Quantificadores Predicados e Validade

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Texto extraído do video Fundamentos Matemáticos para Computação - Quantificadores, Predicados e Validade

Olá, alunas e alunos do curso de Fundamentos Matemáticos para a Computação.
Nesta vídeo eu vou falar de quantificadores predicados e validade.
Então, mais nós está iniciando os nossos estudos geológicas predicados, apresentando quantificadores e predicados a sua interpretação e as possíveis representações.
Então, nós temos aqui essa proposição para todo x, x, maior que zero, que vai ser verdadeira para todo x inteiro positivo.
Nós identificamos aqui um quantificador e uma propriedade, um predicado.
Os quantificadores, eles vão nos dar uma noção de quantos objetos vão ter determinada propriedade.
Nesse contexto, o quantificador universal vai ter esse símbolo e vai ser interpretado como para todo, para cada ou para qualquer.
O que significa que para todo x, x, maior que zero, eu faço esse tipo de uso da notação para representar essa propriedade.
O valor lógico vai depender do domínio dos objetos.
Por exemplo, se nós estamos interpretando aqui que para todo x, px, corre, essa proposição vai ser verdadeira, dependendo da propriedade.
Se a propriedade é x e amarelo no conjunto de todos os notões de ouro, verdadeiro, para todo x, nós vamos ter que ir amarelo no conjunto de todos os notões de ouro.
Agora, ele já vai ser amarelo no conjunto, no domínio de todas as flores.
Isso não é verdade, temos as rosas como com 3.
Ou x é uma planta no conjunto de todas as flores.
Sim, isso é verdade, o conjunto de todas as flores, x é uma planta sempre.
x é positivo ou negativo no conjunto dos inteiros.
Falso porque o encontro exemplo para isso é zero no conjunto dos inteiros.
O quantificador existencial representado por esse símbolo, ele vai passar a noção de que existe a tela ou menos um, existe algum ou para algum elemento a propriedade ocorre.
Então, ela não necessita ocorrer para todos, mas está pelo menos 1.
O valor lógico novamente vai depender do domínio dos objetos.
Nesse conteúdo, nessa linha de predicados, nós podemos ter predicados com um argumento que seguimos os unários, consideram propriedade de uma única variável, com dois argumentos binários que consideram propriedade de duas variáveis, ternários com três variáveis e n-arios com m-variáveis.
Então, esses predicados podem contervar os argumentos.
Aqui, nós temos um exemplo de um predicado binário onde temos x menor que y no conjunto dos inteiros.
Vamos interpretar isso considerando para todo x, existe o y que que x y ocorre.
Nesse contexto seria que, para ter anos que para todo x, existe um y, tal que x é menor que y.
Bom, isso é verdade.
Para todo inteiro, qualquer inteiro que eu imaginar, eu tenho um valor maior que ele.
Vamos se eu pensar na valor x qualquer, vai ter x mais 1.
Pelo menos, certo? Então, nós temos um nome infinito de valores no conjunto dos inteiros.
Por isso, o que eu fiz essa pequena mudança sutil aqui de inverter a ordem dos contificadores já muda no sal.
Agora, a interpretação seria, existe um y para todo x, tal que x é menor que y, o que é falso.
Eu não vou ter um y que é maior que qualquer valor inteiro.
Continuando nesta interpretação, eu posso colocar como um elemento domínio, dentro dessa simbologia, ao mesmo objeto.
Então, interpretando no contexto dessa propriedade, nós teremos para todo x, para todo x que existe x seria, para todo x temos x menor que x, o que é falso, eu não vou ter um inteiro que é menor que ele mesmo.
Ou eu posso, por exemplo, ter como um dos argumentos um valor constante, como é o caso do número 7 aqui.
E, nesse caso, eu vou interpretar que, para tudo x temos x menor que 7, o que também é falso, nem 7 não é o maior entre todos os inteiros.
Bom, uma interpretação, então, de uma expressão compre dedicada, vai consistir em identificar uma coleção de objetos que é chamada, então, de conjunto universo, que vai incluir alminos um objeto para fazer sentido, certo? Temos que identificar também a propriedade, uma propriedade dos objetos no domínio para cada predicado na expressão, então, quando nós temos um momento de uma expressão diferente de predicados, eu vou ter uma propriedade relacionada a cada um deles.
E a atribuição de um objeto em particular, no conjunto no universo, para cada símbolo da expressão.
Como seria isso? Então, nós temos nesse momento, então, que diferir dois tipos de fórmulas bem formuladas.
Nós temos as fórmulas bem formuladas, predicadas que contem predicados e quantificadores e as proposicionais que contem apenas letras de proposições e conectivos lojas.
Ou seja, aqui nós estamos no conjunto daquela representação que vimos até a aula passada.
E aqui nós já entramos no conjunto que quantifica e ela dentro de um domínio e a sociedade é terminada a propriedade.
Daí, as fórmulas bem formuladas predicadas.
Então, agora nós vamos começar a explorar esse contexto que é onde essa interpretação que eu mencionei, nós vamos ter que ter esse tipo de loção de coleção de objetos, de domínio, de propriedade e de atribuição de um objeto particular nesse conjunto no universo.
Então, vamos interpretar numa forma bem formulada, com predicados.
Neste caso, vamos assumir o conjunto dos inteiros e nós temos aqui a propriedade a x que seria x maior que zero, bxy, x maior que y e cd y que é y² maior que zero.
Vamos interpretar nesse contexto como isso é que fica.
Mas vamos ter que para todo x positivo existe um y tal que ccx formou maior que y, então y² é maior que zero.
É saberlo? Então, nós conseguimos, agora, olhando para isso aqui, associados propriedades, fazer uma interpretação disso.
Agora, vamos para o caminho contrário, vamos representar, vamos representar as sentências em português como fbfs, formas bem formuladas, predicados.
Todo papagai é feio.
Como que nós podemos interpretar isso? Que data uma coisa se ela era um papagai, então ela é feio.
Vale, todo papagai é feio.
Implicitamente, o que nós estamos dizendo que data uma coisa, se essa coisa é um papagai, eu já sou uma que ela é feia.
Se px é propriedade de que x é um papagai e f de x de que o objeto x é feio, o que eu estou amarrando, é isso aqui, que para todo x, se x é papagai, eu concluo que ele é feio.
Isso é erdo? Bom, o sentido muda, se eu, por exemplo, fizer essa associação aqui, o que eu estou querendo dizer aqui é outra coisa.
Eu estou querendo dizer que para todo x, ele é um papagai e feio.
Então, todo objeto no meu domínio, ele não é que se ele for um papagai, todo objeto no meu domínio é um papagai e feio.
O que provavelmente não é verdade, certo? Todos não estão juntos no universo, vão ser papagais e feitos.
Bom, agora vamos pensar.
Existe um papagai.
A gente pode interpretar isso com, existe alguma coisa, existe um papagai e feio.
Nós podemos interpretar isso com, existe alguma coisa que é o mesmo tempo papagai e feio.
Repare, então, que aqui eu estou dizendo que existe o x, que é papagai e feio.
E tem a propriedade ser papagai e feio simultaneamente.
Onde px, a x, a x, a x, a x é feio.
Então, repare que a primeira coisa que a gente tem que noção, que a gente pode pegar aqui, para facilitar no entendimento, que, em geral, para todo, ele está associado a uma implicação.
E o existe, ele está associado a uma conjunção ao ele.
Então, vamos considerar os seguintes predicados para continuar ilustando essas ideias.
Se considera que ddx é um dia, sdx, x é um solarado, rdx, x é churroso.
Então, se eu falar, há dias insolarados, eu posso repensar essa frase, eu estou dizendo assim, há dias insolarados.
Então, existe alguma coisa que eu já cliquei aqui.
Existe alguma coisa, que é dia insolarado, existe x que é dia, e insolarado.
Agora, muda se eu falar, todo dia insolarado não é churroso.
Então, repare agora como todo, ele está associando aqui, uma relação de causa efeito.
Todo dia, insolarado não é churroso, ou seja, para todo x, se ele é dia insolarado, então, ele não é churroso.
Então, eu estou aqui negando o rx, x é churroso.
E temos a relação de implicação, todo dia insolarado, dia insolarado não é churroso.
Bom, para mais um exemplo aqui, voltando, né, x é um dia, sdx, insolarado, rdx, x é churroso, nenhum dia é insolarado.
Ou seja, uma maneira simples de eu pensar isso aqui, do ponto de vista de representação, é a seguinte, vamos pensar o contrário.
Vamos supor que existe um x que é dia insolarado, e negar.
Se eu negar, eu estou dizendo que não existe um x que é dia insolarado.
Ao negar, eu vou aproveitar aqui, então, para mostrar umas relações que a gente inferi disso.
Negando isso aqui, nós, na verdade, estamos negando, aí, que valente, estamos negando, o quantificador existencial de que existe um x, estamos negando a propriedade.
Isso significa que, se eu estou negando a propriedade, e negando, então, que existam x que atendam a propriedade, eu vou dizer que, para todo mundo, essa propriedade não ocorre, não ocorre o tonegando ela.
E quando eu estou negando isso, reparem bem quem está aqui dentro.
Ai, belegado, leide de morgan.
Então, nesse caso, que eu vou fazer, nega cada termo troco conectivo de er pra ou.
Lembrando ainda das regras de equivalência, nós temos o quê? Então, para todo x, eu estou negando, de x não é dia, ou não é insolarado.
Mas eu posso interpretar isso, também, usando a regradia que valência condicional.
Então, nesse caso, eu vou ter que, para todo x, se eu nego o dx, eu vou ter, negação do dx, eu vou ter dx, troco o ópila, a implicação, e tenho o s, mantém o s legado, a negação do sx.
Então, o que eu vou ter agora? Então, a primeira interpretação aqui nessa linha seria que, para todo x, não é dia, ou não é chuvoso, não é insolarado.
E na última linha, eu vou ter interpretação aqui, para todo x, se ele é dia, então, ele não é insolarado.
Certo, isso tem que acontecer.
Por exemplo, a gente sabe que essa implicação continua verdadeira, se não for dia, se um antecedente for falso, a implicação mantém-se verdadeira, mantém-se vale.
Então, os prodemos inferir agora, a seguinte relação que vai ser bastante útil para a gente, a negar que exista x, tal que é uma propriedade a dx, ou qual, o príticago a dx, ocorre, equivalente a firmar que, para todo x, a dx não ocorre.
Então, se existe algo lindo, equivalente a dizer que tudo não é lindo.
E o contrado também, se eu tenho que, para todo x à dx negado, eu vou ter que existe x, tal que não ocorre a dx.
Então, se eu digo que tudo é lindo, aí, equivalente a dizer que existe algo que não é lindo.
Alguma coisa que não é linda, certo? Bom, considera, então, os seguintes praticados, vamos manter ainda o nosso exemplo anterior, x é um dia x, encelorado, x é chuvoso para dx e r.
Se algum dia for insolarado, então, todos os dias serão insolarados.
Vamos observar, então, com cuidado isso aqui.
Então, se existe algum dia, encelorado, então, repare que aqui é muito explícito o c, então, se algum dia for insolarado, então, se existe o x que é dia insolarado, então, todos os dias serão insolarados, para todo x se ele é dia, então, ele é insolarado.
Por causa daquela interpretação do todos que nós já vimos, todos os dias serão levam a ser insolarados.
Em todo esse contexto de representação, principalmente, nós temos que ser passando do português para a notação matemática, na lógica de predicados, advermos, como só, somente apenas, eles custam um geral confusão.
E aqui tem um pequeno truque para lidar com isso.
Então, vamos considerar aqui a propriedade jx, que x é João, mx, x é Maria, e adx, y, x é M, y.
Então, João ama apenas Maria.
O que significa isso? Que para todo x que é João, isso leva ao fato de que, para todo y que ele ama, esse alguém é Maria.
Bom, é muito conceito.
Eu sei que uma interpretação como essa não é trivial e aqui vai adipa.
O consequente é a palavra que tem depois do apenas.
Então, nós estamos levando a uma dedução sobre Maria.
Então, João ama, ou seja, apenas Maria.
Bom, para todo x que é João, porque eu não discriminei, João, qualquer João.
Para todo x que é João, isso implica que, para todo mundo que ele ama, qualquer João vai amar, qualquer y que seja Maria, levando a Maria.
Vamos continuar trabalhando essas ideias.
Seja essa sentença agora, apenas João ama Maria.
Novamente, nós podemos repensar isso aqui como, se alguma coisa ama Maria, essa coisa é o João, apenas João ama Maria.
Da do alguma coisa se formaria.
Então, se alguma coisa amar Maria, essa coisa será o João.
Então, nós vamos representar desse jeito, já mudou.
Para todo x, se esse x é Maria, isso leva aqui para todo y que ama esse x que é Maria, esse y vai ser o João.
Então, observe que novamente vale aquela regra de que o consequente, o que está depois da diverga aqui.
Então, o consequente é a palavra que vem depois do apenas.
O João, diferente do que a gente tinha no caso anterior, Maria.
Então, essa é a dica boa para guiar quando a gente começa a ficar muito confuso nesse ponto.
Bom, agora nós temos.
João apenas uma Maria.
Então, se João tem alguma relação com Maria, essa relação é amor.
Da da uma coisa se for João, da da outra coisa se formaria, então João ama Maria.
Novamente, o amor aqui vai estar como consequente disso, depois do apenas.
Então, nossa representação vai ser que para todo x sendo João, então para todo y sendo Maria, vamos ter que x ama y.
Então, o que está em que você está fazendo é que você pode ser muito confuso.
No caso novamente, o consequente é a palavra que vem depois do apenas.
O amor aqui, então o predicado que apareceu depois do apenas.
Dessa forma nós temos esse conteúdo, todo foi retirado, está baseado nos exemplos e espero que vocês leiam, está e também espero que tenha ajudado a explodir ser possíveis de vida.
Chocas sal, obrigado.