O material apresenta uma introdução aos conjuntos numéricos, focando nos números naturais e inteiros, suas operações, propriedades e notações. Também aborda brevemente a ideia de conjuntos notáveis e a relação entre números e a reta numérica.
Entender que a subtração não é fechada nos naturais, mas sim nos inteiros, e a importância dos opostos para garantir a fechamento das operações.
O conteúdo estabelece as bases para o estudo de conjuntos numéricos, mostrando como as propriedades algébricas garantem a consistência das operações e como a notação ajuda a distinguir subconjuntos relevantes.
O professor introduz os conjuntos numéricos, começando pelos naturais (0, 1, 2, …) e destacando que apenas adição e multiplicação permanecem dentro desse conjunto. Ele explica as propriedades associativa, comutativa, neutra e distributiva dessas operações. Em seguida, passa aos inteiros, que incluem negativos, e mostra que agora todas as quatro operações são fechadas. Ele descreve os conjuntos notáveis (positivos, negativos, não nulos) e a representação na reta numérica, enfatizando a existência de opostos e a definição de divisibilidade.
Os números naturais são os inteiros não negativos, começando por zero. Eles formam um conjunto fechado apenas para adição e multiplicação, pois subtrair um natural de outro pode resultar em um número negativo, que não pertence ao conjunto. As propriedades fundamentais – associativa, comutativa, neutro e distributiva – garantem que as operações sejam bem comportadas.
Os números inteiros ampliam o conjunto natural ao incluir todos os negativos, permitindo que todas as quatro operações básicas sejam fechadas. A existência de opostos (para cada inteiro a, existe –a) assegura a simetria da adição e a possibilidade de subtração dentro do conjunto. A notação ℤ representa os inteiros, enquanto ℤ⁺, ℤ⁻, ℤ⁰ e ℤ* são subconjuntos que excluem ou incluem o zero conforme necessário.
Os conjuntos racionais, irracionais e reais são introduzidos como extensões dos inteiros. Os racionais são frações de inteiros, os irracionais não podem ser expressos como frações exatas (ex.: √2, π), e os reais incluem ambos, formando um conjunto completo que pode ser representado na reta numérica.
As dízimas são classificadas em periódicas (repetem um bloco de dígitos) e não periódicas (terminam ou não repetem). A diferenciação é importante para a representação exata de frações e para a conversão entre frações e decimais.
Potenciação e radiciação são operações inversas. A potenciação eleva um número a uma potência inteira, enquanto a radiciação extrai a raiz de um número. Propriedades como a associatividade da potenciação e a relação entre radiciação e potenciação (ex.: √a = a¹/²) são fundamentais para simplificar expressões algébricas.
1. (1,50 pontos) Qual das seguintes afirmações sobre os números naturais é verdadeira?
2. (2,50 pontos) Considere os conjuntos ℤ⁺, ℤ⁻ e ℤ*. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
3. (2,50 pontos) Se a = 12 e b = –4, qual é o valor de a ÷ b no conjunto dos inteiros?
4. (3,50 pontos) Qual das seguintes expressões representa corretamente a relação entre a potenciação e a radiciação de um número real positivo x?
Olá pessoal, nessa semana nós teremos os conjuntos numericos.
Na verdade, a teoria dos conjuntos, um pouco dos conjuntos numericos, nós vamos dividir em duas alas, essa e a próxima.
Nessa nós vamos abordar o conjunto dos números naturais e dos números inteiros.
E os demais a gente vê na próxima aula, ok? Vamos começar então pelo conjunto dos números naturais.
Esse conjunto é formado pelos elementos 0, 1, 2, 3 e assim sucessivamente.
A gente vai ver que nesse conjunto nós temos apenas duas operações que se fecham nele, que são fechadas no próprio conjunto dos números naturais.
O que isso quer dizer, Rubia? Isso quer dizer que só tem duas operações que eu faço a operação com os números naturais e a resposta também é um número natural.
Por exemplo, se eu faço 2 mais 3, tranquilo, minha resposta é 5 e 5 pertence ao conjunto dos números naturais.
Mas veja o que se eu fizer, 2 menos 3, a minha resposta é menos 1 e o menos 1 não está no conjunto dos números naturais.
Então, eu não considero que a operação de subtração ela seja fechada no conjunto dos números naturais.
Apenas a adição e multiplicação é que eu consigo fazer isso, ok? E aí nós temos algumas propriedades.
A primeira que vocês já sabem aí que a questão da associativa.
Tanto faz se eu soumo o I, o B primeiro e depois eu soumo C ou se eu faço A mais tendo somado B o C primeiro.
Tranquilo, resposta é a mesma.
A comutativa também já sabemos.
A mais B é a mesma coisa aqui, B mais A, 2 mais 3 é a mesma coisa aqui, 3 mais 2.
E o elemento neutro da adição, o que é o elemento neutro? Quando eu tenho um número eu faço uma soma e ainda assim eu chego no mesmo resultado.
Então, 3 mais quanto que dá 3? 0.
Então, na adição meu elemento neutro é 0 porque qualquer que seja o número quando eu soumo 0, eu obtei o próprio número mesmo.
Agora, a multiplicação.
Eu tenho aí algumas propriedades parecidas com a adição inclusive.
Olha lá, a associativa.
Então, se eu fizer 2 vezes 3, e o resultado disso é multiplicar por 4, ou 2 vezes, o 3 vezes 4, a resposta vai ser a mesma, certo? E daí se eu fizer 5 vezes 6 ou 6 vezes 5, ou seja, como o tatividade tanto faz aí a ordem.
E elemento neutro da multiplicação.
Então, agora eu tenho um número, eu preciso multiplicar por outro número e obter o mesmo número que eu tomei de partida.
Então, 5 vezes quem que dá 5? 5 vezes 1.
Então, agora é 1, que é o nosso elemento neutro da multiplicação.
Eu tenho ainda o que a gente chama de distributiva da multiplicação em relação à adição, ou seja, eu vou misturar as duas coisas.
Você deve conhecer como chuveirinho.
A gente tem a repeu, o professor de matemática escutada dessa forma, mas a gente sabe que, informalmente, é muito comum, né? Que é a vezes b e a vezes c, certo? Então, vai ficar a vezes b, que é a b, mais o b, o a vezes c, tá? Agora nós vamos falar do conjunto dos números inteiros.
O que eu tenho no conjunto dos números inteiros? Agora eu venho lá do infinito, do menos um trinão, e venho vindo, venho vindo.
Cheguei menos 3, menos 2, menos 1, zero, um, dois, três, e assim, vai sucessivamente, né? A gente pode encontrar, nesse caso, alguns conjuntos que a gente chama de conjuntos notáveis, o nome não importa.
O que acontece nesses três conjuntos? Um deles é a representação que a gente faz esse z com o mais, e a gente tende a falar inclusive, como tem esse mais aí, a gente fala que é o conjunto dos números positivos, cuidado, esse, na verdade, é o conjunto dos números não negativos.
Por quê? Porque ele inclui o zero, e aí por isso eu não posso chamá-lo de conjunto dos números positivos.
Se eu quisesse falar em conjunto dos números positivos, aí eu teria que fazer o meu z, com o mais, só que eu teria então que excluir o zero.
Então aí sim, eu tenho o conjunto dos números positivos.
Bom, também tenho o conjunto que eu represento com o símbolo, né, que é usar esse z é diferenciado, com menos.
Bom, de novo, esse não é o conjunto dos números inteiros negativos, é o conjunto dos números inteiros não positivos, ok? E, daí, se eu quiser falar do conjunto dos números inteiros negativos, eu vou ter que fazer uma representação que envolve a exclusão dos zero.
E aí sim, eu posso falar que esse aqui é o conjunto dos números negativos, ok? E já dei uma diantada, um spoiler, se eu quiser retirar o zero, porque, por exemplo, eu vou fazer uma situação que o zero não me convém.
Eu não quero o zero.
Então nesse caso, eu represento com o z, e o asterisco.
E esse asterisco, como a gente já antevei ali, é a exclusão do zero.
E, portanto, é o conjunto dos números inteiros não nulo, ok? Aqueles inteiros a exceção do zero.
Vejo só, nesse conjunto, eu vou manter as propriedades que eu já tinha visto.
A propriedade da adição, um, dois, três, a propriedade da multiplicação, um, dois, três.
E agora, aquela que misturava a adição, isso é a multiplicação.
E agora nós vamos ter mais algumas.
A primeira delas, e a mais importante de todas, é a propriedade simétrica.
A simétrica é a ideia do oposto da adição.
Então, olha só, para todo o a, que pertence ao conjunto dos números inteiros, existe um menos a, tal que a mais o menos a vai dar zero.
Vamos pegar um número aí.
Então, o 5 mais, menos 5, seria 5, menos 5, que vai dar zero.
Por que você está separando, Ruby? É para ficar bem claro que aqui eu tenho o a e o seu oposto que é o menos a.
É óbvio que cotidianamente nós vamos usar a, a, a, a, a, a, a.
Eu só estou querendo que você enxargue isso como simétrico, tá? Como oposto.
Então, a e menos a.
Vamos seguir agora, olhando então, que a partir do zero, eu tenho o sentido que é positivo, e aí é uma gente marca com esse segmento que seria unitário, esse diferente de zero, porque eu estou querendo considerar uma unidade.
Se eu colocar o zero, não tem nenhuma distância, não tem unidade nenhuma, tá? Então, tem que ser algo maior que zero, tá? Essa extremidade, essa distância é do zero, até essa extremidade, a gente tem uma unidade, essa é a extremidade, a gente vai chamar de um.
Do mesmo modo, se a gente fizer uma quantidade de um, mais uma quantidade de um, ou seja, ele vezes essa medida, a gente vai ter na verdade um, o dois, o três, e a gente vai construindo essa relação dos números inteiros com a reta.
Lembrando que, se eu assumo essas unidades, a direita da minha origem, já que a gente escolheu esse, como sendo o sentido positivo, essa representação numérica será positiva.
Se eu fizer essa sequência, pro lado esquerdo, que é o sentido que nós escolhemos como negativo, nós vamos então representar esses números como menos um, menos dois, menos três, a depender de quantas unidades eu assumi.
Uma, duas, três, ok? E, dizemos para concluí-me, que a definição de o inteiro A é divisor de B, que a gente disse o símbolo A sobre B, quando existe o inteiro C, tal que C vezes A é igual A B.
Nessa aula, então, nós iniciamos o estudo dos conjuntos numericos, tendo explorado algumas propriedades do conjunto dos números naturais, e agora, do conjunto dos números inteiros.
Na próxima aula, a gente continua com a sequência dos demais conjuntos.
Até lá!