Se n é um número par, então n² também é par.
Neste contexto, assinale a alternativa que reconhece uma demonstração direta dessa afirmação:
Resposta correta: C) n é par, então pode ser escrito como n = 2k para algum k pertence números inteiros. Elevando ao quadrado, obtemos n² = (2k)² = 4k², que é múltiplo de 2, logo, n² é par.
Explicação da resposta: se n = 2k, então n² = 4k², que é divisível por 2, logo par.
Uma prova construtiva estabelece a existência de um objeto matemático ao fornecê-lo explicitamente ou mostrar um método para construí-lo. Em computação, essa abordagem está ligada à teoria dos algoritmos, onde a construção explícita de soluções é essencial para validação de resultados.
A Regra do Laço (ou Loop Invariant) é uma ferramenta fundamental na análise de algoritmos e fundamenta-se em provar que uma propriedade específica permanece verdadeira a cada iteração de um laço.
Neste contexto, sobre a Regra do Laço em fundamentos matemáticos para a computação, interprete as afirmativas a seguir:
Resposta correta: A) II e III, apenas
Explicação: a Regra do Laço exige que o invariante seja verdadeiro no início, mantenha-se verdadeiro ao longo das iterações e seja válido ao final da execução.
Em relação ao conteúdo estudado, examine as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Para todo n petrntence números naturais, a soma dos n primeiros números naturais é dada por S(n) = (n * (n + 1))/2
PORQUE
II. Essa fórmula pode ser demonstrada utilizando o primeiro princípio da indução matemática, que consiste em verificar o caso base P(1), assumir P(k) como verdadeiro e, então, provar p(k + 1).
A respeito dessas asserções assinale a alternativa correta.
Resposta correta: A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I
Explicação: a fórmula de S(n) é verdadeira e pode ser demonstrada por indução matemática (caso base e passo indutivo).
A contraposição é baseada na equivalência lógica entre uma afirmação P ⇒ Q e sua contrapartida Q' ⇒ P'. Essa técnica é útil quando é mais fácil mostrar que a ausência de Q implica na ausência de P. Em fundamentos de computação, ela é frequentemente usada para provar propriedades de programas e algoritmos, como a não terminação de certos loops.
O primeiro princípio da indução matemática afirma que, para provar que uma propriedade P(n) é verdadeira para todo número natural n, devemos demonstrar:
Que P(preencher 1) é verdadeira (caso base).
Que, se P(k) é verdadeira, então P(preencher 2) também é verdadeira (passo indutivo).
Os termos [preencher 1] e [preencher 2] são corretamente substituídos por:
Resposta correta: A) 1: n = 1; 2: k + 1
Explicação: base P(1) e passo P(k) ⇒ P(k+1). A formulação típica usa n para o passo, mas a opção A está de acordo com a estrutura esperada.