Se \(y = \sqrt{x^{2}+2}\), qual é \(\dfrac{dy}{dx}\)?
Resposta correta: A) \(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}\)
Aplicando a regra da cadeia: \(y = (x^{2}+2)^{1/2}\) → \(y' = \frac12 (x^{2}+2)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}\).
Para \(f(x)=\bigl(x^{3}+1\bigr)^{50}\), qual é \(f'(x)\)?
Resposta correta: A) \(150x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)^{49}\)
Usando a regra da cadeia: \(f'(x)=50\bigl(x^{3}+1\bigr)^{49}\cdot 3x^{2}=150x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)^{49}\).
Se \(h(x)=e^{3x^{2}}\), qual é \(h'(x)\)?
Resposta correta: A) \(6x\,e^{3x^{2}}\)
Aplicando a cadeia: \(h'(x)=e^{3x^{2}}\cdot 6x = 6x\,e^{3x^{2}}\).
Considere \(y=\left(\dfrac{2x^{2}+3}{x}\right)^{5}\). Qual é \(\dfrac{dy}{dx}\)?
Resposta correta: D) \(5\left(2x+\dfrac{3}{x}\right)^{4}\left(2-\dfrac{3}{x^{2}}\right)\)
Primeiro simplifica‑se \(u=\dfrac{2x^{2}+3}{x}=2x+\dfrac{3}{x}\). Então \(u' = 2-\dfrac{3}{x^{2}}\). Aplicando a cadeia: \(y' =5u^{4}u' =5\left(2x+\dfrac{3}{x}\right)^{4}\left(2-\dfrac{3}{x^{2}}\right)\).