exponencial, e estou querendo calcular aqui, essa segunda derivada de y em relação a x, fica isso quer dizer, quer dizer que eu vou calcular a primeira em x, e o resultado, eu vou calcular de novo em x.
Então, vou derivar a primeira vez em x, meu 4k, como a gente já viu, 4x³, mais exponencial, e aí eu derivo mais uma vez, o 3k aqui fica com 12x², mais exponencial de x.
Então, só uma questão de notação diferente, mas o cálculo da derivada, é o mesmo para outros casos.
Então, na aula de hoje, a gente viu um pouquinho sobre regra de derivação, envolvendo soma, produto consciente, e consciente, vivos também algumas notações diferentes para a derivada e a derivada de ordem superior.
Na próxima aula, a gente vai continuar com um estudo de derivada.
Nos vemos lá, bons estudos.