Para a curva \(x^{2}+y^{2}=16\), a derivada \(\dfrac{dy}{dx}\) é:
Resposta correta: A) \(-\dfrac{x}{y}\)
Derivando: \(2x+2y\,\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{x}{y}\).
Para a equação \(x^{2}+y^{3}=3xy\), a expressão correta para \(\dfrac{dy}{dx}\) é:
Resposta correta: C) \(\dfrac{3y-2x}{3y^{2}-3x}\)
Derivando: \(2x+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=3y+3x\dfrac{dy}{dx}\Rightarrow (3y^{2}-3x)\dfrac{dy}{dx}=3y-2x\).
Qual é \((f^{-1})'(y)\) para \(f(x)=2x+1\)?
Resposta correta: A) \(\dfrac{1}{2}\)
Como \(f'(x)=2\), \((f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}= \dfrac{1}{2}\).
Considere a relação implícita \(x^{3}+y^{3}=6\). Seja \(x=g(y)\) a função inversa que devolve \(x\) em termos de \(y\). Qual é o valor de \(g'(2)\)?
Resposta correta: A) \(-2^{\frac{4}{3}}\)
Derivando implicitamente: \(3x^{2}+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{x^{2}}{y^{2}}\).
Para \(y=2\), tem‑se \(x^{3}=6-8=-2\Rightarrow x=-\sqrt[3]{2}\).
Assim \(\dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{4}= -\dfrac{2^{2/3}}{4}= -\dfrac{1}{2^{4/3}}\).
A derivada da inversa é \((g)'(2)=\dfrac{1}{dy/dx}= -2^{4/3}\).