O texto apresenta uma introdução à teoria dos conjuntos, abordando os conceitos primitivos de conjunto, elemento e relação de pertença, além de discutir propriedades fundamentais como igualdade, subconjunto, conjunto vazio, conjunto universo, diferença de conjuntos e o conjunto das partes.
Entender a diferença entre conjunto vazio e conjunto que contém o zero, bem como a importância de definir corretamente o conjunto universo ao escrever conjuntos por propriedades.
O conteúdo estabelece as bases conceituais necessárias para trabalhar com conjuntos em qualquer área da matemática, enfatizando a clareza na definição de elementos, pertença e relações entre conjuntos.
Na teoria dos conjuntos, começamos com três noções básicas: o conjunto (um agrupamento de objetos), o elemento (um objeto que pode pertencer a um conjunto) e a relação de pertença (indicada por ∈). Um conjunto pode ser descrito enumerando seus elementos ou especificando uma propriedade que os caracteriza. Conjuntos especiais incluem o conjunto unitário (com apenas um elemento), o conjunto vazio (sem elementos) e o conjunto universo (o conjunto de referência para todas as discussões). Dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. Um subconjunto é um conjunto cujos elementos também pertencem a outro conjunto maior. O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto de todos os subconjuntos de A. A diferença de conjuntos A \ B contém os elementos que pertencem a A mas não a B. Esses conceitos formam a base para a manipulação e análise de conjuntos em matemática.
A teoria dos conjuntos surgiu como resposta à necessidade de formalizar a noção de “coletar” objetos em matemática. Desde os tempos de Euclides, os matemáticos já agrupavam números e figuras, mas foi no século XIX, com Cantor, que se estabeleceu uma linguagem rigorosa para tratar desses agrupamentos.
Um conjunto é simplesmente uma coleção de objetos, chamados elementos. A relação entre um elemento e um conjunto é a pertencimento, indicada por ∈. Por exemplo, 5 ∈ {1,2,3,5}. Um conjunto pode ser descrito de duas maneiras: (1) enumerando seus elementos entre chaves, como {1,2,3,5}, ou (2) especificando uma propriedade que caracteriza seus membros, por exemplo, {x ∈ ℕ | x é primo}.
Conjuntos especiais incluem o conjunto unitário {a}, que contém exatamente um elemento; o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento; e o conjunto universo U, que contém todos os objetos considerados no contexto atual. A definição de U é crucial quando se descreve um conjunto por uma propriedade, pois a propriedade se aplica apenas aos elementos de U.
Dois conjuntos A e B são iguais se cada elemento de A pertence a B e vice‑versa. A igualdade de conjuntos é, portanto, uma relação de equivalência baseada na pertença.
Um conjunto A é um subconjunto de B (A ⊆ B) quando todo elemento de A também pertence a B. Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B. O conjunto das partes de A, denotado P(A), é o conjunto de todos os subconjuntos de A.
A diferença de conjuntos A \ B contém todos os elementos que pertencem a A mas não a B. Em termos de pertença, x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∉ B).
Esses conceitos permitem a manipulação de conjuntos em operações algébricas, lógica e outras áreas da matemática, fornecendo uma linguagem formal para expressar relações e propriedades de coleções de objetos.
1. (1,50 pontos) Qual é a definição correta de conjunto vazio?
2. (2,50 pontos) Se A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5}, qual é A ∩ B?
3. (3,00 pontos) Considere o conjunto universo U = ℝ e o conjunto A = {x ∈ ℝ | x² ≤ 4}. Qual é o conjunto das partes de A?
4. (3,00 pontos) Se C = {x ∈ ℕ | x é múltiplo de 3} e D = {x ∈ ℕ | x é múltiplo de 5}, qual é a diferença C \ D?
Olá pessoal, estamos aqui na nossa disciplina de matemática básica e nessa aula nós vamos tratar das noções iniciais de conjuntos.
Muitas dessas noções provavelmente você já virou ao longo da sua trajetória na educação básica, mas nós vamos retomá-las aqui, porque elas vão ser importantes ao longo de várias disciplinas que vocês terão nos seus cursos.
Então vamos começar falando de três noções, que são essas três noções que pertencem a teoria dos conjuntos.
E essas três noções a gente não costuma definilas, porque elas são noções que a gente chama de noções primitivas, elas são aceitas, mesmo sem essa definição precisa, os matemáticos gostam muito de definir as coisas e nesse caso a gente vai ter mesmaquela noção que é primitiva que a gente entende aí no nosso dia a dia.
Então, primeiramente, são desses três elementos, o conjunto, o elemento e a relação entre o elemento e o conjunto.
A noção na temática de conjunto é a mesma noção que a gente tem no nosso dia a dia.
Então, é um agrupamento, uma coleção, são classes, são sistema e alguns exemplos a gente tem aí vários, eu trouxe aqui dois que é o conjunto de algoritmos romanos e o conjunto dos números positivos primos.
Cada membro ou cada objeto que entra na formação de um conjunto é ele que a gente vai denominar então de elemento.
Então, nos exemplos que eu dei dos algoritmos romanos, nós vamos ter esses elementos.
Então, um, o cinco, dez, representados aí de outra forma, que é na forma dos algoritmos romanos, vejam que cada um desses representa um elemento desse conjunto.
Assim como a gente falou dos números positivos e primos, então, o dois, o três, o cinco, o sete, assim vai.
Um elemento de um conjunto pode ser de diferentes formas, então, ele pode ser uma letra, ele pode ser uma palavra e, claro, ele pode ser um número.
É importante ser bem, inclusive, que o elemento de um conjunto pode ser um outro conjunto, certo? Não necessariamente o elemento precisa ser um número, por exemplo, no caso no mérico, mas pode ser um conjunto de números.
A relação entre conjunto e o elemento é aquela relação que a gente dá o nome então de pertinência.
Esse nome faz aí uma fácil relação com a ideia do que a gente quer trabalhar, que a ideia de pertincer a.
Então, se eu tenho um conjunto a, x é um elemento desse conjunto a, então a gente fala que x pertence a.
Da mesma forma, se ele não pertenceu, se ele não é um elemento desse conjunto a, então a gente diz que esse elemento x não pertence a.
O símbolo, certamente, você já virou, é o símbolo do, do e, claro, esse e simbólico específico do pertence e quando a gente cruza é o não pertence.
Nós temos aqui também o uso de círculos, às vezes a gente usa um formato não tão preocupado, né, em ter essa representação tão circular, assim, mas a ideia é essa, para representar esses conjuntos.
É o chamado diagrama de euler, vem, a gente usa na verdade diagrama de vem, mas como mente, né? E aí é que a gente tem um exemplo em que eu tenho três círculos, né, então representaria aqui três conjuntos.
E nesses três conjuntos eu posso elementos nesse caso aqui pertence aos três conjuntos, o elemento que pertence só a um deles, há dois deles.
Quando eu vou descrever um conjunto, eu tenho dois recursos para isso, eu posso, se for um número, né, um conjunto numérico, eu posso enumerá-lo porque um conjunto numérico eu consigo ter essa ordenação, alguns conjuntos eu não consigo fazer isso, então, por exemplo, tímis de futebol.
Quando eu pego alguns tímis de futebol eu não tenho uma ordem, eu tenho aí um conjunto de nomes, né? Então, nesse caso eu também vou colocar esses nomes representando e aí então, sem uma ordenação, mas eles podem ser normalmente elementos de um conjunto representados dessa maneira.
E a outra maneira é darmos propriedades características desse conjunto.
Então, quando eu disse um tímido de futebol, essa, do estado de São Paulo, da primeira divisão, por exemplo, eu estou fazendo aí uma descrição do meu conjunto sem, de fato, dizer que elemento é esse.
Eu estou descrevendo esse conjunto, essas são as duas formas, ou eu digo quais são os elementos, ou eu digo uma propriedade desse conjunto.
Quando eu faço essa descrição dos elementos, eu vou colocar então esses elementos representados entre chaves.
Nesses que a gente viu, como exemplo, eu posso, né, tem aí as duas representações juntas agora, uma entre chaves em que eu estou dizendo quais são os elementos e outra pela descrição desse conjunto, segundo a sua propriedade.
Observem que quando esse conjunto ele é finito, eu começo e termino com a chave tudo bem.
Se ele for um conjunto infinito, como, por exemplo, aí dos números primos positivos, eu indico com um reticências.
Quando queremos escrever um conjunto A por meio de uma propriedade, que seja característica desse conjunto, a gente, então, nomeia essa característica de P, dessa propriedade, uma relação entre a spalada e a palavra elétrica, de seus elementos que a gente, como sempre, costuma representar bem usualmente de x, nós vamos colocar dizer que A é um conjunto x, está o quê? Essa barra indica tal que, não sei se todo mundo conhece, essa representação.
Então, o conjunto A, formado pelos elementos x, tal que x tem essa propriedade p.
Ou A é um conjunto dos elementos x que tem essa propriedade p, são as duas formas de representar.
Então, eu tenho, como exemplo, aí, trouxe dois exemplos.
Então, um conjunto x, tal que x é divisor de 3.
Então, por exemplo, o próprio 3 é um elemento desse conjunto.
E x, tal que x é um inteiro em que ele é maior a igual a zero ou menor a igual a 100.
Um conjunto, agora nós vamos falar daquele que a gente vai denominar de conjunto unitário.
A gente vai ver alguns conjuntos primeiro deles aqui ao conjunto unitário.
Como o nome já sugera, é aquele conjunto que possui apenas um único elemento.
Então, se eu tenho, por exemplo, a equação 3x mais 1 igual a 10, se eu resolves essa equação, o que que eu faço? Vou ter 3x igual a 9.
3x igual a 9, eu vou fazer o quê? Vou encontrar o x fazendo 9 sobre 3.
E aí 9 sobre 3 dá 3.
Então, só tem um único elemento que eu coloco nesse substituo, pelo x, que é o 3.
E aí eu faço 3x 3 mais 1, que dá 10.
É uma solução única.
E aí, para não ficar apenas, no exemplo, no merco, eu trouxe outro exemplo, que é o conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai.
Eu só tenho um único estado, aquela pausa para ver se você lembra qual é, que é o Rio Grande do Sul.
Um outro conjunto que a gente também costuma usar bastante, vocês já devem também já ter visto, que é o conjunto denominado de conjunto vazio.
O símbolo, tome cuidado, existem duas formas de representar o símbolo, que a gente representa esse que parece um zero cortado, mas a gente pode também representar com a chave e dentro dessa chave, não colocar nada.
Esse conjunto vazio, cuidado, porque a gente confunde que é colocar, por exemplo, o zero dentro dele.
O conjunto vazio é o conjunto vazio mesmo.
Eu não tenho nenhum elemento que pertence a esse conjunto.
Eu uso justamente quando eu quero dizer que eu não tenho uma solução possível e, portanto, a resposta é um conjunto vazio, porque não tem nenhum elemento que eu coloco dentro desse conjunto, que eu resolvo que eu tenho aquela característica P, por exemplo.
Por outro lado, eu tenho o conjunto universo.
O conjunto universo é aquele que é o conjunto amplo de onde, então, eu posso escolher os meus elementos.
Então, quando eu vou desenvolver um certo assunto de matemática, admitimos a existência de um conjunto U, que é um conjunto universo, ao qual pertece em todos os elementos utilizados nesse assunto que eu estou trabalhando.
Esse conjunto, então, eu conjunto o universo.
Bom, se eu quero, por exemplo, procurar soluções reais de uma equação.
Então, nem todos os elementos do meu conjunto dos números reais vai ser solução da minha equação.
Mas, quando eu digo que eu vou procurar uma solução dentro do conjunto dos números reais, esse conjunto maior onde eu vou buscar a solução da minha equação é aquele conjunto que eu chamo de conjunto universo.
Portanto, quando vamos escrever um conjunto através de uma propriedade P, é fundamental a gente fixar qual vai ser o nosso conjunto universo, em que a gente vai procurar ali as soluções para mim, que tem essa propriedade P.
Então, eu costumo escrever dessa maneira, a vai ser igual um conjunto dos elementos X, esse X, então, pertencia U, ou seja, pertencia o meu conjunto universo, e tal que ele tem ainda algumas características nesse caso.
Então, tem a propriedade P, como a gente estava representando até agora alguma característica do meu conjunto.
Então, dois conjuntos A e Bs, eles são iguais.
Então, agora, estou falando de conjuntos iguais.
Quando que eu posso considerar que dois conjuntos são iguais? Quando todo elemento de A também é elemento de B.
Só nessas condições é que eu vou ter dois conjuntos iguais.
E, claro, recíprocamente todo elemento de B também é elemento de A.
Então, aí também está na representação matemática.
A vai ser igual a B, ou seja, o conjunto A igual o conjunto B, desde que, necessariamente, seja, qualquer elemento X, ele pertencia A e também pertencia B.
Aí, eu trouxe um exemplo.
Se eu tenho lá um X pertencente aos reais, tal que dois X mais um é igual a 5.
Quando eu resolvo essa equação, de novo eu vou ter uma solução única, como eu dei no exemplo anterior, que é o 2.
Então, eu posso escrever essa igualdade X mais um igual a 5, quem é a solução desse conjunto é o 2.
Então, dessa equação é o 2.
Eu tenho a igualdade entre esses dois conjuntos.
Também tenho aqui os X, inteiro, positivo, e, porque a gente eu tinha visto, eu tenho, aí, também uma igualdade, porque, se eu coloco esses elementos, eu estou aí falando de elementos que estão aqui, todos que estão num conjunto.
A direita que dá uma igualdade também são elementos do conjunto que eu representei aqui a esquerda da minha igualdade.
Observem uma pergunta que, muitas vezes aparece, essa repetição dos elementos.
Então, uma notação que a gente é mais de nútil, porque eu não preciso representar o elemento A, 3 vezes, 2 vezes.
Quem são os elementos do meu conjunto é o A e o B.
Não preciso dedicar isso várias vezes.
Vocês vão ver em estatística, futuramente, muitos dos cursos aqui tem, a disciplina de estatística.
Isso faz diferença quando eu estou falando de elementos, por exemplo, a idade de um conjunto de pessoas.
Então, aí sim faz diferença para mim.
Se eu tenho 20 pessoas com uma idade de 25 anos e 3 pessoas com idade de 20, eu quero fazer uma média.
Então, aí eu faço a descrição de todos esses números.
Mas esse é um caso específico que a gente vai representar dentro da estatística nessas condições.
Aqui, quando a gente trabalha com a teoria dos conjuntos, a nós não interfera a gente quer saber quem são os elementos desse conjunto.
O elemento A e o elemento A, não nos importa quantas vezes.
Ele aparece trazendo aí da sua situação de onde você obter esses números, no caso foi em números, aqui o A e o B representando algum elemento genérico.
Então, se a não é igual a B, a gente vai ter o símbolo do diferente, que a gente já conhece, então a gente indica que a é diferente de B.
E aí, nesse caso, a gente tem um exemplo de dois conjuntos em que eles não são iguais, porque o elemento D está em um dos conjuntos e não está no outro conjunto.
Então, ainda que eu tenha três elementos que estejam, que pertençam aos dois conjuntos, eu tenho que ter que todos de um conjunto tem que estar também no outro conjunto e o D não está em um deles.
Subconjunto.
Então, um subconjunto A é um conjunto A, é um subconjunto de um conjunto B, sei somente ser todo elemento D, pertence também A, B.
Então, vejam que agora eu não tenho essa reciprocidade, nem todo elemento D, precisa estar B, e B estar em A.
Quando eu falo um subconjunto, aí sim, eu quero pegar alguns elementos do meu conjunto e formar então que a gente chama de subconjunto.
Essa é a notação que a gente tem, a gente também pode falar que a subconjunto B pode falar que a é parte de B.
E o símbolo, esse aí que vocês provavelmente também já viram, é na verdade o nome, a gente chama de sinal de inclusão.
Então, A está incluído no conjunto B, está contido no conjunto B, todo elemento D, também é elemento D, então, nesse caso aqui vejam, ainda aqui o conjunto maior, a BCD tem a mais elementos, o AB, o conjunto dos elementos AB, também temos o A e o B no outro conjunto, então, ele é um subconjunto do conjunto maior.
Assim como, por exemplo, o conjunto dos números pares, ele está contido no conjunto dos números inteiros, certo? conjunto dos números inteiros é mais amplo do que o conjunto dos números pares, tem? Quando A está contido em B, também podemos escrever numa outra forma que o B contém o A.
E assim como a gente fez pertence, não pertence aqui, eu também posso falar do contido e posso falar que o A não está contido em B.
Isso, por exemplo, a gente pode ter um conjunto ABC e um outro conjunto ABDEF.
Nesse caso, nesse primeiro conjunto que nós temos, ainda que o A e o B estejam lá, e também pertençam ao outro conjunto maior, eu não posso falar que o conjunto ABC está contido nesse conjunto maior, porque o elemento C está nesse conjunto, pertence esse conjunto e não pertence ao outro.
E como a gente viu, todos os elementos deveriam pertencer.
Vocês vão ver algumas propriedades aqui que vocês vão usar de forma intuitiva ao longo das disciplinas, mas elas são definidas matemáticamente.
Então, o primeiro conjunto vazio está sempre contido em outro conjunto, ou seja, ele é sempre um subconjunto de qualquer conjunto, o A está contido dentro do A, ou seja, um conjunto está contido dentro dele mesmo, e o A está contido em B, e o B continua em A significa que A é igual a B, como a gente viu a questão da igualdade.
E se o A está contido em B e o B está contido em um outro conjunto C, então a gente, por transitividade, diz que A também está contido em C.
O conjunto das partes, agora, dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A, a gente faz essa nota-são, P, D, aquele que é formado por todos os subconjunto de A.
Então, se eu tenho um conjunto A e B, por exemplo, então, o conjunto do elemento A, só esse elemento dentro do meu conjunto, ele é um subconjunto do conjunto que tem A e B, como elementos.
E assim, outros conjuntos que a gente pode encontrar dentro do meu conjunto.
Nesse caso, a gente vai denominar de subconjunto.
A representação, então, P, D, A, observa que, agora, o X está o X está contido em A, ele está em maiúsculo para indicar justamente que ele é um conjunto, porque ele é, afinal, um subconjunto do A.
Então, é um conjunto que é subconjunto de outro conjunto que, no caso, eu A.
E, por fim, a diferença de conjuntos, como o nome sugere, quando eu falo em diferença, é 1 menos o outro.
Estou fazendo a ideia da subitração.
Então, quando eu tenho a diferença dos conjuntos, eu tenho, então, dois conjuntos, A e B, conjuntos quaisquer, a diferença de A menos B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
E aí, para a gente escrever também na forma matemática, eu vou ter A menos B, quem quitar esse conjunto, quem são os elementos que pertencem a esse conjunto, todo elemento X, tal que o X pertence A e o X não pertence a B.
A gente continua falando da teoria dos conjuntos dessas noções iniciais de conjunto na nossa próxima aula.
Beijo vocês!