O conteúdo se trata de uma introdução à disciplina de matemática básica, focando na história e evolução dos números, desde suas origens mais primitivas até conceitos mais complexos como números imaginários e transcendentes. A conversa é mediada pela professora Rúbia e pelo pesquisador Douglas Leite, que compartilha seu conhecimento sobre a história da matemática.
O ponto de maior atenção parece ser a evolução do conceito de número, de uma ferramenta de comunicação e identificação para um objeto abstrato de estudo matemático, com a formalização de operações e a criação de novos conjuntos numéricos para resolver problemas cada vez mais complexos. A resistência e o debate em torno da aceitação de novos tipos de números (negativos, imaginários) também são pontos de grande interesse histórico.
Podemos concluir que a história dos números é uma jornada longa e fascinante, marcada pela necessidade humana de quantificar, comunicar e resolver problemas. Cada avanço na compreensão e manipulação dos números foi resultado de um processo gradual de desenvolvimento, debate e aceitação, muitas vezes impulsionado por aplicações práticas em áreas como geometria, finanças e, mais recentemente, tecnologia.
A disciplina de matemática básica inicia sua jornada explorando a rica história dos números, desde suas origens mais rudimentares até os conceitos abstratos que sustentam a matemática moderna. Inicialmente, os números não eram ferramentas para cálculos complexos, mas sim um meio fundamental de comunicação e identificação para civilizações antigas como as da Mesopotâmia e do Egito. Registros datados de 3.000 a 4.000 anos antes de Cristo demonstram o uso de símbolos, como hieróglifos, para representar quantidades, animais e até mesmo para demarcar territórios. A contagem podia ser realizada de maneiras criativas, como a utilização de partes do corpo, evidenciando a conexão intrínseca entre a necessidade de quantificar e a evolução da comunicação humana.
Com o passar do tempo, a humanidade começou a desenvolver métodos mais sofisticados para lidar com quantidades. O Papiro de Rhind, datado de 1.650 a.C., é um exemplo notável desse avanço, apresentando problemas de aritmética e divisões que indicam uma compreensão mais profunda das operações matemáticas. Essa transição de uma visão puramente comunicacional para uma abordagem operacional marcou um passo crucial no desenvolvimento do pensamento matemático. Paralelamente, na Grécia Antiga, a matemática floresceu com uma forte ligação à geometria. Filósofos e matemáticos como Pitágoras exploravam as relações entre números e formas geométricas, utilizando a representação visual para entender conceitos abstratos, como áreas de quadrados, que mais tarde seriam formalizados algebricamente.
A evolução dos conjuntos numéricos também foi um processo repleto de desafios e debates. Os números irracionais, como a raiz quadrada de 2, embora conhecidos, não possuíam uma representação formal clara para os gregos. Da mesma forma, os números negativos, embora pudessem ser aplicados em contextos práticos como dívidas, demoraram a ser integrados à estrutura matemática formal. A resistência inicial a esses conceitos, como questionamentos sobre a validade da divisão por números negativos, demonstra a dificuldade em expandir o escopo do que era considerado "matematicamente válido". Essa resistência só começou a ser superada com o desenvolvimento da álgebra e a necessidade de resolver problemas mais complexos.
O surgimento dos números imaginários e, posteriormente, dos números complexos, foi uma resposta direta à necessidade de resolver equações que envolviam raízes de números negativos. A criação do plano de Gauss-Argand ofereceu uma representação geométrica para esses números, facilitando sua compreensão e aceitação. Mais adiante, os números transcendentes, como o número de Euler (e) e a proporção áurea, foram definidos como aqueles que não são raízes de equações polinomiais, representando um nível ainda maior de abstração matemática. Finalmente, a teoria dos números, com seu foco nos números primos, revela a beleza e a complexidade das estruturas numéricas, com aplicações cruciais em áreas como a criptografia, onde a segurança de dados depende intrinsecamente das propriedades desses números fundamentais.
Questão 1 (Fácil - 1,50 pontos): Qual era a principal função dos números para as civilizações antigas como os egípcios e mesopotâmicos?
Questão 2 (Média - 2,50 pontos): O Papiro de Rhind, datado de 1.650 a.C., é um importante registro histórico por apresentar:
Questão 3 (Difícil - 3,00 pontos): Qual a principal característica que define um número transcendental, de acordo com a discussão apresentada?
Questão 4 (Difícil - 3,00 pontos): A teoria dos números, especialmente no que diz respeito aos números primos, tem uma aplicação crucial em qual área tecnológica mencionada na conversa?
O Lá pessoal, estamos aqui iniciando a nossa disciplina de matemática básica e para começar e eu pensei, vamos começar por entender a história dos números, já que é sobre eles e algumas obviamente propriedades, combinações, aí que nós vamos ver ao longo da disciplina.
E para começar a história dos números eu trouxe aqui o Douglas, que pesquisa nessa área de história da matemática, que vai poder nos contar um pouquinho dessa história com mais propriedade.
Oi Douglas, tudo bem? Olá, a pessoa Rúbia, Olá pessoal, meu nome é Douglas Leite, eu estudo, faço doutorado na UNESCO de Ruclar.
Desde o início da minha graduação eu trabalho com a linha de história da matemática, ao longo dos anos eu vim me direcionando por estudo da história da geometria.
E hoje, aceitando convite do professor à Rúbia, eu gostaria de poder falar um pouco mais sobre a história dos números, no aspecto mais geral, focando em alguns conceitos bastante específicos que possam despertar uma certa curiosidade de vocês, até em alguns detalhes que possam interessar que eles que têm maiores curiosidades com relação algumas propriedades, alguns juntos no mérico, mas especificamente.
De modo geral, eu pretendo falar desde da origem, digamos assim, dos números, quando a gente tem um pouco de registro com relação às civilizações e como as trabalhavam com os números até por volta dos séculos oito, séculos inóvicos, como alguns convidos no mérico foram formalizados.
E como que a gente poderia pensar a origem dos números então, Douglas? Bom, Rúbia, é importante a gente entender que, para falar dos números, para falar da história dos números, a gente precisa ter noção de que estaríamos falando de povos de 3.
000, 4.
000 anos antes de Cristo.
E para falar disso nesse contexto, tomando um cuidado sempre que é, a gente não pode julgar ou olhar com os nossos olhos da nossa matemática atual como que a matemática era trabalhada por eles, então assim, entender como os povos de 4.
000, 5.
000 anos atrás, trabalhavam com os números, e entender que para eles os números faziam a parte da comunicação daquele grupo, daquele povo que habitava uma determinada região.
Então, a gente vai falar sobre a história dos números, a gente fala muitas vezes sobre a história da comunicação, porque antes mesmo de trabalhar a operações que é algo que a gente tem hoje como bastante comum na nossa vida, nos nossos cotidianos, nos nossos estudos, eles entendiam um número como uma forma de comunicação.
Então, para eles, muitas vezes, para eles, quando eles remontam a o povo mais específico da Babylonia, da Mesopotâmia, os antigos e Gípsios, que ali a gente tem registros de 3.
000, 4.
000 anos atrás com os hieroglifos que nos mostraram como que eles identificavam.
Animais, números, quantidades, e a gente percebe que, assim, de modo geral, muito dos povos que habitavam ali, a região do Egito, a região que hoje a gente chama a arte, trabalhava com a identificação dos números.
Então, era uma ideia bastante primitiva, talvez não seja palávida, porque possa parecer um pouco depreciativa, em certo aspecto.
Mas, assim, para eles, o que fazia sentido ao utilizar uma quantidade, era de identificação, fosse de um grupo de animais, fosse de uma região, fosse do próprio grupo que estava circundando uma determinada região ali.
Então, assim, a comunicação para eles com os números funcionava num sentido de não trabalhar operações.
A gente entende que operações seriam algo mais recente, e isso ainda falando 2.
000 anos antes de Cristo.
A gente entende que, falar sobre operações com os números, precisa ter, precisa ter de certo modo uma estrutura matemática e um pouco de disseminação das ideias fundamentais dos números.
Então, se a gente for olhar, por exemplo, um dos registros que a gente tem que podem nos mostrar como alguns números eram trabalhados, ou Papiro Indi seriam desses exemplos.
Papiro Indi é um papiro, que foi descoberto no século XVIII.
Ele tem registro de 1.
650 anos antes de Cristo.
E ali a gente encontra, por exemplo, problemas de aritmética, problemas de divisões que são importantes, por exemplo, como eles dividiam 6 unidades de algum objeto para 10 pessoas.
A gente reconhece que isso representaria na nossa linguagem atual metade mais um décimo.
E aí uma pergunta que poderia ser interessante para trazer nos contextos é, como eles identificavam um décimo, a décima parte de alguma coisa, para realizar uma operação, para além da visualização da identificação de um objeto, é legal a gente pensar sobre como eles poderiam operar.
E aí a gente tem registro, por exemplo, de quantidades e identificações numéricas, das chamadas cuneiformes, que eram objetos no formato de cunhas, que a gente tinha identificação de quantidades.
E assim mesmo tendo essa possível escrita numérica, outros polvos, vamos falar dos polvos originários, né, da região da Austrália, ali, eles identificavam, por exemplo, partidos do corpo comunidades.
Então a gente tem o dedo minginho da mão direita representando a mão unidade, o dedo anelado da mão direita representando duas unidades e assim sucessivamente.
Então a gente percebe que conforme uma determinada região, um determinado povo que habita isso trazendo para a América do Sul também.
Eu tenho um colega pesquisador que trabalha com polvos indígenas, e ele me falou no processo de me preparar para essa conversa, que no Brasil, assim como na colombia, alguns polvos originários da América do Sul, eles não reconhecem números relativamente grandes, digamos assim, vamos falar, 10, 20.
Esse tipo de nomeclatura ou de quantidade não faz sentido para realidade deles.
Eles se preocupavam muito mais em identificar um objeto, uma da quantidade com números mais específicos, 2, 3 ou 4.
E aí, muitas vezes, acima desses números representava vários, era um conjunto maior.
Então, de novo, a comunicação está muito vinculada à história dos números.
A gente entender mais recentemente os números ou o processo de operação, como a gente conhece, a gente pode voltar ao período dos gregos antigos da dette computamento katami, que dizia que Thanha prone 속arían técnico no Brasil Para ajudar o sentimento, depois counted.
ever, filter.
Além de que olingt discretamente, isso reforçava de gewoon lugar como um Moda de Comissão e desvoltação.
Ou tampa, bah, estamos ao recurso que o outcomes de Kontbarryu sabe Image, de Campanori, de Broders das cheias e das seicas dos rios para falar sobre áreas, para falar sobre regiões, territórios, e isso fez com que a matemática se desenvolve esse ali.
Então, quando a gente vai falar, por exemplo, a matemática do povegito, ou dos gregos mesmo, ela está enraizado, de certa forma, com a ideia geometric, a ideia de quantidades, a ideia de que uma.
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ah, ao quadrado que a gente entende hoje com um símbolo gébrio, com um símbolo abstracto, para eles representavam quadrado de lado a.
Então, um teorema de Pitágoras, por exemplo, professor Tatiana Rock fala que ele seria um teorema geometrio, que ele queria determinar uma dada região com um lado representado na medida de um quadrado, e o outro lado, a medida de outro quadrado.
A soma das áreas desses quadrados, representaria a área de um quadrado maior, que seria a hipotenusa desse tremor retanto.
Então, assim, era muito fundamentado na geometria, nas dimensões.
Então, alguns problemas aparecem, falando sobre os conjuntos numeros, digamos assim, vamos falar dos números naturais, aqueles números que a gente tem mais propriedade, começa a aprender desse pequeno, quando os pais vão falar sobre o número, dificilmente, eles vão falar para você aprender a res de dois.
Esses números naturais faziam sentido em um determinado período.
Quando acontece esse tipo de situação na geometria dos gregos, os números irracionais, eles se tornam uma espécie de dificuldade, de um certo conjunto no médico, que estava presente, mas eles não tinham uma identificação específica.
Os gregos conheciam os números negativos? Então, junto nesse período, falando já dos pita-gólicos, falando de um pouco mais próximo de 200, 300 anos antes de Cristo, os números irracionais, eles eram conjuntos como eu disse, que poderiam ser trabalhados, mas não é necessariamente identificados pelos povos gregos e agípios, assim como os números negativos.
Os números negativos dentro de uma realidade de dimensões de território, fazem muito sentido.
Não quer dizer que eles não conheci ou não operavam esse número pensando em dívida, pensando numa espécie de valor monetário, ali de operações monetárias.
Mas dentro da matemática, isso é algo importante para a gente sempre ter como referência.
A matemática, em si, ele não era um conjunto muito bem trabalhado, falando dos números racionais, os números irracionais e os números negativos.
Então, a gente pega, por exemplo, os números negativos têm registros de 200 anos depois de Cristo.
Na cultura oriental, então, alguns trabalhos orientais, por volta de 200 depois de Cristo, traziam a utilização dos números negativos e eu nem estou falando do período com a implementação do número zero, que veio depois em ainda do período de 200 anos, depois de Cristo.
Então, a gente vê assim que, ao longo do tempo, determinados problemas foram exigindo condições melhores, para melhores, talvez não fosse a palavra mais adequada, mas condições mais específicas para lidar com problemas que fossem surgindo durante o tempo, ou problemas fossem problemas financeiros, problemas de território e assim, endiante.
E aí, resolveram dessa maneira a questão dos problemas dos números negativos? Os números negativos, eles historicamente falando, eles foram grande, uma grande dificuldade dentro da matemática, porque os gregos, os egípcios, eles trabalhavam, mas eles não necessariamente sabiam operar numa estrutura matemática.
Quando a gente chega ali no período do renascimento, século 15, século 16, que na Europa, eu digo França, Italy, Spain, Portugal, Alemanha, ali o que a gente conhece como Europa ocidental, ela foi fortemente influenciada pelas traduções dos trabalhos da agressa antiga, ou seja, muitos dos problemas da agressa antiga foram retomados mais de 15 séculos depois.
Então, o que acontece? Os números negativos ali continuaram sendo um problema, e dentro desse problema que eu digo é assim, houveram matemáticos que não acreditavam, que não trabalhavam com os números negativos, que achavam meio que sem sentido, a gente fazer, por exemplo, uma divisão por número negativo.
Antuan Ernoh foi um matemático que questionou isso.
Ele falava como que a gente poderia fazer a divisão pelo número menos 1, e ao mesmo tempo dá um número igual a divisão pela unidade, ou seja, um dividido por menos 1, seria igual a menos 1 dividido por 1.
Como a gente poderia dividir por um número menor que 1 e dá igual a unidade? Então, esse tipo de discussão extrapola necessariamente um tratamento ao chefe, porque nem aquela ideia que a gente tem de operação mais menos, com menos que a gente fala dessa radiola era algo um consenso dentro daquele período.
Isso continuou até o século XVIII, um picoc que ele vem falar sobre a permanência de uma estrutura que deveria fazer sentido, que era uma estrutura matemática, que sempre foi trabalhada, e que vamos dizer assim, funcionou, e ao mesmo tempo que essa nova álgebra que exigia esse tipo de tratamento com os números negativos, passa a ser incorporada, numa estrutura de álgebra um pouco mais consolidada.
Então, os números negativos foram de lemma ao longo dos anos, até o século XVIII.
Nossa, e como que a geometria se relacionava com os números, com essa parte algébrica que era conhecida na época? Tá, falando mais do período ali do renasimento, século XVI, a gente tem o nascimento da chamada geometria analítica, e ela vem com a álgebra, como fazendo parte de uma ferramenta para a geometria muitas vezes.
Então, até ela se desvincular da geometria, a álgebra em si se tornou um campo da matemática, ela estava muito relacionada com a geometria, e o que acontece? Determinados problemas, de cártis mesmo, trabalhava no seu texto, discurso do método, em um dos seus apentes, que era o apente chamado álgebra, ele vem com a palavra ou com a expressão de números imaginários, para tratar de raíze de número negativos.
Assim como ele via problemas, em tratar com números negativos também, porque determinadas condições da geometria não eram muito bem satisfeitos, no sentido do consenso dos matemáticos da época.
E de onde vem os números imaginários e sua representação geométrica? Acho que não é todo mundo que tem nessa noção aí dos números complexos, e conta um pouquinho aí para nós, desses números.
Legal.
Essa é uma continuidade do tratamento rogébrico da geometria.
Havia um matemático chamado arg- que isso já é no século XVIII, século XVIX com Gauss, Cal, Federite Gauss, eles desenvolveu o que a gente chama plano Gauss arg- que era uma representação geométrica dos números complexos.
De novo, o número complexo, ele foi um número que muitos matemáticos, assim como os números negativos, não reconheciam como algo dentro da estrutura matemática.
Então Gauss arg- no caso arg- mas especificamente, foi um matemático que enviou os trabalhos sobre essa possibilidade de representação geométrica dos números imaginários para a legenda que foi um outro matemático francês muito importante.
E ele, no período de 1816 a 1815, desenvolveu textos falando sobre esse tipo de representação e foi publicado nos anais de matemática na França.
A identidade, a vida de arg- foi algo que a gente precisando na biografia, a gente percebe que é bastante incerta, o professor do Rio de Janeiro, Gerde Chubrin, até suponhe que 1815, como ele parou de representar ou melhor de publicar trabalhos, a gente viu que ele sugere, na verdade, que o arg- participou das predispões de Napoleão, nas guerras, na poliônicas, ali do início do século dezenove, e possa ter vindo a falecer em uma dessas batalhas.
Nossa, que curioso.
E talvez alguns já tenham ouvido falar, conta aí para nós, o que são os números transcendentes? Acho que esse, a gente conhece menos ainda, né? Tá.
Os números transcendentes, ele faz parte de um conjunto de números bastante específico.
Como eu falei lá, no começo, poderia ser considerado o número transcendental.
A proporção aure, né? O número de ouro que a gente fala muitas vezes, seria o número transcendental.
Aquela letra E, que é chamada de número de Euler, também seria o número transcendental, o que significa com ele? Esse tipo de classificação vem, justamente, no período em que a álgebra já estava consolidada, o que eu falei anteriormente.
A gente precisa de uma estrutura matemática que faz a que estabelece as condições para que novos resultados sejam incorporados.
Os números transcendentes foram justamente, os números que surgiram depois de uma grande estruturação da álgebra.
E eles são que os transcendentes são os números que não são raízes de equações de polinombre.
Então, se você tem uma expressão daquele tipo x, elevada 7, mais 4i, é mais 4x², e uma expressão desse tipo, a raiz de x, ela não vai se nunca, igual a p.
Por exemplo, o x igual a p, x igual a o número de Euler, esse é um tipo de classificação que fala que os números transcendentes são números que não são raízes de equações polinoméis, diferente dos números racionais, que eles, em sua totalidade, podem ser raízes de equações polinoméis.
Wow, essa aí também, acho que é uma novidade para muitos, quando a gente trata da questão dos números.
E para fechar, Douglas, eu, inclusive, vezes, também falo isso nas minhas aulas, sobre a teoria dos números, teoria dos conjuntos, vocês vão me ouvir falando isso ao longo dessa disciplina.
Então, em nem a gerais, o que seria essa chamada teoria dos números? A teoria dos números, foi uma teoria que, vamos dizer assim, ela começou a ser fomentada no século XVI, século XVII, perfermais um nome importante, a gente tem problemas de firmar, que são conhecidos até hoje, que, basicamente, a gente vai olhar para a estrutura de formação dos números.
Vamos dizer assim, como os números pares, eles se comportam, qual a estrutura que representa o conjunto dos pares, assim também para os números ímpares.
E o que mais chama a atenção, o que mais belha os olhos, de quem estuda a teoria dos números, são justamente os números primos, que são números que a gente não consegue decompor em números pares ou ímpares.
O nosso conhecimento estabelece que números primos são decompostos e números primos.
E isso dentro da tecnologia, tem uma boa importante, porque o tipo de configuração de dados, ou, de uma, por exemplo, de uma chave, ser organizada em números primos, representa que existem poucas possibilidades de combinações nomericas, que consigam chegar a um determinado código, onde está na área criptografia no médico, que muito provavelmente está relacionado aos números primos.
Nossa, então, quando falarmos dos números primos, já sabem que eles têm também o papel, aí, importantíssimo, né, na discussão sobre especificidades dos números e da teoria dos números como um todo, né? Sim, legal.
Você tem, né? Dô, Douglas, obrigada pela presença.
Agradeço muito aí, você compartilhar desse conhecimento histórico, que você foi construindo ao longo dos anos, né? Com certeza aí, vários anos de estudo.
Então, obrigada, viu? Forçaram aqui comigo, por estar na nossa disciplina.
Agradeço a você.
A última, eu agradeço com o vídeo, eu vou ver a comedicia, a minha ideia é passar brevemente, trazendo alguns pontos que são legais, para que vocês possam entender que, uma temática ela demora muito tempo e até hoje, situações ou definições que estiveram presentes a dois mil anos atrás, são discutidas.
Então, não é porque um conhecimento foi desenvolvido na gara sentiga, que hoje a gente não ter continuidade a esse tipo de conhecimento.
E que ela, junto com a história da matemática, ela é bastante rica para quem tem interesse em lidar com o campus, que muitas vezes na graduação a gente não explora.
Eu mesmo fui tendo cada vez mais interesse pela história da matemática, justamente por trazer informações que estão para além da graduação.
O curso, em si, ele exige bastante na parte de Calco, né? Falando o curso de matemática, Calcule e álgebra, é a mesma tempo que tem uma diversidade de conceitos de geometria e tipos de geometria, que a gente percebe que tem uma beleza muito rica de detalhes e de criatividade.
Eu sempre considero que a matemática é uma das não, né? É uma sensação muito criativa.
Muito obrigada a gente se vê na próxima aula.