O material aborda os conceitos fundamentais de união e interseção de conjuntos, suas propriedades e aplicações, além de introduzir a noção de conjuntos distintos e a interação entre as operações.
A ∪ B = {1,2,3,4} quando A = {1,2} e B = {3,4}.A ∩ B = {2,3} quando A = {1,2,3} e B = {2,3,4}.Entender que a união reúne todos os elementos de ambos os conjuntos, enquanto a interseção exige que os elementos estejam presentes em todos os conjuntos considerados. Essa diferença é crucial para resolver problemas envolvendo múltiplas operações.
O conteúdo fornece as bases necessárias para manipular conjuntos em matemática, destacando as propriedades que tornam as operações de união e interseção úteis em diversas áreas, desde a lógica até a análise combinatória.
O vídeo explica que, quando temos dois conjuntos, a união é o conjunto que contém tudo que está em qualquer um deles, enquanto a interseção é o conjunto que contém apenas o que está em ambos. As operações têm propriedades semelhantes às da soma e do produto: podem ser trocadas de ordem (comutatividade), agrupadas de maneiras diferentes (associatividade), e têm elementos que não alteram o resultado (neutro). Se dois conjuntos não compartilham nenhum elemento, dizemos que são distintos e a interseção entre eles é vazia. Por fim, a união e a interseção se combinam de forma que a interseção de uma união com outro conjunto pode ser reescrita usando distribuição, assim como na aritmética.
O estudo dos números começa com a compreensão histórica de como os humanos passaram de contagens simples a sistemas numéricos complexos. Os números são entidades abstratas que representam quantidades, posições e relações. Os sistemas de numeração, como o decimal, binário e hexadecimal, são conjuntos de símbolos que permitem expressar qualquer número dentro de um determinado domínio. O conjunto numérico, por sua vez, engloba todos os números que obedecem a regras específicas, como os naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Ao lidar com operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), é essencial conhecer suas propriedades: associatividade, comutatividade, distributividade, existência de elementos neutros e inversos. Essas propriedades garantem que as operações sejam consistentes e previsíveis, permitindo simplificar expressões e resolver equações.
Para aplicar essas propriedades, é comum usar exemplos práticos: somar 3 + 4, multiplicar 5 × 2, ou resolver 7 – 2. Cada operação pode ser representada em diferentes sistemas numéricos, e a compreensão das regras de cada operação facilita a manipulação de expressões mais complexas.
Em resumo, o conteúdo cobre a evolução histórica dos números, a definição de sistemas de numeração e conjuntos numéricos, a aplicação das propriedades das operações básicas e a resolução de problemas aritméticos simples, preparando o estudante para avançar em tópicos mais avançados de matemática.
1. (1,50 pontos) Qual é a união dos conjuntos A = {1, 2} e B = {2, 3}?
2. (2,50 pontos) Se A ∩ B = ∅, o que isso significa?
3. (3,00 pontos) Qual propriedade NÃO é válida para a união de conjuntos?
4. (3,00 pontos) Dado A = {1,2,3}, B = {2,3,4}, C = {3,4,5}, qual é (A ∩ B) ∪ C?
Olá, pessoal! Continuamos aqui na nossa disciplina de batemática básica, na nossa primeira semana, a aula 3, em que nós vamos continuar falando nas noções iniciais de conjuntos.
No auro anterior vocês viram vários tipos de conjuntos, foi uma bombardeada de conjuntos, conjuntos unitários, conjuntos universos, conjuntos vazios, conjuntos das partes.
E agora nós vamos falar da reunião e da intersecção desses conjuntos.
Provavelmente vocês já viram também essas ideias em momentos anteriores da educação básica, mas aqui vocês vão poder então ou relembrar, ou para aqueles que não viram poder conhecer, então, tanto a união quanto a intersecção dos conjuntos.
Então eu tenho aqui, vou falar da união primeiro, a gente costuma falar a união de conjuntos, formalmente reunião de conjuntos, então dados dois conjuntos, a e b, chama-se reunião de a e b, o conjunto que é formado pelos elementos que pertencem a a ou que pertencem a b.
Por isso que a gente tem aí o símbolo de união, a união com b, é igual a todo elemento x, tal que o x pertence a a ou o x pertence a b.
Então vejam só, a gente vai criar dois conjuntos aqui como exemplo, vou até fazer não formato de diagrama de vêm, já que na aula anterior a gente comentou sobre eles e provavelmente são familiares para vocês os diagramas.
Então eu tenho aqui um conjunto a e um conjunto b.
Neste caso aqui eu desenhei dois conjuntos em que o conjunto a e o conjunto b pertencem números comuns, então nesse pedacinho aqui são elementos que estão em a e também estão em b.
Mas quando eu quero falar da união, eu me importa qualquer elemento que está ou no conjunto a ou no conjunto b.
Então não precisa estar aqui, pode estar em todo o momento, pode ser elemento de a ou elemento de b.
Então eu vou ter essa situação.
Se eu tivesse dois conjuntos com um dentro do outro, por exemplo, nesse caso eu tenho um conjunto, lembrem que é um conjunto do outro conjunto.
Tudo bem, quando eu fizer a união eu vou querer os elementos que estão em um ou no outro.
Então também vou pintar, no caso aqui rachurar, vou considerar como elemento desse conjunto todos esses dois conjuntos no caso, porque um está dentro do outro, no caso aqui bastaria falar como resposta, se esse aqui fosse o conjunto a ou de dentro e b, de fora, bastaria eu representar a resposta como conjunto b, já que ele inclui o conjunto a.
Agora essa reunião tem algumas propriedades.
Eu posso fazer aí algumas coisas com meus conjuntos a partir da união.
Então se eu faça a união de dois conjuntos, só que quando eu fizer eu pegar o a, reunião com a mesmo, a minha resposta obviamente vai ser o próprio conjunto a.
Esses nomes aí provavelmente vocês nunca mais vão usar na vida, mas eu trouxe a título de curiosidade, para que vocês saibam que tem um nome, etc.
Eu posso fazer a união com um conjunto vazio, e aí nesse caso eu vou continuar tendo o meu próprio elemento inicial, meu próprio conjunto inicial, desculpe, que é no caso aqui o conjunto a.
Notei que a gente costuma chamar isso de elemento neutro, porque é aquele conjunto, em que quando eu faça a união com a, eu continuo obtendo o meu conjunto inicial, não tive nenhuma alteração nesse meu conjunto a.
Então eu fiz a união que se aproxima ali da ideia de soma, eu somei com um elemento neutro, que no caso aqui é o vazio.
Eu posso fazer a comutatividade, que a ideia, como a gente está muito acostumado de falar, por exemplo, 3 mais 4 ou 4 mais 3, tem a mesma resposta, o mesmo valor, então aqui também eu posso fazer a união com b, ou b união com a, que eu continuo tendo o mesmo conjunto, o união como resposta.
E eu posso tanto faz a ordem que eu faço essa união, eu posso fazer a união de a, com b primeiro, e depois fazer a união com c, ou eu posso fazer b união com c primeiro, e depois fazer a união com a, por exemplo.
Agora a interseção.
No interseção, eu tenho dados dois conjuntos, e b, vou chamar de interseção, o conjunto formado pelos elementos, cuidado, agora os elementos que pertencem a o conjunto a, e também ao conjunto b.
Esses elementos da interseção, eles têm que estar em ambos os conjuntos, tanto no conjunto a como no conjunto b.
Se eu tiver 3 conjuntos a, b e c, e eu quiser a interseção de todos eles, tem que seus elementos que estão em a, que estão em b e que estão em c.
Ok? Então, vejam, nesse caso aqui o destaque é para que o elemento tem que estar em a, e em b.
Então, aqui sim, é como eu iniciei falando, na verdade, no anterior, se eu tenha aqui um conjunto a, e um conjunto b, eu quero que os elementos estejam em a e em b.
Esse elemento aqui não está em a em b, está só em a, assim como um elemento aqui estaria só em b.
Então, esses não me interessam.
Vou apagar aqui.
Ops.
Minha borracha.
Não está apagando, mas desconciderem esses pontinhos, ok? Porque eu estava querendo exemplificar.
Para fazer a interseção, eu quero então os elementos que estão em a e em b.
Para isso, eu vou pintar, então, no caso aqui, de uma representação por diagrama de vêm, os elementos que estão no conjunto a e no conjunto b.
Então, se eu tivesse agora uma representação no Mérica, título de exemplo também.
Então, 2 e 3.
E no conjunto b, eu tenho o 3, o 4 e o 5.
Para estar na interseção, como ele tem que estar em a e em b, eu vou olhar e falar, quem são os elementos, quais desses elementos pertencem, então, o conjunto a quanto o conjunto b? Então, a interseção com b vai ser apenas nesse caso o elemento 3.
Ok? Agora, eu também tenho algumas propriedades da interseção, assim como eu tinha as propriedades da união, eu vou ter agora as propriedades da interseção.
Se eu fizer a interseção com a, como todos os elementos de a pertencem, obviamente, ao conjunto a, a interseção deles vai ser o próprio conjunto a.
Agora, se eu quiser fazer a união, ah, desculpa a interseção entre o universo e o a, quem está no meu conjunto universo e também está em a, é o próprio conjunto a.
Então, a gente às vezes costuma representar assim o nosso conjunto universo e aqui a gente representa aqui o conjunto a.
Então, nesse caso, se eu faço a interseção, quem está no conjunto a e que, claro, pertence ao meu conjunto universo, a interseção vai ser o próprio conjunto a.
Claro, o conjunto a, a gente pode pensar que ele é um subconjunto do meu conjunto universo.
Agora, se eu faço a interseção com b ou b interseção com a, isso não vai dar a diferença na minha resposta, porque, como eu quero, os elementos que estão em a e em b, eles vão estar em ambos.
Então, tanto faz a ordem que eu coloco aqui para fazer essa representação.
Então, a ideia da como está atividade.
E, da impara, a ideia da associatividade.
Eu posso começar fazendo a interseção com b e depois a interseção com c, ou eu posso fazer b interseção com c e só depois fazer com o conjunto a.
Agora, vem os conjuntos distintos.
Quem são esses conjuntos distintos? Os conjuntos distintos são aqueles que não têm nenhum elemento em comum, ou seja, a interseção deles é o conjunto vazio.
Se eu fosse representar no diagrama de vêm, eu não posso representar como eu fiz anteriormente.
Vai ser aquele conjunto aqui, eu vou ter o a, aqui eu vou ter o b.
Eu não tenho nenhum elemento comum.
Se eu fosse fazer união, eu pintaria os dois conjuntos, o a e o b.
Se eu fosse fazer a interseção, não tem.
Em onde eu pintar, porque nenhum elemento é comum aos dois.
Eu tenho um exemplo.
O 2 e o 3 eu a, o b, o 4 e o 5 e o 6.
Não tem.
Embora eu a tenha dois elementos, o b tem a três elementos, eu não tenho nenhum que está tanto em a quanto em b.
Então, o a interb vai ser igual.
Nós falamos a interb, de forma informal, é mais reclar que a interseção com b.
Nesse caso, a gente vai ter um conjunto vazio.
E aí, por fim, nós vamos falar das propriedades que agora envolve.
A gente viu os propriedades só da união, depois das propriedades só da interseção, e aqui a gente vai misturar as duas.
Então, vejam só.
Se eu fizer a interseção com b, primeiro, e depois fizer a união com a, então vamos fazer aqui a interseção com b, esse é meu a e esse é meu b, que vocês vão conseguir visualizar.
Se eu fizer a interseção com b, primeiramente, então eu vou ter isso aqui.
Depois, se eu juntar, fizer a união com a, eu vou juntar aqui todo mundo.
Veja que, como resposta, eu obtive o próprio conjunto a.
Agora, se eu fizer a união com b, eu estaria pintando todos esses dois conjuntos, certo? Só que aí, depois, eu vou fazer a interseção com a.
Então, de tudo que estava pintado antes, na interseção com a, eu vou ficar de novo apenas com o conjunto a.
Os outros dois são mais difíceis de enxergar.
Não é tão intuitivo como esses dois primeiros, que eu consigo enxergar mais facilmente.
Não vou fazer aqui, não vou me alongar.
Esses vocês vão usar bem menos, então não se preocupe.
É mais a ideia, mesmo conceito de reunião interseção, que vai ser muito útil para vocês, que essa ideia de que essa noção, é importante de que a reunião, eu vou juntar os dois conjuntos, eu sou os três conjuntos, e vou pegar os elementos que pertencem a um ou a outro, e que na interseção, eu vou pegar os elementos que estão em ambos os conjuntos.
Isso é o mais importante que você precisa lembrar sempre, tá? Aqui as duas últimas propriedades, eu faço, então, é como a gente faz aquela, o famoso chuveirinho, não sei se todos conhecem, né? Que a gente vou fazer aqui no mercado, talvez vocês lembrem, 5 mais 2.
Na verdade, a gente fazia 5 mais x, né? Faz isso.
E ficariam então 3 vezes 5 mais 3 vezes 2.
Então, claro, nesse caso, seja a resolviu 5 mais 2.
A gente costuma usar como eu disse, mais para o x.
Então, em vez do 2 aqui, talvez seja mais.
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Facilite a memória de vocês aí, a gente ficaria 3 vezes 5, 15 mais 3 vezes x, 3x.
Então, ficaria 15 mais 3x.
Então, a ideia é semelhante.
Eu tenho a interse.
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União com b em ter c.
E aí, eu vou ficar como resposta.
A união com b, interseção com a união com c.
Vejam que fica muito similar a essa ideia que a gente fez aí com 3 e o parentes de 5 mais x.
E o último vai ficar a interseção com quem primeiro vê união com c.
Então, sempre o resolvo primeiro que está entre parentes e depois, obviamente, eu faço o a união ou interseção com quem está do lado de fora.
É isso aí.
Então, terminamos essa nossa semana.
Nos vemos na próxima semana, continuando aí com a nossa disciplina.
Até lá.