O texto aborda os diferentes tipos de números que usamos na matemática: os naturais, que são os que contamos; os inteiros, que incluem os naturais e os negativos; e os racionais, que são frações de inteiros. Ele mostra que cada conjunto está contido no próximo, formando uma hierarquia N ⊂ Z ⊂ Q. Em seguida, explica quais operações podem ser feitas dentro de cada conjunto e quando o resultado sai do conjunto original. Também detalha as regras de sinais para adição, subtração, multiplicação e divisão, e dá exemplos práticos de cada caso.
Composição do conjunto dos números naturais e inteiros: Os naturais são {0,1,2,…}. Os inteiros são todos os naturais, seus negativos e o zero: {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. Ambos são fechados para adição e multiplicação, mas não para subtração e divisão (quando o resultado não é inteiro).
Particularidades do conjunto dos números racionais, irracionais e reais: Os racionais são frações p/q com p,q∈Z, q≠0. Irracionais são números que não podem ser escritos como fração (ex.: √2, π). Os reais incluem tanto racionais quanto irracionais, formando o conjunto completo dos números que podem ser representados na reta numérica.
Diferenciar os tipos de dízimas: Dízimas periódicas (repetitivas) como 0,333… = 1/3; dízimas periódicas não periódicas (com parte não repetida) como 0,142857…; e dízimas finitas (terminadas) como 0,75 = 3/4.
Propriedades de potenciação e radiciação: Potenciação: a^m × a^n = a^(m+n); (a^m)^n = a^(mn). Radiciação: √(a×b) = √a × √b; √(a^2) = |a|. Essas propriedades permitem simplificar expressões envolvendo expoentes e raízes.
1. Qual dos seguintes resultados NÃO pertence ao conjunto dos números naturais?
2. Qual é o resultado da divisão de 7/3 por 2/5, expressado como fração simplificada?
3. Se -4 × (-3) + 6 ÷ (-2) = ?, qual é o resultado?
4. Considere os números 2, -3/4 e √2. Qual conjunto contém todos esses números?
Olá pessoal! Hoje vamos explorar um tema fundamental, os conjuntos numericos.
Vamos entender melhor os números naturais, representados pela letra N, os inteiros representados pela letra Z, e os racionais representados pela letra K.
Além disso, vamos resolver dúvidas comuns sobre como usar esses conjuntos e realizar operações entre eles.
Preparados? Então, vamos lá! Vocês já ouviram falar dos conjuntos numericos, certo? Vamos começar pelo básico, os números naturais.
Quais são os números naturais? São aqueles que usamos para contar.
0, 1, 2, 3, já os números inteiros incluem os naturais e também os números negativos, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, e os números racionais.
Eles são aqueles que podem ser escritos como frações, 1, 7, 4, menos 5, ou seja, todo número que pode ser representado como uma razão entre 2 inteiros pertence ao conjunto dos números racionais.
Uma coisa interessante é que os conjuntos numericos estão relacionados.
Eles não existem isoladamente.
Veja só, todos os números naturais são também inteiros.
Por exemplo, 1, 2, 3, pertence aos naturais e também aos inteiros.
Todos os inteiros são também racionais.
Isso inclui números como menos 3, menos 5, e menos 7.
Por exemplo, o número menos 3 pode ser escrito como uma fração, menos 3 sobre 1, ou seja, ele também pertence a quê? Isso significa que temos uma espécie de Ierarquia.
Isso se lê assim.
N está contido em Z, que está contido em quê? Ou seja, todo número natural é também inteiro, e todo número inteiro é também racional.
Agora, vamos falar sobre as operações básicas, adição, subtração, multiplicação e divisão dentro desses conjuntos.
Vamos esclarecer algumas dúvidas comuns.
No conjunto dos naturais podemos realizar a adição e multiplicação sem problemas, já que estamos lidando apenas com números positivos.
Por exemplo, 2 mais 3 é igual a 5, ou 4 vezes 5 é igual a 20.
A subtração e a divisão podem gerar problemas.
Por exemplo, 5 menos 3 é igual a 2, pertence ao conjunto dos naturais, porém, 3 menos 5 é igual a menos 2, não pertence.
O mesmo vale para a divisão, 4 dividido por 2 é igual a 2, está o quê? Mais 3 dividido por 2 é igual a 1,5, não é um número natural.
Com os inteiros, podemos trabalhar com números negativos.
Isso nos permite realizar subtrações que resultam em números negativos e multiplicações que mantém o resultado dentro do conjunto dos inteiros.
Por exemplo, adição menos 2 mais 3 é igual a 1.
Subtração 3 menos 5 é igual a menos 2, multiplicação menos 4 vezes menos 5 é igual a 20.
A divisão também é possível, mas devemos lembrar que dividir um inteiro por outro pode resultar em um número racional.
Nos racionais, podemos expressar todas as operações anteriores.
A adição, subtração, multiplicação e divisão são sempre possíveis, desde que o denominador não seja zero.
Por exemplo, adição 1,5 mais 3,4 é igual a 5,4.
Subtração 3,5 menos 1,5 é igual a 1.
Multiplicação 2,3 vezes 3,5 é igual a 1.
Divisão 4,5 divididos por 2,3 é igual a 12,10, que é igual a 6,5.
Como saberem qual conjunto está o resultado de uma operação, depende dos conjuntos envolvidos e da operação realizada.
Por exemplo, ao somarmos dois números naturais, o resultado continuará sendo um número natural.
Ao somarmos dois números inteiros, o resultado continuará sendo um número inteiro.
Ao somarmos dois números racionais, o resultado continuará sendo um número racional.
Mas, ao misturar conjuntos como naturais mais inteiros, o resultado pode sair dos naturais e entrar nos inteiros.
Por isso, é importante ficar atento com os cálculos.
Quando o cálculo envolve números negativos, precisamos prestar atenção aos sinais.
Na adição, a regra de sinais depende de dois fatores.
Se os números têm o mesmo sinal ou sinais diferentes, vamos analisar cada caso.
Se os números têm o mesmo sinal, somamos os valores absolutos, ou seja, ignoramos o sinal e mantemos o sinal deles no resultado.
Mais 5, somado com mais 3 é igual a mais 8.
Menos 4, somado com menos 2, é igual a menos 6.
Agora, se os números têm sinais diferentes, subtraímos o menor valor absoluto do maior e mantemos o sinal do número com maior valor absoluto.
Mais 7, somado com menos 3, subtraímos 7 menos 3, resultando no número 4.
E mantemos o sinal do 7, por ele possuir maior valor absoluto.
Logo, o resultado é igual a mais 4.
Menos 6, somado com mais 2, subtraímos 6 menos 2, resultando no número 4.
E mantemos o sinal do 6, por ele possuir maior valor absoluto.
Logo, o resultado é igual a menos 4.
Um adica valiosa sempre pense na reta numérica.
Adicionar o número negativo é como andar para trás, e adicionar o número positivo é como andar para frente.
A subtração pode parecer complicada, mas aqui vai um adica de ouro.
Subtrair é o mesmo que somar o oposto.
Por exemplo, 5 menos 3, isso é o mesmo que 5, somado com menos 3, resultado mais 2.
Menos 4, menos mais 2.
Isso é o mesmo que menos 4, somado com menos 2, resultado menos 6.
Menos 3, menos menos 5.
Isso é o mesmo que menos 3, somado com mais 5, resultado mais 2.
Agora, vamos para a multiplicação.
Aqui, a regra de sinais é bem direta e fácil de lembrar.
Quando sinais forem iguais, o resultado será positivo.
Quando sinais forem diferentes, o resultado será negativo.
Vejamos alguns exemplos.
Mais 4 vezes mais 3 é igual a mais 12.
Menos 5 vezes menos 2 é igual a mais 10.
Mais 6 vezes menos 3 é igual menos 18.
Menos 7 vezes mais 4 é igual a menos 28.
Lembre-se de calcular o valor numérico normalmente e só depois aplicar a regra de sinais.
Por que essa regra funciona? Vamos pensar juntos.
Imagina que estamos multiplicando por números negativos como se estivéssemos invertendo sentido da operação.
Multiplicar por um número positivo mantém o sentido original.
Multiplicar por um número negativo vira o sentido para o lado oposto.
Então, menos 2 vezes menos 3, um negativo inverte o sentido e o segundo negativo inverte de novo, resultando positivo.
Mais 2 vezes menos 3, só um número negativo inverte o sentido, resultado negativo.
Para a operação de divisão, usamos a mesma regra utilizada para a multiplicação.
Entender em qual conjunto estamos trabalhando é essencial para resolver problemas matemáticos corretamente.
Por exemplo, contagem de objetos.
Usamos os naturais, pois estamos lidando com quantidades positivas.
Temperaturas abaixo de zero.
Utilizamos os inteiros, já que precisamos representar valores negativos.
Divisão de uma pizza em partes iguais.
Trabalhamos com os racionais, pois estamos lidando com frações.
Nesta aula, entendemos como os números naturais, inteiros e racionais se comportam e como usar cada conjunto.
Pratiquem bastante, porque dominar esses conceitos é a base para muita coisa na matemática.
Até a próxima aula.