O texto apresenta uma revisão didática sobre potenciação e radiciação, abordando conceitos básicos, propriedades, exemplos práticos e situações envolvendo expoentes negativos, frações e raízes. O objetivo é reforçar a compreensão desses temas fundamentais da matemática.
Entender como os expoentes se combinam nas propriedades (soma, subtração, multiplicação) e como tratar expoentes negativos e fracionários, pois esses conceitos são frequentemente fonte de confusão.
O material reforça a importância de dominar as regras de potenciação e radiciação para resolver problemas matemáticos de forma correta e eficiente. A prática de exemplos concretos ajuda a internalizar as propriedades e a evitar erros comuns.
O texto explica que elevar um número a uma potência significa multiplicá‑o por ele mesmo tantas vezes quanto indica o expoente. Quando o expoente é zero, o resultado é sempre 1; quando é um, o resultado é o próprio número. As propriedades das potências permitem combinar expoentes: multiplicar potências com a mesma base soma os expoentes, dividir subtrai, e elevar uma potência a outra multiplica os expoentes. Se a base for dividida por outra base elevada a um expoente, o resultado é a divisão das bases elevada ao mesmo expoente. Quando se multiplica ou divide por uma base que já está elevada a um expoente, o expoente pode ser transferido para a base multiplicada ou dividida. Expoentes negativos são tratados como inversos: a^(−n) = 1/aⁿ. Expoentes fracionários transformam a potência em uma raiz: a^(n/m) = √[m]{aⁿ}. A radiciação, por sua vez, é a operação inversa da potenciação, e suas propriedades permitem simplificar expressões envolvendo raízes, como separar numerador e denominador, combinar raízes de mesmo índice, e mover expoentes dentro da raiz.
O conjunto dos números naturais (ℕ) e inteiros (ℤ) forma a base da aritmética, onde os naturais incluem os inteiros positivos e o zero, e os inteiros incluem os negativos. Os números racionais (ℚ) são frações de inteiros, enquanto os irracionais (ℝ \ ℚ) não podem ser expressos como fração exata, como √2 ou π. Os números reais (ℝ) englobam ambos os conjuntos.
As dízimas podem ser terminadas (ex.: 0,75), periódicas regulares (ex.: 0,333… = 1/3) ou periódicas irregulares (ex.: 0,142857142857… = 1/7). A identificação correta ajuda na conversão entre frações e decimais.
As propriedades de potenciação são fundamentais para simplificar expressões exponenciais. Elas incluem a soma de expoentes na multiplicação, a subtração na divisão, a multiplicação de expoentes na potência de potência, e a transferência de expoentes quando se multiplica ou divide por bases já elevadas. Expoentes negativos e fracionários introduzem conceitos de inverso e raiz, respectivamente.
As propriedades de radiciação complementam a potenciação, permitindo simplificar raízes de quocientes, combinar raízes de mesmo índice, mover expoentes dentro da raiz e combinar raízes de índices diferentes. Essas regras são essenciais para resolver problemas que envolvem radicais e potências simultaneamente.
Ola, pessoal! Nessa aula de hoje, nós vamos falar de potenciação e radciação.
Elas estão presentes em várias das atividades que a gente vai resolver no âmbito da matemática.
Então é importante revisitar esses conceitos, checar se você tem dúvidas, se tem alguma coisa que você não viu, se tem alguma coisa que você não lembra, ou que não lembra muito bem.
E para começar, nós vamos ver as potências.
Será que você se lembra de algumas coisas bem básicas? A primeira delas é simplesmente o conceito de potência.
Se eu tenho, por exemplo, dois elevados a três.
Eu vou fazer dois vezes, dois vezes, dois, três vezes, certo? E aí, a gente tem as diferentes possibilidades de potência.
Se eu tiver, particularmente, um elevado a zero, eu sempre que eu tenho um número qualquer que seja elevado a zero, o resultado vai ser um.
Se você tiver curiosidade, você pode colocar essa busca na internet que você rapidinho vai descobrir várias explicações do porquê isso acontece.
E a elevado a um é um número elevado a um.
Ou seja, ele mesmo.
Então, a elevado a um vai ser a.
Cinco elevado a um vai ser cinco.
Dez elevado a um vai ser dez.
E elevado a dois, então, eu número vezes ele mesmo.
A vezes a, e assim vai.
A elevado a três vai ser a vezes a, vezes a, três vezes.
Bom, e aí a gente tem algumas propriedades que envolvem essa potência.
Então, vamos ver se eu tiver um a pode ser um número qualquer real.
Um b que também pode ser um número real qualquer.
E agora as minhas potências que são os números m e n pertecem de seus naturais, ok? Então, a elevado a m vezes a elevado a n, o que que eu faço? Eu vou juntar essas potências.
Eu vou somar essas potências.
Então, vai ficar elevado a m mais m.
Bom, vamos tentar entender um pouquinho do por que isso acontece.
Eu vou colocar aqui do lado, na forma numérica, para ficar mais fácil de visualizar.
Então, eu tenho a elevado a a três vezes.
Vesizá a elevado a dois.
Bom, a elevado a a três vezes é a vezes a, vezes a.
E a elevado a dois é a vezes a.
Quando eu olho tudo isso, o que ficou a vezes a vezes a cinco vezes, né? Ou seja, eu somei três mais dois.
Então, por isso que eu posso representar dessa forma, somando os expoentes.
Agora, eu tenho a elevado a m dividido por a elevado a n.
Na multiplicação anteriormente, a gente somou as potências.
Quando eu tenho uma divisão, eu vou subir trair as potências.
Então, a elevado a três sobre a elevado a dois.
Bom, quando eu falo a elevado a três, de novo vai ser a vezes a vezes a.
E no denominador vai ser elevado a dois.
Então, a vezes a.
O que vai acontecer? Olha só! Eu fiquei com a sobre a vezes a sobre a vezes a sobre um.
Mas a sobre a é um.
Então, eu tenho a elevado a um.
E isso eu posso enxergar como sendo a elevado a três menos dois, que é a elevado a um.
Então, por isso que dá pra gente enxergar a razão pela qual eu faço essa subtração.
Claro que nesse caso eu não comentei, mas esse a tem que ser diferente de zero.
Pois ele está no denominador e a gente já sabe, não posso ter o denominador igual a zero.
Agora eu vou fazer a vezes b elevado a uma potência n.
Eu vou contar pra vocês que eu posso colocar essa potência n tanto no a quanto no b.
E manter a minha multiplicação.
Vamos de novo tentar enxergar isso.
Então, a vezes b elevado ao quadrado.
Bom, se eu tenho algo elevado ao quadrado, é ele vezes ele mesmo, como a gente acabou de falar.
Então, vai ser a vezes b vezes a vezes b.
Isso vai ser a vezes b vezes a vezes b.
Bom, agora eu posso, como é uma multiplicação, a ordem não altera.
Eu posso trocar de lugar.
Aí vai ficar a vezes a, já que é o quadrado e b vezes b, que é b ao quadrado.
Depois, a sobre b elevado a n.
Bom, eu vou dizer pra vocês que eu posso separar aí em elevado a n, tirar o parênteses, e então no denominador ficará b elevado a n.
Bom, agora eu vou fazer de novo um exemplo.
Aqui em que eu vou fazer a sobre b elevado ao quadrado.
Então, é a sobre o b vezes a sobre b.
Quando eu faço essa multiplicação, a vezes a vai ser ao quadrado.
E b vezes b vai ser b ao quadrado.
E por fim, a quinta propriedade é a elevado a m e tudo isso elevado a m.
E isso vai acontecer o quê? Que eu posso multiplicar essas duas potências, o m e o m.
Vamos ver por quê? Vamos ver um exemplo.
O a elevado a 3 e isso elevado ao quadrado.
Bom, se está ao quadrado, eu vou fazer a elevado a 3 vezes a elevado a 3.
Afinal de contas, é a elevado a 3 vezes ele mesmo.
A gente já viu que quando eu tenho uma multiplicação, eu posso somar as potências.
Então, vai ser 3 mais 3, que vai dar 6.
Deixe-me moda, a gente pode ver que realmente eu só vou fazer a multiplicação das potências.
Bom, mas vamos ver agora um exemplo num mérico um pouquinho diferente do anterior.
Antes, a gente estava tendo um número a e um b.
Agora, nós vamos ver um exemplo com números.
A propriedade 1, eu vou colocar com o exemplo.
Então, eu tenho 5 elevado a 4 vezes 5 elevado ao quadrado.
De novo, eu vou fazer como antes.
5 vezes 5 vezes 5 vezes 5, 4 vezes.
Depois, 5 ao quadrado, que é 5 vezes 5, 2 vezes.
E aí, eu consigo enxergar que eu voltei o 5 multiplicando por ele mesmo 6 vezes.
E por isso que é 5 elevado a 6.
Por isso que eu somos expoentes.
Eu consigo enxergar de onde vem essa soma.
E isso não importa quantos fatores eu tenha na minha multiplicação.
Então, nesse outro exemplo, 3 elevado a 4, vezes 3 elevado a 2 vezes 3 elevado a 5.
Não tem problema.
Eu vou manter a base.
A base tem que ser igual que é 3, e eu vou somar os expoentes.
Então, 3 elevado a 4 mais 2 mais 5, então, vai dar 3 elevado a 11.
Na propriedade 2, eu coloquei como exemplo 5 elevado a 8, dividido por 5 elevado a 6.
Bom, a história elevado a 8 vai ser 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5, 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5, tudo isso dividido por 5 elevado a 6.
Então, eu separei aqui como uma fração mesmo para enxergar o dividido que eu penso que facilita para enxergar a simplificação.
Quando eu faço 5 sobre 5, isso é 1.
Então, qualquer número multiplicado por 1 dá ele mesmo.
Eu não preciso representar 1.
Então, eu consigo enxergar eu fazendo essa simplificação.
Como eu tenho 6 embaixo, eu vou cortar, que, na verdade, a gente sabe que não é cortar, simplificar.
E aí, a gente costuma usar isso, vou fazer, vou cortar esse mim embaixo, e vai ficar 5 vezes 5, que é 5 a 4, ou seja, é a mesma coisa que eu tivesse feito a subitração 8 menos 6, que também eu vou enxergar mais rapidamente o 5 elevado a 2.
Na propriedade 3, eu tenho 2 vezes 3 elevado a 4.
Bom, se ele está elevado a 4, então, eu vou fazer 2 vezes 3, vezes 2 vezes 3, vezes 2 vezes 3, vezes 2, vezes 3 de novo.
Vale a mesma coisa que a gente já falou antes, certo? A ordem dos fatores não vai ter alteração no meu resultado.
Então, eu posso colocar primeiro, número 2, e depois, o número 3.
Então, vai ficar 2 vezes 2, vezes 2, vezes 2, e 3 vezes 3, vezes 3 vezes 3.
Ou seja, eu vou ter, então, 2 elevado a 4 vezes 3 elevado a 4.
Já na propriedade 4, eu coloquei aqui uma fração 8, 4, tudo isso elevado a 3.
Bom, eu posso colocar aqui 8 vezes 8 vezes 8, e 4 vezes 4 vezes 4.
Ou seja, ficaria 8 elevado a 3, e 4 elevado a 3.
E, finalmente, a propriedade 5, 3 elevado a 4, tudo isso elevado ao quadrado.
Essa é a importância desse parênteses.
Ele nos indica que o 3 elevado a 4 está ao quadrado.
Então, a gente resolve primeiro que está dentro do parênteses.
Então, eu vou abrir ali 3 vezes 3, vezes 3, vezes 3, que é o 3 elevado a 4.
Bom, como isso está ao quadrado, eu vou fazer isso vezes isso mesmo.
Ele, de novo, então, vai ficar 3 vezes 3, vezes 3, vezes 3, vezes 3, vezes 3, vezes 3, vezes 3, vezes 3.
Então, veja que eu tenho aí o 3 multiplicando assim mesmo 8 vezes.
De modo que a gente consegue enxergar que bastaria, eu fazer 4 vezes 2, pra rapidamente eu resolver essa operação com a potência.
E, cuidado, isso é diferente de colocar 3 elevado a 4, que está elevado a 2.
Sem o parênteses.
Porque aqui, o que está acontecendo? Eu tenho 3, como eu não tenho parênteses, então, como é que fica? É o 3, que está elevado a 4, que está elevado a 2.
Então, o 3 está elevado a 4, que está elevado a 2, que é 16.
Então, é o 3, que está elevado a 16.
Vejam que é diferente da resposta anterior.
Quando a gente tinha um parênteses, tem que ficar atento a isso.
Mas, e agora, se eu tiver uma potência negativa, como é que eu faço? Bom, a gente vai fazer o seguinte.
Cada vez que eu vou fazer uma operação que envolva potência e eu tenho um número negativo, eu vou inverter o número.
Então, se eu tenho dois terços, eu vou ficar com 3 sobre 2.
Mas, se for o número 5, bom, o 5 nada mais é do que.
.
.
Eu queria representá-lo na forma fracionária, o 5 sobre 1.
Então, quando eu inverter, eu vou ter 1 sobre 5, certo? Então, olha lá.
A elevado a a menos n.
Eu vou inverter.
1 vai ficar 1 sobre a, e aí eu mantém o espoiente, só que agora ele fica positivo, porque eu já fiz a inversão.
Vamos dizer assim, inverter para retirar esse menos da potência.
Vamos ver aqui um exemplo.
Eu tenho 2 elevado a menos 3.
Veja, eu vou inverter, vai ficar meio.
Tudo isso é elevado a 3.
Então, vai ficar 1 elevado a 3, e 2 elevado a 3, que, como resposta, eu tenho 1 e estava.
Esse segundo exemplo vai ser 3 meios elevado a menos 2.
Agora, eu já tinha uma fração.
Fica mais fácil de enxergar que 3 meios, quando eu inverter, vai virar 2 terços.
E, novamente, o numerador leva ao quadrado, e o denominador leva ao quadrado.
E aí, eu vou obter 4 nonos.
Se eu tiver um decimal, eu vou escrever ele na forma de fração.
Então, 0,3 é 3 sobre 10.
E agora, eu vou inverter.
Então, vai ficar 10 sobre 3.
Como está elevado ao quadrado? Vai dar 100 sobre 9.
Mas aí, fica uma pergunta.
E se a minha potência for uma fração? Bom, se ele for uma fração, eu vou dizer o seguinte.
A elevado a n sobre m é igual a raiz emesma de a elevado a n.
E aí, eu dou aqui um exemplo.
4 elevado a 3 sobre 2.
Vai ficar a raiz quadrada de 4 elevado a 3, que é 8.
E se eu tiver 125 elevado a 1 terço, vai ficar a raiz cúbica agora de 125, que é 5.
Vejam que agora a gente já entrou na seara das raízes.
Então, eu falei aqui como se todo mundo lembrasse delas.
A gente vai retomar agora as propriedades que são da radciação, que também tem relação com a potência.
Então, como na potência, a gente também vai ter algumas propriedades.
Para começar, a gente parte justamente dessa relação entre a raiz e a potência com um número fracionário.
Na primeira propriedade, eu vou ter a raiz enesma de a sobre b.
E aí, o que eu estou dizendo para vocês é que nessa propriedade, o que a gente vai fazer? A gente vai separar o numerador e o denominador.
E a minha raiz permanece a mesma.
Se for ao quadrado, vai ser quadrada no numerador e no denominador.
Se for cúbica no numerador e no denominador.
Então, por exemplo, aqui eu vou ter a raiz cúbica de 2,5.
Então, vai ser a raiz cúbica de 2 sobre a raiz cúbica de 5.
Na segunda propriedade, quando eu faço uma multiplicação de raízes, eu posso juntar e colocar tudo numa raiz só.
Então, se eu tiver a raiz quadrada com quadrada, raiz cúbica com raiz cúbica, então, essa raiz enesma de a vezes a raiz enesma de b, eu posso fazer que a raiz enesma de a vezes b.
Mais um exemplo.
Agora, a gente tem a raiz cúbica de 9 vezes a raiz cúbica de 3.
Quando eu vou juntar, eu vou ler raiz cúbica de 9 vezes 3.
E aí, 9 vezes 3 é 27.
Então, nesse caso, eu chego numa raiz cúbica de 27, que é 3.
Já a propriedade 3, o que que ela diz? Ela diz que se eu tiver uma raiz quadrada com uma potência no seu interior, por exemplo, a elevado a m.
Quando eu faço tudo isso elevado a t, eu posso multiplicar essa potência m vezes o t, ou seja, informalmente, a gente fala que esse t vai para dentro da raiz.
Então, a raiz quadrada de 2, tudo está elevado a 4.
Eu vou colocar, então, o 4 vejam que o m pode ser 1.
Intensionalmente, eu já pus isso para chamar a atenção de vocês.
Esse m não precisa ser 3, 4, 8, certo? Pode ser 1 e pode ser 1 m qualquer pertencente aos naturais.
Então, eu coloquei ali 2 elevado a 1 mais 4.
Como eu já disse, informalmente, a gente fala que vai para dentro da raiz.
Vai ficar 2 elevado a 4.
2 elevado a 4, a gente sabe que é 16.
Então, eu vou ter a raiz quadrada de 16, que o resultado todo mundo sabe, é 4.
De uma quarta propriedade, se eu tenho uma raiz quadrada e uma raiz cúbica, bom.
Então, nesse caso, eu vou multiplicar o 2 e o 3.
O 2 numa raiz quadrada com 3, que é raiz cúbica.
Por exemplo, agora eu tenho uma situação em que eu tinha uma raiz cúbica de 64.
E dessa raiz cúbica eu tinha raiz quadrada.
Agora, então, vou juntar tudo isso.
Vou fazer 2 vezes 3.
E vou ficar com a raiz cesta de 64.
Para facilitar essa visualização, eu vou trocar o 64 por 2 elevado a 6.
Então, eu posso simplificar e aí eu vou ter como resultado o 2.
A última propriedade, o que eu quero dizer nela informalmente, que talvez seja fácil de vocês enxergarem.
Então, eu multiplico o N vezes UT e o M vezes UT.
Então, nós temos aqui também mais um exemplo.
raiz quadrada de 16.
Se eu quiser multiplicar, eu posso enxergar a raiz quadrada de 16 como 2 elevado a 4.
Então, eu posso multiplicar por 2.
E do lado de fora, vamos dizer assim formalmente, e o 2 dentro da raiz.
Vou ficar com raiz 4 de 2 elevado a 8.
Essa é a raiz 4 de 256, que é 4.
Veja que a gente chegou no mesmo resultado.
Eu fiz intencionalmente para vocês observarem que a raiz quadrada de 16, que foi que a gente começou, é 4 mesmo.
Então, vejam que eu quis mostrar que mesmo multiplicando por fora e por dentro, entre aspas, por favor, por um número qualquer, que no caso foi o 2, isso não vai alterar o meu resultado.
Eu continuo chegando no mesmo resultado que nesse caso é o 4, que é a raiz quadrada do 16 certinho.
Depois da gente vê tanta potência, tanta raiz propriedade e exemplo, chega, né? Nos vemos na próxima aula.