Começamos com os números naturais, onde só podemos somar e multiplicar. Para subtrair, precisamos dos inteiros. Quando precisamos dividir, introduzimos os racionais, que são frações a/b com b≠0. Definimos igualdade entre frações usando a multiplicação cruzada, adicionamos e multiplicamos frações de forma padrão, e simplificamos frações quando numerador e denominador têm um máximo divisor comum de 1. Também identificamos subconjuntos dos racionais (positivos, negativos, não‑zero, denominador 1) e mostramos que os inteiros são um subconjunto dos racionais. Por fim, explicamos as dízimas finitas e periódicas, que são as representações decimais de frações.
O conjunto dos números naturais (ℕ) contém apenas inteiros não‑negativos e suporta adição e multiplicação. Ao incluir os negativos, obtemos os inteiros (ℤ), que permitem subtração. A expansão para os racionais (ℚ) introduz frações a/b, onde a e b são inteiros e b≠0, permitindo divisão. Os racionais se subdividem em racionais positivos (≥0), negativos (≤0), não‑positivos, não‑negativos e não‑zero, além do subconjunto dos inteiros (frações com denominador 1). As frações podem ser simplificadas quando numerador e denominador são coprimos, resultando em frações irredutíveis.
As dízimas decimais derivadas de frações podem ser finitas (terminam após alguns algarismos, ex.: 1/2 = 0,5) ou periódicas (alguns algarismos se repetem infinitamente, ex.: 1/3 = 0,333…). A distinção entre esses tipos é importante para a representação numérica e para a compreensão de números irracionais, que não podem ser expressos como frações.
Além disso, discutimos as propriedades de potenciação e radiciação, que se aplicam a todos os conjuntos numéricos, mas exigem atenção especial quando se trabalha com frações e números negativos.
1. (2,00 pontos) Qual é a condição necessária para que duas frações a/b e c/d sejam iguais?
2. (3,50 pontos) Qual das seguintes frações é a forma irredutível equivalente a 18/24?
3. (4,50 pontos) Qual é a representação decimal periódica de 7/22?
Olá, pessoal! Estamos aqui na nossa segunda aula dos conjuntos numericos.
A gente começou na aula passada a falar dos nossos conjuntos e começamos com o conjunto dos números naturais em que nele a gente podia apenas tratar da operação de adição e multiplicação.
Para chegar na subtração, a gente precisou expandir o conjunto e entramos então no conjunto dos números inteiros.
E nessa aula, nós vamos seguir essa expansão e entrar no conjunto dos números racionais.
Então, se é jabado aí um número que ele tem que ser diferente de um e diferente de menos um, e a gente vai ver que o inverso de ele não existe dentro do conjunto dos números inteiros em que a gente estava trabalhando.
Então, um sobre que não pertence ao conjunto dos números inteiros.
A gente precisa então definir como é que nós vamos fazer essa operação de divisão e dar significado a ela.
Para isso, para que o símbolo p sobre que que representa para nós essa divisão, a gente vai superar essa dificuldade entrando nesse conjunto dos números racionais.
Quem que então quais são os números que eu tenho que pertencem a esse conjunto? Chama-se conjunto dos números racionais, o conjunto das frações, então, a sobre b, onde se a é o número inteiro e esse b também é um número inteiro.
Claro, tirando o zero é a exceção do zero, porque eu não posso ter um denominador zero, certo? Eles então vão adotar as seguintes definições.
Eu tenho que uma questão que é da igualdade.
Então, a sobre b vai ser igual a c sobre d.
Nessas condições, nesse isso, por verdade, nessas igualidades existe, a gente já costuma fazer a famosa multiplicação em cruz.
Então, significa que vai valer a vezes d é igual a c, vai ser b.
Temos também a adição.
Então, a sobre b mais c sobre d vai ser igual a gente vai usar ali o nosso emmc, vai ser igual a a vezes d mais c vezes b, tudo isso sobre b vezes d.
E temos também a multiplicação.
Na multiplicação é aquele que todo mundo faz rapidinho quando envolve duas frações, que é muito tranquilo.
Multiplica eu disse, meu famoso, multiplico de cima, multiplico de baixo.
Então, se eu tenho a sobre b vezes c sobre d, o meu resultado vai ser a, vezes c sobre b vezes d.
Agora, vejo só.
Na fração a sobre b, a gente vê que a é o numerador e b é o denominador.
Se a eb são primos entre si e a gente já tratou dos números que são primos entre si, eu tenho que nesse caso o emdc deles entre a eb vai ser um.
Lembrando aí, recapitulando o que são os números primos entre si.
Aí, a gente vai dizer que a sobre b é uma fração irredutível, ou seja, se, por exemplo, eu tenho dois quartos, quatro e tavos.
Eu posso simplificar essas frações e chegar a fração mais simples possível que é o meio.
Então, eu posso, eu sei que um sobre dois é a mesma coisa que dois sobre quatro, que é a mesma coisa que quatro sobre oito.
Elas são frações equivalentes, certo? Mas eu posso, então, tratar de todas essas, eu tenho sempre uma delas que aquela que eu não consigo reduzir mais, simplificar essa fração.
Por isso ela tem então o nome de fração irredutível.
No conjunto dos números racionais, a gente também vai ter alguns subconjunto.
Lá, nos números inteiros, a gente também fez isso o seu subconjunto.
Agora, de novo, nós teremos aí os conjuntos que a gente representa como que e o sinal positivo, o sinal demais.
Isso significa que é o conjunto dos números reais não negativos.
Lembrando, o fato de ter o mais não quer dizer que eu vou ter o conjunto dos números racionais positivos, porque por conta do zero.
Então, o que eu posso afirmar é que esses números não são negativos, ok? Aí, eu vou ter também o conjunto dos racionais não positivos representados pelo que, com o símbolo do menos, certo? Da subtração.
E o que é asterisco, que nesse caso, lembrando, é quando eu quero excluir o zero.
Se eu fizer isso, eu vou ter o conjunto do que linha, o que é linha formado pelos números racionais com denominador 1.
E isso quer dizer, então, que a gente tem um subconjunto e esse subconjunto é igual ao conjunto dos números inteiros, certo? Como a gente fez lá dos inteiros que ficaram iguais, esse conjunto ficou igual ao conjunto dos números naturais.
Assim, os racionais condenam nominador igual a 1, comportam-se para a igualdade, a adição e a multiplicação como se fossem números inteiros, que como a gente disse, é um subconjunto nesse subconjunto tem essas propriedades.
Dessa forma, fazendo o racional x sobre um com esse dir com o inteiro x, decorre então, como eu disse, que o que linha é o próprio conjunto z, e portanto, nesse caso, o z, já que eu tenho essa igualdade, eu tenho um subconjunto que é igual ao conjunto z, se é um subconjunto, o que linha, o z também vai ser um subconjunto de quê? Então, a gente viu, sempre vou recapitular que o conjunto dos números naturais era subconjunto dos números inteiros.
E agora, a gente está vendo que os números inteiros representados pelo conjunto do, por um conjunto, dos números inteiros também é um subconjunto, então, dos números racionais do conjunto dos números racionais, ok? Neste conjunto dos números racionais, a gente mantém aquelas propriedades que a gente já viu antes.
Há 1, a 2, a 3, a 4, depois a gente viu M1, M2, M3, e o d.
E agora, a gente vai acrescentar mais algumas, porque agora a gente tem a divisão.
Então, a gente vai acrescentar o M4, que é o métrico ou o inverso para o caso da multiplicação, porque esse inverso, a gente vai chegar na divisão que é o que a gente não tinha antes, certo? Então, para todo a sobre b, pertencente aos números racionais, obviamente ali para nós não vai interessar o a sobre b igual a zero, vai existir um b sobre a, então, por isso que eu não, neste, eu quero o inverso, eu não posso ter o zero e nenhum dos denominadores, e portanto, eu não posso ter esse número igual a zero, né? E dê para os numeradores, porque, quando eu invertele, vai virar denominador, e aí, nesse caso, eu tenho que a sobre b vezes b sobre a, como eu estou fazendo a multiplicação do inverso, isso vai ser igual a 1.
E, devido à propriedade M4, que a gente acabou de ver, e a gente pode definir, claro, que no conjunto dos números racionais, a exceção do zero, enfatizo, por isso que está aí o que com o asterisco, a gente pode, então, definir a operação de divisão, que era como eu disse, a que estava faltando para nós, e está belecendo dessa forma que a sobre b, então, se eu quero dividir esse número, a sobre b, pelo número c sobre d, o que eu posso fazer aqui? Eu vou fazer, que isso vai ser multiplicação, e a multiplicação a gente já sabe como calcular, então, se a gente sair de uma divisão e chegar numa multiplicação, tranquilo para resolver, certo? Então, eu vou ter que isso vai ser a sobre c vezes o inverso, então, vezes d sobre c, claro, a sobre b, e c sobre d tem que ser números racionais.
Note que o número racional a sobre b pode ser representado por um número decimal, ou seja, se eu pegar o numerador, e o denominador fizer uma divisão, pode pegar calculadora e dividir o numerador dividido pelo denominador da sua calculadora, por exemplo.
Na passagem de uma para outra podem ocorrer dois casos, então, quando eu fizer essa divisão, eu posso chegar em dois casos.
O primeiro deles é quando o número decimal, esse valor que obtive a posa divisão, ele tem uma quantidade finita de algoritmos.
Nesse caso, a gente tem uma decimal exata.
Então, por exemplo, 3 sobre 1, isso é 3, tranquilo, isso foi fácil.
Um sobre 2 vai dar 0,5.
Veja o que a sobre c, o número decimal, a minha parte desse mal desse número, ele não segue infinitamente, ele acaba no 0,5.
Acabou.
Um sobre 20 vai ser 0,05.
E é isso, certo? Agora, o número decimal que tem uma quantidade infinita de algoritmos que se repetem periódicamente, diferente do anterior, que era finito.
Nesse caso, a gente tem o que a gente chama de dísima de diódica.
Olha lá um exemplo.
No anterior, a gente fez 3 sobre 1.
E deu 3.
Agora, eu estou propondo fazer 1 terço.
Esse número 1 terço, como eu disse, eu posso fazer essa operação e fazer 1 dividido por 3.
Se eu faço isso, eu vou ter 0,3, 3, 3, 3, 3, 3, 3.
Eu nunca vou ter 1 final, certo? Isso é, então, um caso em que a gente tem 1 dísima periódica.
O 2 sobre 7, isso já, tem que prestar um pouco mais de atenção para enxergar a repetição.
Então, vai ser 2, 8, 5, 7, 1, 4, 8, 5, 7, 1, 4, 8, 5, 7, 1, 4, certo? Então, depois do 2, a gente vai se repetir, e portanto, nós temos 1 dísima periódica.
Então, olha só, nós finalizamos aqui os números racionais vindo aí de uma construção dos conjuntos numéricos, onde a gente começou com os números naturais, fomos pros inteiros, dos inteiros pros racionais.
A gente tem na sequência ainda os números irracionais e os números reais e na próxima semana nós vamos falar de razão e proporção.
A gente se vê.